لیست

سری همساز (هارمونیک)

آخرین ویرایش: 05 آبان 1400
دسته‌بندی: سری های ریاضی
امتیاز:

سری زیر را سری همساز یا هارمونیک می‌گویند: 

n=11n=1+12+13++1n+

اگر چه این سری شرط لازم همگرایی را دارد، یعنی:

limn1n=0

ولی سری واگراست.

برای اثبات واگرایی سری، جملات آن را به‌صورت زیر دسته بندی می‌کنیم:

1+12+13+14+15+16+17+18+19+110+111++116+

مجموعه جملات هر دسته از اعداد فوق که زیرشان خط کشیده شده است بزرگ‌تر از 12 است و تعداد این دسته‌ها بی‌نهایت است، پس مجموع فوق به سمت عدد معینی میل نمی‌کند، بنابراین سری همساز واگراست.

قضیه

سری همساز n=11n واگراست.  

اثبات

S=n=11nS=1+12+13+...+1n+...S=1+12+13+...+1n+1n+1+...+1n+nS=Sn+1n+1+...+1n+nS=Sn+1n+1+...+12nSn+12n+...+12nSSn+n2nSSn+12limnSSnlimn12    ;     limnS=limnSn=0012

اگر سری همگرا باشد، Sn همگراست اما چون 012 یک تناقض است پس سری فوق واگراست  

تمرین

همگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

k=157k

به‌طوری‌که ملاحظه می‌شود:

limkak=limk57k=0


یعنی حد جمله عمومی این سری صفر است.


همان‌طور که قبلا هم تاکید شد این شرط  شرط لازم همگرایی است نه شرط کافی:

k=157k=57+52×7+53×7++5k×7+=571+12++1k+=57k=11k


k=11k سری همساز و واگراست، بنابراین 57k=11k هم واگراست. 

12112+1+13113+1+

اگر حاصل جمع n جمله اول سری را با Sn نشان دهیم، داریم:

Sn=12112+1+13113+1++1n11n+1+1n+111n+1+1Sn=2+121+3+12312++n+1+1nn+11nSn=2+1++2nSn=221+231+241++2n1+2nSn=21+12+13++1n1+1nSn=2n=11n


k=11n سری همساز و واگراست، بنابراین 2k=11n هم واگراست. 

111+112+113+

این سری از روی سری همساز با حذف ده جمله اول در سری همساز به‌دست آمده است. می‌خواهیم ثابت کنیم که این سری واگراست:


اگر این سری همگرا باشد و مقدار آن σ باشد، آن‌گاه:

S=1+12+13++110+δ


حاصل جمع سری همساز خواهد شد و این با واگرا بودن سری همساز متناقض است، بنابراین سری مفروض واگراست.

12+14+16+18+110+

توجه کنید که سری فوق هندسی نیست و قدر نسبت آن قابل محاسبه نیست زیرا تقسیم هر جمله به جمله ما قبل یک، عدد متفاوت است.

12+14+16+=121+12+13+


پرانتز، سری همساز است و واگراست.

n=15n

=5n=11n


سری n=11n واگراست، بنابراین سری فوق واگراست.


به عبارت دیگر اگر یک سری واگرا را در یک عدد ثابت ضرب کنیم، باز هم واگرا خواهد بود. 

n=41n

n=11n=1+12+13+n=41n


n=41n=(n=11n)116


در این حالت ما یک عدد محدود را از یک سری واگرا کم می‌کنیم. این تفریق واگرایی سری را تغییر نمی‌دهد.


سری فوق واگراست.

تمرین

کدام یک از سری های زیر واگرا است؟

n=11n2   (1n=11n!   (2n=1n+1n3(3n=11n   (4

1n>1nn=11n>n=11n


n=11n یک سری  هارمونیک و واگراست پس n=11n واگراست.


گزینه 4 صحیح است. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید