سری هندسی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 02 شهریور 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

تعریف سری هندسی

سری به‌شکل زیر را یک سری هندسی می‌نامیم: 

a+ar+ar2+ar3++arn+

  • a جمله اول سری و r قدر نسبت سری فوق نامیده می‌شود.
  • معمولا فرض بر این است که a0 است.

می‌توان سری فوق را به صورت‌های زیر نوشت:

a+ar+ar2+ar3+...+arn+=n=1a.rn1=an=1rn1

تمرین

قدر نسبت می‌تواند مثبت یا منفی باشد، مانند سری زیر:

1+12+14+18++12n1+    ;    r=12


113+19+1n113n1+    ;    r=13

نکته

حاصل جمع جزیی nام سری عبارت است از:

Sn=a+ar+ar2+....+arn1rSn=ar+ar2+ar3+....+arn1+arnSnrSn=aarnSnrSn=aarnSn1r=a1rnSn=a1rn1r    ;    r1

قضایای سری هندسی

قضیه

حاصل جمع سری هندسی

در سری هندسی زیر:

a+ar+....+arn1+...

اگر r<1 باشد، آن‌گاه سری همگرا بوده و مقدار سری S=a1r است.

اگر r1 باشد، آن‌گاه سری واگراست.

اثبات

1- فرض کنیم r<1 باشد، قبلا ثابت کرده‌ایم که limn+rn=0 بنابراین: 

S=limn+Sn=limn+a1rn1r=a1r

یعنی در حالتی‌که r<1 ، آنگاه سری هندسی همگراست و مقدارش: 

S=a+ar++arn1+=an=1rn1=a1r

2- فرض کنیم r>1 باشد، آن‌گاه limn+rn= بنابراین سری هندسی واگرا است.   

3- فرض کنیم r=1 باشد: 

r=1r=±1

حالت اول) اگر r=1 باشد:

Sn=a+ar+ar2+...+arn1Sn=a+a+a+...+aSn=nalimn+Sn=limn+naS=+

سری در حالت r=1 واگراست.

حالت دوم) اگر r=-1 باشد:

Sn=a+ar+ar2++arn1S1=aS2=aa=0S3=a      Sn=a   ;   n=2k+10    ;   n=2klimn+Sn=?

به‌طور‌کلی limn+Sn وجود نداشته لذا سری هندسی واگراست.

تذکر

خطای نظیر مجموع جزیی nام سری و مقدار سری برابر است با:

SnS=a1rn1ra1r=arn1r=arn1r

دریافت مثال

قضیه

در سری هندسی زیر:

k=1ck=n=1arn1

مجموع m جمله اول برابر است با مجموع جملات از m+1ام به بعد که قدر نسبت 12m است.

اثبات

فرض کنیم S مجموع سری باشد:

Sm=SSm2Sm=S2c11rm1r=c11r22rm=1rm=12r=12m

دریافت مثال

قضیه

اگر در سری n=1an داشته باشیم an=bn+1bn آن‌گاه:

n=1an=limnbnb1

اثبات

if  an=bn+1bna1=b2b1  ;   n=1a2=b3b2  ;   n=2a3=b4b3  ;   n=3                an1=bnbn1

از جمع طرفین تساوی‌های فوق داریم:

a1+a2+...+an1=bnb1Sn1=bnb1limnSn1=limnbnb1S=limnbnb1n=1an=limnbnb1

تعیین کسر مولد نماد اعشاری متناوب ساده

یکی از کاربردهای مهم سری هندسی، تعیین کسر مولد کسر اعشاری متناوب ساده است. 

برای ورود به بحث، تمرین زیر را مشاهده کنید:

تمرین

نماد اعشاری کسر متعارفی 43 به‌صورت 1/3¯ نشان می‌دهیم.   

حال این سوال مطرح است که اگر عدد اعشاری 1/3¯ در دسترس باشد، چگونه می‌توان کسر مولد نماد اعشاری آن یعنی 43 را تولید کرد؟        

1/3¯=1/3331/3¯=1+0/3331/3¯=1+0/3+0/03+0/003+...1/3¯=1+310+3100+31000+...1/3¯=1+310+3102+3103+...1/3¯=1+3110+1102+1103+...


1/3¯=1+3×a11r1/3¯=1+3×  110  11101/3¯=1+3×191/3¯=43

قضیه

هرگاه k عددی n رقمی باشد، کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده x.k¯ به‌صورت زیر است:

x.k¯=x+k9999

عدد 9 به تعداد n بار تکرار شده است.

اثبات

برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده آن را به‌صورت یک سری نامتناهی می‌نویسیم.

اگر x.k¯ دارای دوره گردش n رقمی باشد، چنین داریم: 

x.k¯=x+0.k¯x.k¯=x+0.kkk....  x.k¯=x+0.k+0.0k+0.00k+....x.k¯=x+k10n+k102n+k103n+...x.k¯=x+k110n+1102n+1103n+...

x.k¯=x+k×a11rx.k¯=x+k. 110n1110nx.k¯=x+k10n1x.k¯=x+k9999

یادآوری

این قضیه بیان می‌کند که برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده، آن را به‌صورت کسری می‌نویسیم که صورت آن شامل یک دوره گردش و مخرج آن به تعداد ارقام گردش 9 باشد.

توجه شود که n تعداد ارقام k می‌باشد یعنی k یک عدد n رقمی است. 

تمرین

به تساوی های زیر توجه کنید:

0/777.....=0/7¯=790/232323....=0/23¯=23990.123123123....=0.123¯=123999=413330/357357357....=0/357¯=357999

تمرین

کسر مولد اعداد اعشاری متناوب ساده را در زیر به‌دست آورید.

0/3¯

0/3¯=0/333...


روش اول- 

0/3¯=0/333=0/3+0/03+0/003+=310+3100+31000+=3×110+1100+11000+...=3×a11r=3×1101110=13


روش دوم-

A=0/3¯A=0/33310A=3/33310A=3+0/333    ;     A=0/33310A=3+A10AA=39A=3A=39A=13


روش سوم- از قضیه مطرح شده استفاده می‌کنیم:

0/3¯=39=13

0/23¯

روش اول-

0/23¯=0/232323=23100+2310000+231000000+=231100+110000+11000000+=23×a11r=23× 110011100=2399


روش دوم-

A=0/23¯A=0/232323100A=23/232323100A=23+0/232323   ;   A=0/232323...100A=23+A100AA=2399A=23A=2399


روش سوم- از قضیه مطرح شده استفاده می‌کنیم:

0/23¯=2399

0.036¯

0/036¯=0.036036=0/036+0/000036+=361000+361000000+=36×1103+1106+=36×a11r=36× 11000111000=36999

تعیین کسر مولد نماد اعشاری متناوب مرکب

یکی از کاربردهای مهم سری هندسی، تعیین کسر مولد کسر اعشاری متناوب مرکب است. 

برای ورود به بحث، تمرین زیر را مشاهده کنید:

تمرین

نماد اعشاری کسر متعارفی 1915 را به‌صورت 1/26¯ نمایش می‌دهیم.

حال این سوال مطرح است که اگر عدد اعشاری 1/26¯ در دسترس باشد، چگونه می‌توان کسر مولد نماد اعشاری آن یعنی 1915 را تولید کرد؟  

1/26¯=1+0/26¯1/26¯=1+0/26666...1/26¯=1+0/2+0/06+0/006+....1/26¯=1/2+0/06+0/006+....1/26¯=1/2+6100+61000+....


1/26¯=1/2+6×1100+11000+....1/26¯=1/2+6×a11r1/26¯=1/2+6×110011101/26¯=1/2+6901/26¯=114901/26¯=1915


1/26¯ عدد اعشاری متناوب مرکب با دوره گردش 6 و دوره غیر گردش 1/2 است.  

قضیه

کسر مولد عدد اعشاری متناوب مرکب x.yk¯ به‌صورت زیر می‌باشد:

x.yk¯=x+yky999000

عدد 9 به تعداد n بار  و عدد 0 به تعداد m بار تکرار شده است.

اثبات

برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب مرکب به‌صورت x.yk¯ که k دوره گردش با تعداد ارقام برابر n و x.y دوره غیر گردش که در آن تعداد ارقام y برابر m باشد، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:  

برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب ساده آن را به‌صورت یک سری نامتناهی می‌نویسیم:

x.yk¯=x+0.yk¯x.yk¯=x+0.ykkkk...x.yk¯=x+y10m+k10m+n+k10m+2n+...x.yk¯=x+y10m+k110m+n+110m+2n+...

یادآوری

این قضیه بیان می‌کند که برای تعیین کسر مولد عدد اعشاری متناوب مرکب، در صورت کسر، قسمت گردش و غیرگردش را از قسمت غیرگردش کم کرده و در مخرج به تعداد ارقام گردش عدد 9 و به تعداد ارقام غیرگردش صفر می‌گذاریم.

تمرین

به تساوی های زیر توجه کنید:

0.473¯=473479000.735¯=73579903.2135¯=3+0.2135¯=3+2135219900

تمرین

اعداد اعشاری داده شده در زیر را به‌شکل یک سری بنویسید و مقدار هر یک را به‌دست آورید.

0.49999....

0.49999=0.4+0.09+0.009+=410+9100+91000+=410+91001+110+1100+=410+9100×a11r=410+9100×11110=12


با استفاده از قضیه بیان شده داریم:

0.49¯=49490=4590=12

0.36717171...

0.36717171=0.36+0.0071+0.000071+=36100+7110000+711000000+=36100+71100001+1100+=36100+7110000×a11r=36100+7110000×111100=36359900


با استفاده از قضیه بیان شده داریم:

0.36717171...=0.3671¯=3671369900=36359900

0.13524¯

0.13524¯=0.1352424=0.135+0.00024+0.0000024+=1351000+24100000+2410000000+=1351000+241000001+1100+=1351000+24100000×a11r=1351000+24100000×111100=1338999000


با استفاده از قضیه بیان شده داریم:

0.13524¯=1352413599000=1338999000

نکته

یک تابع تعریف شده به‌وسیله سری هندسی

ثابت کردیم که سری هندسی k=0xk وقتی x<1 باشد، همگرا است. 

می‌توانیم فرض کنیم x یک متغیر است و تابع f را به‌صورت زیر تعریف کنیم: 

fx=k=0xk    ;    1<x<1f:1,1R

چون 1<x<1 است، سری فوق یک سری هندسی است پس مجموع این سری به‌صورت زیر است:

fx=k=0xk=x0+x1+x2+=1+x+x2+x3+=a11r=11x

تمرین

اگر x<1 باشد، مقدار سری زیر را به‌دست آورید.  

12x+3x2+1n+1.nxn1+

fx=xx2+x3x4++1n+1xn+=a11r=x1x=x1+x


سری فوق یک سری هندسی با قدرنسبت -x است.


از طرفین این تساوی نسبت به x مشتق می‌گیریم:

f'x=12x+3x24x3++1n+1.nxn1+=11+x2

مثال‌ها و جواب‌ها

سری هندسی

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید