سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد دنباله و حد تابع

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

اگر تابعی حد داشته باشد، آیا دنباله می‌تواند به ما کمک کند تا ثابت کنیم تابع حد دارد یا ندارد؟

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

به‌جای این‌که $x$ ها به‌سمت $a$ میل کند، دنباله‌های همگرا به $a$ تعریف می‌کنیم تا به‌سمت $a$ میل کند.

دنباله‌های $a_{n}, \dots, a_{2}, a_{1}$ در دامنه‌ $f$ تعریف شده‌اند.

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، وقتی $a_{n}$ ها به‌سمت $a$ میل می‌کند $f (a_{n})$ روی محور عمودی همگرا به $L$ است.

تعریف

به‌‌ازای هر دنباله‌ غیر ثابت همگرا به $a$ یعنی $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ، بایستی $\lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = L$ و این اطمینان وجود دارد که وقتی $x$ به‌سمت $a$ میل می‌کند، $f (x)$ به‌سمت $L$ میل کند.

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \forall \{a_{n}\}, a_{n} \neq a, a_{n} \in D_{f} \end{array}$

$\{\begin{cases} \lim_{n \to \infty} a_{n} = a \\ \lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = L \end{cases}〉 \lim_{x \to a} f (x) = L$

قضیه

تابع با ضابطه $y = f (x)$ و عدد حقیقی $a$ مفروض‌اند.

شرط لازم و کافی برای آن‌که $\lim_{x \to a} f (x) = L$ باشد، آن است که به ازای هر دنباله $\{a_{n}\}$ که $a_{n} \in D_{f}$ و $a_{n} \neq a$ و $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ آن‌گاه داشته باشیم:

$\lim_{n \to + \infty} f (a_{n}) = L$

درشکل اول می‌توانید به طور شهودی موقعیتی از قضیه را مشاهده کنید.

نمایش محوری دنباله $\{a_{n}\}$ رسم شده است، وقتی $a_{n}$ به عدد $a$ نزدیک می‌شود، $f (a_{n})$ به $L$ نزدیک می‌شود.

می‌توانند جمله‌های دنباله همگی از $a$ کم‌تر یا بیش‌تر باشند.

نکته

قضیه مطرح شده نه تنها نشان می‌دهد که چگونه می‌توان روند حد توابع را به حد دنباله ها انتقال داد، بلکه بیان کننده دو سوال اصلی در حد می‌باشند:

1- تابع $f$ تابع مفروض است، تحت چه شرایطی $\{f (a_{n})\}$ همگرا به عدد $L$ است وقتی $\{a_{n}\}$ همگرا به $a$ باشد؟

2- تابع $f$ تابع مفروض است، اگر بدانیم $\{f (a_{n})\}$ همگرا به عددی است، وقتی $\{a_{n}\}$ همگرا به $a$ باشد، چگونه این عدد را تعیین کنیم؟

تعریف

تابع با ضابطه $y = f (x)$ و عدد حقیقی $a$ مفروض‌اند.

حالت اول

شرط لازم و کافی برای آن که $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$ آن است که به‌ازای هر دنباله $\{a_{n}\}$ که $a_{n} > a$ و $a_{n} \in D_{f}$ داشته باشیم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} f (a_{n}) = L$

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} a_{n} \to a \begin{matrix} \end{matrix} \\ a_{n} > a, a_{n} \in D_{f} \end{matrix} \end{array}$

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{n \to + \infty} f (a_{n}) = L$

حالت دوم

شرط لازم و کافی برای آن که $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$ آن است که به‌ازای هر دنباله $\{a_{n}\}$ که $a_{n} < a$ و $a_{n} \in D_{f}$ داشته باشیم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} f (a_{n}) = L$

حد دنباله و حد تابع - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} a_{n} \to a \begin{matrix} \end{matrix} \\ a_{n} < a, a_{n} \in D_{f} \end{matrix} \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{n \to + \infty} f (a_{n}) = L$

تمرین

اگر $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2$ باشد، آيا می‌توان گفت $\lim_{n \to \infty} f (\frac{1}{n}) = 2$ ؟

به‌طور تقريب $a_{n}$ را به‌دست می‌آوريم:

$a_{n} = \frac{1}{n}; i f n \to + \infty \Rightarrow a_{n} ≃ 0^{+}$

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$

پس می‌توان گفت كه $\lim_{n \to \infty} f (\frac{1}{n}) = 2$ همواره برقرار است.

با استفاده از قضیه فشار و حد دنباله، ثابت کنید $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{π}{x} = 0$ .

$\begin{array}{l} - 1 \leq \sin \frac{π}{a_{n}} \leq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{n} . (- 1) \leq a_{n} . \sin \frac{π}{a_{n}} \leq a_{n} . (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (- a_{n}) \leq \lim_{n \to \infty} a_{n} \sin \frac{π}{a_{n}} \leq \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - \lim_{n \to \infty} a_{n} \leq \lim_{n \to \infty} a_{n} \sin \frac{π}{a_{n}} \leq \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \leq \lim_{n \to \infty} a_{n} \sin \frac{π}{a_{n}} \leq 0 \\ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} . \sin \frac{π}{a_{n}} = 0 \end{array}$

به‌ازای هر دنباله $\{a_{n}\}$ كه به عدد‌ $(0)$ همگراست.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اثبات عدم وجود حد به ‌کمک دنباله

اگر بخواهیم با استفاده از دنباله‌ها ثابت کنیم که تابعی مانند $y = f (x)$ در نقطه‌ای به‌ طول $x = a$ حد ندارد، سعی می‌کنیم دو دنباله $a_{n}$ و $b_{n}$ تعریف کنیم که ویژگی‌های زیر را داشته باشد:

1- به‌ازای هر $n$ داشته باشیم:

$\{\begin{cases} a_{n} \neq a \\ b_{n} \neq a \end{cases}$

2- دو دنباله، همگرا به $a$ باشند:

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = a$

3- مقادیر دو دنباله یعنی $\{f (a_{n})\}$ و $\{f (b_{n})\}$ با هم برابر نباشند:

$\{\begin{cases} \lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = L_{1} \\ \lim_{n \to \infty} f (b_{n}) = L_{2} \end{cases}〉 \lim_{n \to \infty} f (a_{n}) \neq \lim_{n \to \infty} f (b_{n})$