سری همساز (هارمونیک)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 02 شهریور 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

سری زیر را سری همساز یا هارمونیک می‌گویند: 

n=11n=1+12+13++1n+

اگر چه این سری شرط لازم همگرایی را دارد، یعنی:

limn1n=0

ولی سری واگراست.

برای اثبات واگرایی سری، جملات آن را به‌صورت زیر دسته بندی می‌کنیم:

1+12+13+14+15+16+17+18+19+110+111++116+

مجموعه جملات هر دسته از اعداد فوق که زیرشان خط کشیده شده است بزرگ‌تر از 12 است و تعداد این دسته‌ها بی‌نهایت است، پس مجموع فوق به سمت عدد معینی میل نمی‌کند، بنابراین سری همساز واگراست.

قضیه

سری همساز n=11n واگراست.  

اثبات

S=n=11nS=1+12+13+...+1n+...S=1+12+13+...+1n+1n+1+...+1n+nS=Sn+1n+1+...+1n+nS=Sn+1n+1+...+12nSn+12n+...+12nSSn+n2nSSn+12limnSSnlimn12    ;     limnS=limnSn=0012

اگر سری همگرا باشد، Sn همگراست اما چون 012 یک تناقض است پس سری فوق واگراست  

تمرین

همگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

k=157k

به‌طوری‌که ملاحظه می‌شود:

limkak=limk57k=0


یعنی حد جمله عمومی این سری صفر است.


همان‌طور که قبلا هم تاکید شد این شرط  شرط لازم همگرایی است نه شرط کافی:

k=157k=57+52×7+53×7++5k×7+=571+12++1k+=57k=11k


k=11k سری همساز و واگراست، بنابراین 57k=11k هم واگراست. 

12112+1+13113+1+

اگر حاصل جمع n جمله اول سری را با Sn نشان دهیم، داریم:

Sn=12112+1+13113+1++1n11n+1+1n+111n+1+1Sn=2+121+3+12312++n+1+1nn+11nSn=2+1++2nSn=221+231+241++2n1+2nSn=21+12+13++1n1+1nSn=2n=11n


k=11n سری همساز و واگراست، بنابراین 2k=11n هم واگراست. 

111+112+113+

این سری از روی سری همساز با حذف ده جمله اول در سری همساز به‌دست آمده است. می‌خواهیم ثابت کنیم که این سری واگراست:


اگر این سری همگرا باشد و مقدار آن σ باشد، آن‌گاه:

S=1+12+13++110+δ


حاصل جمع سری همساز خواهد شد و این با واگرا بودن سری همساز متناقض است، بنابراین سری مفروض واگراست.

12+14+16+18+110+

توجه کنید که سری فوق هندسی نیست و قدر نسبت آن قابل محاسبه نیست زیرا تقسیم هر جمله به جمله ما قبل یک، عدد متفاوت است.

12+14+16+=121+12+13+


پرانتز، سری همساز است و واگراست.

تمرین

کدام یک از سری های زیر واگرا است؟

n=11n2   (1n=11n!   (2n=1n+1n3(3n=11n   (4

1n>1nn=11n>n=11n


n=11n یک سری  هارمونیک و واگراست پس n=11n واگراست.


گزینه 4 صحیح است. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید