سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد دنباله و حد تابع

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 22 مرتبه

مقدمه: اگر تابعی حد داشته باشد، آیا دنباله می‌تواند به ما کمک کند تا ثابت کنیم تابع حد دارد یا ندارد؟

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

به‌جای این‌که x ها به‌سمت a میل کند، دنباله‌های همگرا به a تعریف می‌کنیم تا به‌سمت a میل کند.

دنباله‌های an,,a2,a1 در دامنه‌ f تعریف شده‌اند.

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، وقتی an ها به‌سمت a میل می‌کند fan روی محور عمودی همگرا به L است.

تعریف: به‌‌ازای هر دنباله‌ غیر ثابت همگرا به a یعنی limnan=a، بایستی limnfan=L و این اطمینان وجود دارد که وقتی x به‌سمت a میل می‌کند، fx به‌سمت L میل کند.

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو 

an  ,  ana  ,  anDflimnan=alimnfan=L  limxafx=L

قضیه

تابع با ضابطه y=fx و عدد حقیقی a مفروض‌اند. 

شرط لازم و کافی برای آن‌که limxafx=L باشد، آن است که به ازای هر دنباله an که anDf و ana و limn+an=a آن‌گاه داشته باشیم: 

limn+fan=L

درشکل اول می‌توانید به طور شهودی موقعیتی از قضیه را مشاهده کنید.

نمایش محوری دنباله an رسم شده است، وقتی an به عدد  a نزدیک می‌شود، fan به L نزدیک می‌شود.

می‌توانند جمله‌های دنباله همگی از a کم‌تر یا بیش‌تر باشند. 

نکته

قضیه مطرح شده نه تنها نشان می‌دهد که چگونه می‌توان روند حد توابع را به حد دنباله ها انتقال داد، بلکه بیان کننده دو سوال اصلی در حد می‌باشند: 

1- تابع f تابع مفروض است، تحت چه شرایطی fan همگرا به عدد L است وقتی an همگرا به a باشد؟   

2- تابع f تابع مفروض است، اگر بدانیم fan همگرا به عددی است، وقتی an همگرا به a باشد، چگونه این عدد را تعیین کنیم؟ 

تعریف: تابع با ضابطه y=fx و عدد حقیقی a مفروض‌اند. 

حالت اول: شرط لازم و کافی برای آن که limxa+fx=L آن است که به‌ازای هر دنباله an که an>a و anDf داشته باشیم:

limn+an=alimn+fan=L

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

anaan>a,anDflimxa+fx=Llimn+fan=L

حالت دوم: شرط لازم و کافی برای آن که limxa-fx=L آن است که به‌ازای هر دنباله an که an<a و anDf داشته باشیم:

limn+an=alimn+fan=L

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

anaan<a,anDflimxafx=Llimn+fan=L

تمرین

اگر limx0+fx=2 باشد، آيا می‌توان گفت limnf1n=2؟

به‌طور تقريب an را به‌دست می‌آوريم:


an=1n;if n+an0+


limnan=limnbn=0


پس می‌توان گفت كه limnf1n=2 همواره برقرار است.   

با استفاده از قضیه فشار و حد دنباله، ثابت کنید limx0xsinπx=0.

1    sinπan    1   an.1    an.sinπan    an.1  limnan    limnansinπan    limnan  limnan    limnansinπan    limnan  0    limnansinπan    0   limnan.sinπan=0


به‌ازای هر دنباله an كه به عدد‌ 0 همگراست.

دریافت مثال

اثبات عدم وجود حد به ‌کمک دنباله

اگر بخواهیم با استفاده از دنباله‌ها ثابت کنیم که تابعی مانند y=fx در نقطه‌ای به‌ طول x=a حد ندارد، سعی می‌کنیم دو دنباله an و bn تعریف کنیم که ویژگی‌های زیر را داشته باشد:

1- به‌ازای هر n داشته باشیم:

anabna

2- دو دنباله، همگرا به a باشند:

limnan=limnbn=a

3- مقادیر دو دنباله یعنی fan و fbn با هم برابر نباشند: 

limnfan=L1limnfbn=L2limnfanlimnfbn 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حد دنباله و حد تابع

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید