سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

اثبات عدم وجود حد به کمک تعریف

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 47 مرتبه

مقدمه: اثبات عدم وجود حد در نقطه ای که تابع حد ندارد با استفاده از تعریف معمولا از اثبات وجود حد در نقطه ای که حد دارد مشکل‌تر است.

یکی از روش‌های توانا در اثبات عدم وجود حد به کمک دنباله ها است که به زودی بررسی می‌کنیم، اما اکنون در این قسمت تمرین‌هایی را با استفاده از تعریف حد بیان می‌کنیم، معمولا در این اثبات ها از برهان خلف استفاده می‌شود.

تمرین

ثابت کنید حدهای زیر وجود ندارند.

limx01x

عدم وجود حد  - پیمان گردلو

بر اساس برهان خلف فرض کنیم حد فوق موجود است و برابر L می‌باشد.

limx01x=L


β>0       α>0    ;    0<x0<α1xL<β    ;    if  β=11xL<1    ;    ab>ab1xL<11x<L+1x>1L+1x>1L+1x<α


توجه شود که نمی‌توان رابطه ای بین α و β برقرار کرد، پس حد تابع فوق وجود ندارد.

limx0sin1x


عدم وجود حد  - پیمان گردلو


بر اساس برهان خلف فرض کنیم حد فوق موجود است و برابر L می‌باشد.

limx0sin1x=L

β>0       α>0    ;    x0<αsin1xL<β


دو مقدار نزدیک به صفر مانند مقادیر زیر که در آنها k عددی بزرگ است را در نظر می‌گیریم:

x1=12kπ+π21x1=2kπ+π2sin1x1=sin2kπ+π2sin1x1=1


x2=12kππ21x2=2kππ2sin1x2=sin2kππ2sin1x2=1


sin1xL<βsin1x1L<β1L<ββ=121L<12      Ιsin1x2L<β1L<β1+L<β1+L<ββ=121+L<12       ΙΙ


Ι+ΙΙ1+L+1L<12+121+L+1L<12=1+LL+1=1+L+1L1+L+1L<12<1

که یک تناقض است یعنی تابع در نقطه صفر حد ندارد.


توضیح این‌که این تابع همواره کراندار است:

xDf  :  sin1x1


وقتی x به سمت صفر میل می‌کند، تابع sin1x بین 1 و -1 نوسان‌های زیادی می‌کند و فاصله دفعات متوالی که محور x ها را قطع می‌کند، کوچک‌تر می‌شود.


می‌توان تصور کرد که وقتی x به سمت صفر میل می‌کند، تابع sin1x در نزدیکی عددی نمی‌ماند یعنی همسایگی بدون مرکزی از صفر وجود ندارد که تابع در آن یک نوسان کامل انجام دهد یا به بیان دیگر بی نهایت بار نوسان می‌کند در نتیجه این حد موجود نیست.   

limx1sin1x-1

عدم وجود حد  - پیمان گردلو


بر اساس برهان خلف فرض کنیم حد فوق موجود است و برابر L می‌باشد.

limx1sin1x-1=L


دو مقدار نزدیک به صفر مانند مقادیر زیر که در آنها k عددی بزرگ است را در نظر می‌گیریم:

x1=12kπ+π2+1

x11=12kπ+π2

1x11=2kπ+π2

sin1x11=sin2kπ+π2

sin1x11=1

به همین ترتیب مانند limx0sin1x حل می‌شود. 

limx0cos1x

عدم وجود حد  - پیمان گردلو


بر اساس برهان خلف فرض کنیم حد فوق موجود است و برابر L می‌باشد.

limx0cos1x=L


β>0        α>0    ;    x0<αcos1xL<β


دو مقدار نزدیک به صفر مانند مقادیر زیر که در آنها k عددی بزرگ است را در نظر می‌گیریم:

x1=12kπ1x1=2kπcos1x1=cos2kπcos1x1=1x2=12kπ+π1x2=2kπ+πcos1x2=cos2kπ+πcos1x2=1


cos1xL<βcos1x1L<ββ=121L<12         Ιcos1x2L<ββ=121L<12     ΙΙ   Ι+ΙΙ1L+1+L<1


2=1+LL+1=1+L+1L1+L+1L<12<1


که یک تناقض است، یعنی تابع مورد نظر در نقطه صفر حد ندارد.

limx0xx

fx=xx=1       ;    x>01    ;    x<0  ,  x0


بر اساس برهان خلف فرض کنیم حد فوق موجود است و برابر L می‌باشد.

limx0xx=L

β>0       α>0      ;       0<x0<αfxL<β

if   x1>00<x1<αfx1L<ββ=1fx1L<1      Ιif   x2<0α<x2<0fx2L<ββ=1fx2L<1     ΙΙ


توجه شود که فرض کرده‌ایم x1 هر عددی باشد که x10,α و x2 هر عددی باشد که x2α,0:

Ι+ΙΙfx1L+fx2L<2


fx1fx2=fx1L+Lfx2fx1fx2=fx1Lfx2Lfx1fx2fx1L+fx2Lfx1fx2<1+1fx1fx2<2


اما این امکان ندارد زیرا همواره داریم:

fx1fx2=11=2

تمرین

ثابت کنید حد تابع با ضابطه زیر در هیچ نقطه ای موجود نیست.

fx=0    ;    xQ1    ;    xRQ

این تابع در R همواره معین است، اما در هیچ نقطه ای حد ندارد و پیوسته نیست.


عدم وجود حد  - پیمان گردلو

نمودار این تابع را نمی‌توان رسم کرد ولی می‌توان گفت که نمودار آن شامل تمام نقاط گویای روی محور x ها و تمام نقاط اصم که به اندازه یک واحد به بالای محور x ها انتقال یافته، می‌باشد.


بنابراین نمودار آن شامل دو خط موازی پر از سوراخ است، هر جا که خط y=0 تو پر باشد، خط y=1 سوراخ خواهد بود و بر عکس.


برای آن‌که ثابت کنیم این تابع در هیچ نقطه ای حد ندارد، بر اساس برهان خلف فرض می‌کنیم در نقطه a تابع حد داشته و حد آن برابر L باشد و هم‌چنین فرض کنیم 0<β<12 باشد، طبق تعریف داریم:

limxafx=L

β>0        α>0     ;     0<xa<αfxL<β


بنا به تعریف تابع fx:

fxL=L            ;    xQ1L     ;    xRQ


چون فرض کرده‌ایم تابع در نقطه a حد دارد پس اگر 0<xa<α این همسایگی شامل نقطه ای گویا و نقطه ای اصم می‌باشد. (در واقع شامل بی‌شمار نقطه اصم و نقطه گویاست)

L<β<121L<β<121=L+1LL+1L<β+β<12+12=11<1


که یک تناقض است، پس این تابع در هیچ نقطه حد ندارد.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید