سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

سری هندسی

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف سری هندسی

سری به‌شکل زیر را یک سری هندسی می‌نامیم:

$a + a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots + a r^{n} + \dots$

$a$ جمله اول سری و $r$ قدر نسبت سری فوق نامیده می‌شود.
معمولا فرض بر این است که $a \neq 0$ است.

می‌توان سری فوق را به صورت‌های زیر نوشت:

$a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ... + a r^{n} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} a . r^{n - 1} = a \sum_{n = 1}^{\infty} r^{n - 1}$

تمرین

قدر نسبت می‌تواند مثبت یا منفی باشد، مانند سری زیر:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} + \dots; (r = \frac{1}{2})$

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}} + \dots; (r = \frac{- 1}{3})$

نکته

حاصل جمع جزیی $n$ ام سری عبارت است از:

$\begin{array}{l} S_{n} = a + a r + a r^{2} + .... + a r^{n - 1} \end{array}$

$r S_{n} = a r + a r^{2} + a r^{3} + .... + a r^{n - 1} + a r^{n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} - r S_{n} = a - a r^{n} \\ \Rightarrow S_{n} - r S_{n} = a - a r^{n} \\ \Rightarrow S_{n} (1 - r) = a (1 - r^{n}) \\ \Rightarrow S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}; r \neq 1 \end{array}$

قضایای سری هندسی

قضیه

حاصل جمع سری هندسی

در سری هندسی زیر:

$a + a r + .... + a r^{n - 1} + ...$

اگر $|r| < 1$ باشد، آن‌گاه سری همگرا بوده و مقدار سری $S = \frac{a}{1 - r}$ است.

اگر $|r| \geq 1$ باشد، آن‌گاه سری واگراست.

اثبات

1- فرض کنیم $|r| < 1$ باشد، قبلا ثابت کرده‌ایم که $\lim_{n \to + \infty} r^{n} = 0$ بنابراین:

$S = \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}$

یعنی در حالتی‌که $|r| < 1$ ، آنگاه سری هندسی همگراست و مقدارش:

$S = a + a r + \dots + a r^{n - 1} + \dots = a \sum_{n = 1}^{\infty} r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r}$

2- فرض کنیم $|r| > 1$ باشد، آن‌گاه $\lim_{n \to + \infty} {|r|}^{n} = \infty$ بنابراین سری هندسی واگرا است.

3- فرض کنیم $|r| = 1$ باشد:

$|r| = 1 \Rightarrow r = \pm 1$

حالت اول) اگر $r = 1$ باشد:

$\begin{array}{l} S_{n} = a + a r + a r^{2} + ... + a r^{n - 1} \\ \Rightarrow S_{n} = a + a + a + ... + a \\ \Rightarrow S_{n} = n a \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} n a \\ \Rightarrow S = + \infty \end{array}$

سری در حالت $r = 1$ واگراست.

حالت دوم) اگر $r = - 1$ باشد:

$S_{n} = a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} S_{1} = a \\ S_{2} = a - a = 0 \\ S_{3} = a \\ ⋮ \end{cases}$

$S_{n} = \{\begin{cases} a; n = 2 k + 1 \\ 0; n = 2 k \end{cases}〉 \lim_{n \to + \infty} S_{n} = ?$

به‌طور‌کلی $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ وجود نداشته لذا سری هندسی واگراست.

تمرین

با استفاده از سری هندسی، همگرایی یا واگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 9^{- n + 2} 4^{n + 1}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} 9^{- (n - 2)} 4^{n + 1}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4^{n + 1}}{9^{n - 2}}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4^{n - 1} 4^{2}}{9^{n - 1} 9^{- 1}}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} 16 (9) \frac{4^{n - 1}}{9^{n - 1}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} {144 (\frac{4}{9})}^{n - 1}$

$| r = \frac{4}{9} | < 1$ است و سری همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {144 (\frac{4}{9})}^{n - 1} = \frac{144}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{9}{5} (144) = \frac{1296}{5}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{3 n}}{5^{n - 1}}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{3 n}}{5^{n - 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{({(- 4)}^{3})}^{n}}{5^{n} 5^{- 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} 5 \frac{{(- 64)}^{n}}{5^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} 5 {(\frac{- 64}{5})}^{n}$

$| r = - \frac{64}{5} | \geq 1$ است و سری واگراست.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{2 + n} 2^{1 - 3 n}$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} 3^{2} 3^{n} 2^{1} 2^{- 3 n}$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} (9) (2) \frac{3^{n}}{2^{3 n}}$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} 18 \frac{3^{n}}{8^{n}}$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} 18 {(\frac{3}{8})}^{n}$

$| r = \frac{3}{8} | < 1$ است و سری همگراست.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{2 + n} 2^{1 - 3 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 18 {(\frac{3}{8})}^{n} = \frac{18}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{144}{5}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 6)}^{3 - n}}{8^{2 - n}}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{8^{n - 2}}{{(- 6)}^{n - 3}}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{8^{n - 1} 8^{- 1}}{{(- 6)}^{n - 1} {(- 6)}^{- 2}}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 6)}^{2}}{8^{1}} {(\frac{8}{- 6})}^{n - 1}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{9}{2} {(- \frac{4}{3})}^{n - 1}$

$| r = - \frac{4}{3} | \geq 1$ است و سری واگراست.

تذکر

خطای نظیر مجموع جزیی $n$ ام سری و مقدار سری برابر است با:

$|S_{n} - S| = |\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} - \frac{a}{1 - r}| = |\frac{- a r^{n}}{1 - r}| = \frac{|a r^{n}|}{1 - r}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

در سری هندسی زیر:

$\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} = \sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$

مجموع $m$ جمله اول برابر است با مجموع جملات از $(m + 1)$ ام به بعد که قدر نسبت $\frac{1}{\sqrt[m]{2}}$ است.

اثبات

فرض کنیم $S$ مجموع سری باشد:

$\begin{array}{l} S_{m} = S - S_{m} \\ \Rightarrow 2 S_{m} = S \\ \Rightarrow 2 \frac{c_{1} (1 - r^{m})}{1 - r} = \frac{c_{1}}{1 - r} \\ \Rightarrow 2 - 2 r^{m} = 1 \\ \Rightarrow r^{m} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt[m]{2}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

اگر در سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ داشته باشیم $a_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ آن‌گاه:

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} - b_{1}$

اثبات

$i f a_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$

$\{\begin{cases} a_{1} = b_{2} - b_{1}; n = 1 \\ a_{2} = b_{3} - b_{2}; n = 2 \\ a_{3} = b_{4} - b_{3}; n = 3 \\ ⋮ \\ a_{n - 1} = b_{n} - b_{n - 1} \end{cases}$

از جمع طرفین تساوی‌های فوق داریم:

$\begin{array}{l} a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} = b_{n} - b_{1} \\ \Rightarrow S_{n - 1} = b_{n} - b_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n - 1} = \lim_{n \to \infty} (b_{n} - b_{1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \lim_{n \to \infty} b_{n} - b_{1} \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} - b_{1} \end{array}$

تعیین کسر مولد نماد اعشاری متناوب ساده

یکی از کاربردهای مهم سری هندسی، تعیین کسر مولد کسر اعشاری متناوب ساده است.

برای ورود به بحث، تمرین زیر را مشاهده کنید:

تمرین

نماد اعشاری کسر متعارفی $\frac{4}{3}$ به‌صورت $1 / \bar{3}$ نشان می‌دهیم.

حال این سوال مطرح است که اگر عدد اعشاری $1 / \bar{3}$ در دسترس باشد، چگونه می‌توان کسر مولد نماد اعشاری آن یعنی $\frac{4}{3}$ را تولید کرد؟

$\begin{array}{l} 1 / \bar{3} = 1 / 333 \cdot \cdot \cdot \\ \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + 0 / 333 \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + 0 / 3 + 0 / 03 + 0 / 003 + ... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + ... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + \frac{3}{10} + \frac{3}{10^{2}} + \frac{3}{10^{3}} + ... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + 3 [\frac{1}{10} + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} + ...] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + 3 \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + 3 \times \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \\ \Rightarrow 1 / \bar{3} = 1 + 3 \times \frac{1}{9} \\ \Rightarrow 1 / \bar{3} = \frac{4}{3} \end{array}$

قضیه

هرگاه $k$ عددی $n$ رقمی باشد، کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده $x . \bar{k}$ به‌صورت زیر است:

$x . \bar{k} = x + \frac{k}{999 \cdot \cdot \cdot 9}$

عدد $9$ به تعداد $n$ بار تکرار شده است.

اثبات

برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده آن را به‌صورت یک سری نامتناهی می‌نویسیم.

اگر $x . \bar{k}$ دارای دوره گردش $n$ رقمی باشد، چنین داریم:

$\begin{array}{l} x . \bar{k} = x + 0. \bar{k} \\ \Rightarrow x . \bar{k} = x + 0. k k k .... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x . \bar{k} = x + (0. k + 0.0 k + 0.00 k + ....) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x . \bar{k} = x + [\frac{k}{10^{n}} + \frac{k}{10^{2 n}} + \frac{k}{10^{3 n}} + ...] \end{array}$

$\Rightarrow x . \bar{k} = x + k [\frac{1}{10^{n}} + \frac{1}{10^{2 n}} + \frac{1}{10^{3 n}} + ...]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x . \bar{k} = x + k \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ \Rightarrow x . \bar{k} = x + k . \frac{\frac{1}{10^{n}}}{1 - \frac{1}{10^{n}}} \\ \Rightarrow x . \bar{k} = x + \frac{k}{10^{n} - 1} \\ \Rightarrow x . \bar{k} = x + \frac{k}{999 \cdot \cdot \cdot 9} \end{array}$

یادآوری

این قضیه بیان می‌کند که برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده، آن را به‌صورت کسری می‌نویسیم که صورت آن شامل یک دوره گردش و مخرج آن به تعداد ارقام گردش $9$ باشد.

توجه شود که $n$ تعداد ارقام $k$ می‌باشد یعنی $k$ یک عدد $n$ رقمی است.

تمرین

به تساوی های زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} 0 / 777..... = 0 / \bar{7} = \frac{7}{9} \\ 0 / 232323.... = 0 / \bar{23} = \frac{23}{99} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 0.123123123.... = 0. \bar{123} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 0 / 357357357.... = 0 / \bar{357} = \frac{357}{999} \end{array}$

تمرین

کسر مولد اعداد اعشاری متناوب ساده را در زیر به‌دست آورید.

$0 / \bar{3}$

$0 / \bar{3} = 0 / 333...$

روش اول-

$\begin{array}{l} 0 / \bar{3} \\ = 0 / 333 \dots \\ = 0 / 3 + 0 / 03 + 0 / 003 + \dots \\ = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 \times [\frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + ...] \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ = 3 \times \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \\ = \frac{1}{3} \end{array}$

روش دوم-

$\begin{array}{l} A = 0 / \bar{3} \\ \Rightarrow A = 0 / 333 \dots \\ \Rightarrow 10 A = 3 / 333 \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 10 A = 3 + 0 / 333 \dots; A = 0 / 333 \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 10 A = 3 + A \\ \Rightarrow 10 A - A = 3 \\ \Rightarrow 9 A = 3 \\ \Rightarrow A = \frac{3}{9} \\ \Rightarrow A = \frac{1}{3} \end{array}$

روش سوم- از قضیه مطرح شده استفاده می‌کنیم:

$0 / \bar{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$0 / \bar{23}$

روش اول-

$\begin{array}{l} 0 / \bar{23} \\ = 0 / 232323 \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{23}{100} + \frac{23}{10000} + \frac{23}{1000000} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 [\frac{1}{100} + \frac{1}{10000} + \frac{1}{1000000} + \dots] \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ = 23 \times \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{100}} \\ = \frac{23}{99} \end{array}$

روش دوم-

$\begin{array}{l} A = 0 / \bar{23} \\ \Rightarrow A = 0 / 232323 \dots \\ \Rightarrow 100 A = 23 / 232323 \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 100 A = 23 + 0 / 232323 \dots; A = 0 / 232323... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 100 A = 23 + A \\ \Rightarrow 100 A - A = 23 \\ \Rightarrow 99 A = 23 \\ \Rightarrow A = \frac{23}{99} \end{array}$

روش سوم- از قضیه مطرح شده استفاده می‌کنیم:

$0 / \bar{23} = \frac{23}{99}$

$0. \bar{036}$

$\begin{array}{l} 0 / \bar{036} \\ = 0.036036 \dots \\ = 0 / 036 + 0 / 000036 + \dots \\ = \frac{36}{1000} + \frac{36}{1000000} + \dots \\ = 36 \times [\frac{1}{10^{3}} + \frac{1}{10^{6}} + \dots] \\ = 36 \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ = 36 \times \frac{\frac{1}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} \\ = \frac{36}{999} \end{array}$

تعیین کسر مولد نماد اعشاری متناوب مرکب

یکی از کاربردهای مهم سری هندسی، تعیین کسر مولد کسر اعشاری متناوب مرکب است.

برای ورود به بحث، تمرین زیر را مشاهده کنید:

تمرین

نماد اعشاری کسر متعارفی $\frac{19}{15}$ را به‌صورت $1 / 2 \bar{6}$ نمایش می‌دهیم.

حال این سوال مطرح است که اگر عدد اعشاری $1 / 2 \bar{6}$ در دسترس باشد، چگونه می‌توان کسر مولد نماد اعشاری آن یعنی $\frac{19}{15}$ را تولید کرد؟

$\begin{array}{l} 1 / 2 \bar{6} = 1 + 0 / 2 \bar{6} \\ \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 + 0 / 26666... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 + (0 / 2 + 0 / 06 + 0 / 006 + ....) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 / 2 + (0 / 06 + 0 / 006 + ....) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 / 2 + (\frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + ....) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 / 2 + 6 \times (\frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + ....) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 / 2 + 6 \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 / 2 + 6 \times \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{10}} \\ \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = 1 / 2 + \frac{6}{90} \\ \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = \frac{114}{90} \\ \Rightarrow 1 / 2 \bar{6} = \frac{19}{15} \end{array}$

$1 / 2 \bar{6}$ عدد اعشاری متناوب مرکب با دوره گردش $6$ و دوره غیر گردش $1 / 2$ است.

قضیه

کسر مولد عدد اعشاری متناوب مرکب $x . y \bar{k}$ به‌صورت زیر می‌باشد:

$x . y \bar{k} = x + \frac{y k - y}{99 \dots 900 \cdot \cdot \cdot 0}$

عدد $9$ به تعداد $n$ بار و عدد $0$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

اثبات

برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب مرکب به‌صورت $x . y \bar{k}$ که $k$ دوره گردش با تعداد ارقام برابر $n$ و $x . y$ دوره غیر گردش که در آن تعداد ارقام $y$ برابر $m$ باشد، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده آن را به‌صورت یک سری نامتناهی می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} x . y \bar{k} = x + 0. y \bar{k} \\ \Rightarrow x . y \bar{k} = x + 0. y k k k k ... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x . y \bar{k} = x + [\frac{y}{10^{m}} + (\frac{k}{10^{m + n}} + \frac{k}{10^{m + 2 n}} + ...)] \end{array}$

$\Rightarrow x . y \bar{k} = x + [\frac{y}{10^{m}} + k (\frac{1}{10^{m + n}} + \frac{1}{10^{m + 2 n}} + ...)]$

یادآوری

این قضیه بیان می‌کند که برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب مرکب، در صورت کسر، قسمت گردش و غیرگردش را از قسمت غیرگردش کم کرده و در مخرج به تعداد ارقام گردش عدد $9$ و به تعداد ارقام غیرگردش صفر می‌گذاریم.

تمرین

به تساوی های زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} 0.47 \bar{3} = \frac{473 - 47}{900} \\ 0.7 \bar{35} = \frac{735 - 7}{990} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3.21 \bar{35} = 3 + 0.21 \bar{35} = 3 + \frac{2135 - 21}{9900} \end{array}$

تمرین

اعداد اعشاری داده شده در زیر را به‌شکل یک سری بنویسید و مقدار هر یک را به‌دست آورید.

$0.49999....$

$\begin{array}{l} 0.49999 \dots \\ = 0.4 + 0.09 + 0.009 + \dots \\ = \frac{4}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{10} + \frac{9}{100} (1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \dots) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{10} + \frac{9}{100} \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ = \frac{4}{10} + \frac{9}{100} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} \\ = \frac{1}{2} \end{array}$

با استفاده از قضیه بیان شده داریم:

$0.4 \bar{9} = \frac{49 - 4}{90} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$

$0.36717171...$

$\begin{array}{l} 0.36717171 \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = 0.36 + 0.0071 + 0.000071 + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{36}{100} + \frac{71}{10000} + \frac{71}{1000000} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{36}{100} + \frac{71}{10000} (1 + \frac{1}{100} + \dots) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{36}{100} + \frac{71}{10000} \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ = \frac{36}{100} + \frac{71}{10000} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} \\ = \frac{3635}{9900} \end{array}$

با استفاده از قضیه بیان شده داریم:

$0.36717171... = 0.36 \bar{71} = \frac{3671 - 36}{9900} = \frac{3635}{9900}$

$0.135 \bar{24}$

$\begin{array}{l} 0.135 \bar{24} \\ = 0.1352424 \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = 0.135 + 0.00024 + 0.0000024 + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{135}{1000} + \frac{24}{100000} + \frac{24}{10000000} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{135}{1000} + \frac{24}{100000} (1 + \frac{1}{100} + \dots) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{135}{1000} + \frac{24}{100000} \times \frac{a_{1}}{1 - r} \\ = \frac{135}{1000} + \frac{24}{100000} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{13389}{99000} \end{array}$

با استفاده از قضیه بیان شده داریم:

$0.135 \bar{24} = \frac{13524 - 135}{99000} = \frac{13389}{99000}$

نکته

یک تابع تعریف شده به‌وسیله سری هندسی

ثابت کردیم که سری هندسی $\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}$ وقتی $|x| < 1$ باشد، همگرا است.

می‌توانیم فرض کنیم $x$ یک متغیر است و تابع $f$ را به‌صورت زیر تعریف کنیم:

$\{\begin{cases} f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}; - 1 < x < 1 \\ f : (- 1, 1) \mapsto R \end{cases}$

چون $- 1 < x < 1$ است، سری فوق یک سری هندسی است پس مجموع این سری به‌صورت زیر است:

$f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} = {(x)}^{0} + {(x)}^{1} + {(x)}^{2} + \dots = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{1}{1 - x}$

تمرین

اگر $|x| < 1$ باشد، مقدار سری زیر را به‌دست آورید.

$1 - 2 x + 3 x^{2} - \dots + {(- 1)}^{n + 1} . n x^{n - 1} + \dots$

$f (x) = x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} x^{n} + \dots = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{x}{1 - (- x)} = \frac{x}{1 + x}$

سری فوق یک سری هندسی با قدرنسبت $(- x)$ است.

از طرفین این تساوی نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم:

$f^{'} (x) = 1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} . n x^{n - 1} + \dots = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

خرید پاسخ‌ها

سری هندسی

3,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

سری هندسی

تعریف سری هندسی

قضایای سری هندسی

تعیین کسر مولد نماد اعشاری متناوب ساده

تعیین کسر مولد نماد اعشاری متناوب مرکب

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟