سری متناوب

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر به ازای تمام اعداد طبیعی $n$ جمله $a_{n} > 0$ باشد، آن‌گاه دو سری زیر را متناوب گوییم:

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} . a_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} + \dots \end{array}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} . a_{n} = - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - \dots + {(- 1)}^{n} a_{n} + \dots$

قضیه

آزمون سری متناوب

اگر جملات سری به‌تناوب، مثبت و منفی باشند و به ازای هر عدد طبیعی $n$ دو شرط زیر برقرار باشد، آن‌گاه سری متناوب $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ همگراست:

$\begin{array}{l} \frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} < 1 \\ \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 \end{array}$

توجه شود که به‌شرط $\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} < 1$ می‌توان دریافت که دنباله $\{a_{n}\}$ نزولی است.

تمرین

نشان دهید سری های زیر همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \frac{1}{n} + {(- 1)}^{n + 2} \frac{1}{n + 1} + \dots$

بررسی شرط اول:

$\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \frac{|{(- 1)}^{n + 2} \frac{1}{n + 1}|}{|{(- 1)}^{n + 1} \frac{1}{n}|} = \frac{\frac{1}{n + 1}}{\frac{1}{n}} = \frac{n}{n + 1} < 1$

بررسی شرط دوم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} {(- 1)}^{n + 1} \times \frac{1}{n} = 0$

این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \times \frac{n + 2}{n (n + 1)}$

بررسی شرط اول:

$\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \frac{|{(- 1)}^{n + 1} \frac{n + 3}{(n + 1) (n + 2)}|}{|{(- 1)}^{n} \frac{n + 2}{n (n + 1)}|} = \frac{\frac{n + 3}{(n + 1) (n + 2)}}{\frac{n + 2}{n (n + 1)}} = \frac{n (n + 3) (n + 1)}{(n + 1) {(n + 2)}^{2}} = \frac{n (n + 3)}{{(n + 2)}^{2}} = \frac{n^{2} + 3 n}{n^{2} + 4 n + 4} < 1$

بررسی شرط دوم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} {(- 1)}^{n} \times \frac{n + 2}{n (n + 1)} = 0$

این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k}$

بررسی شرط اول:

$\frac{|a_{k + 1}|}{|a_{k}|} = \frac{|\frac{{(- 1)}^{k}}{k + 1}|}{|\frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k}|} = \frac{\frac{1}{k + 1}}{\frac{1}{k}} = \frac{k}{k + 1} < 1$

بررسی شرط دوم:

$\lim_{k \to + \infty} a_{k} = \lim_{k \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} = 0$

این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\cos (n π)}{\sqrt{n}}$

بررسی شرط اول:

$\frac{\cos (n π)}{\sqrt{n}} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}}$

$\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \frac{|\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}|}{|\frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}}|} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} < 1$

بررسی شرط دوم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{\cos (n π)}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}} = 0$

این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

سری متناوب

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟