سری متناوب

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 02 شهریور 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

اگر به ازای تمام اعداد طبیعی n جمله an>0 باشد، آن‌گاه دو سری زیر را متناوب گوییم:

n=11n+1.an=a1a2+a3a4++1n+1an+n=11n.  an=a1+a2a3+a4+1nan+

قضیه

آزمون سری متناوب

اگر جملات سری به‌تناوب، مثبت و منفی باشند و به ازای هر عدد طبیعی n دو شرط زیر برقرار باشد، آن‌گاه سری متناوب n=1an همگراست:

  an+1an<1limn+an=0

توجه شود که به‌شرط an+1an<1 می‌توان دریافت که دنباله an نزولی است.

تمرین

نشان دهید سری های زیر همگراست.

n=11n+1n

n=11n+1n=112+1314++1n+11n+1n+21n+1+


بررسی شرط اول:

an+1an=1n+21n+11n+11n= 1n+1 1n=nn+1<1


بررسی شرط دوم:

limn+an=limn1n+1×1n=0


این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

n=11n×n+2nn+1

بررسی شرط اول:

an+1an=1n+1n+3n+1n+21nn+2nn+1= n+3n+1n+2 n+2nn+1=nn+3n+1n+1n+22=nn+3n+22=n2+3nn2+4n+4<1


بررسی شرط دوم:

limn+an=limn+1n×n+2nn+1=0


این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

k=11k1k

بررسی شرط اول:

ak+1ak=1kk+11k1k= 1k+1 1k=kk+1<1


بررسی شرط دوم:

limk+ak=limk+1k1k=0


این سری بنا به قضیه آزمون سری های متناوب، همگراست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید