سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

سری همساز (هارمونیک)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

سری زیر را سری همساز یا هارمونیک می‌گویند:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$

اگر چه این سری شرط لازم همگرایی را دارد، یعنی:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

ولی سری واگراست.

برای اثبات واگرایی سری، جملات آن را به‌صورت زیر دسته بندی می‌کنیم:

$1 + \frac{1}{2} + \underset{}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}} + \underset{}{\underset{⏟}{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}} + \underset{}{\underset{⏟}{\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{16}}} + \dots$

مجموعه جملات هر دسته از اعداد فوق که زیرشان خط کشیده شده است بزرگ‌تر از $(\frac{1}{2})$ است و تعداد این دسته‌ها بی‌نهایت است، پس مجموع فوق به سمت عدد معینی میل نمی‌کند، بنابراین سری همساز واگراست.

قضیه

سری همساز $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ واگراست.

اثبات

$\begin{array}{l} S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \\ \Rightarrow S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ... \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n + 1} + ... + \frac{1}{n + n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = S_{n} + (\frac{1}{n + 1} + ... + \frac{1}{n + n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = S_{n} + (\frac{1}{n + 1} + ... + \frac{1}{2 n}) \geq S_{n} + (\frac{1}{2 n} + ... + \frac{1}{2 n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S \geq S_{n} + (\frac{n}{2 n}) \\ \Rightarrow S \geq S_{n} + \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (S - S_{n}) \geq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}; \lim_{n \to \infty} S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow 0 \geq \frac{1}{2}$

اگر سری همگرا باشد، $\{S_{n}\}$ همگراست اما چون $0 \geq \frac{1}{2}$ یک تناقض است پس سری فوق واگراست

تمرین

همگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{5}{7 k}$

به‌طوری‌که ملاحظه می‌شود:

$\lim_{k \to \infty} a_{k} = \lim_{k \to \infty} \frac{5}{7 k} = 0$

یعنی حد جمله عمومی این سری صفر است.

همان‌طور که قبلا هم تاکید شد این شرط شرط لازم همگرایی است نه شرط کافی:

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{5}{7 k} = \frac{5}{7} + \frac{5}{2 \times 7} + \frac{5}{3 \times 7} + \dots + \frac{5}{k \times 7} + \dots = \frac{5}{7} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{k} + \dots) = \frac{5}{7} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ سری همساز و واگراست، بنابراین $\frac{5}{7} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ هم واگراست.

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \dots$

اگر حاصل جمع $n$ جمله اول سری را با $S_{n}$ نشان دهیم، داریم:

$\begin{array}{l} S_{n} = (\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{1}{\sqrt{2} + 1}) + (\frac{1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + 1}) + \dots + (\frac{1}{\sqrt{n} - 1} - \frac{1}{\sqrt{n} + 1}) + (\frac{1}{\sqrt{n + 1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = [(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)] + [(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}) - (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})] + \dots + [(\frac{\sqrt{n + 1} + 1}{n}) - (\frac{\sqrt{n + 1} - 1}{n})] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = (2) + (1) + \dots + (\frac{2}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{2}{2 - 1} + \frac{2}{3 - 1} + \frac{2}{4 - 1} + \dots + \frac{2}{n - 1} + \frac{2}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 2 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{array}$

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ سری همساز و واگراست، بنابراین $2 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ هم واگراست.

$\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \dots$

این سری از روی سری همساز با حذف ده جمله اول در سری همساز به‌دست آمده است. می‌خواهیم ثابت کنیم که این سری واگراست:

اگر این سری همگرا باشد و مقدار آن $σ$ باشد، آن‌گاه:

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10} + δ$

حاصل جمع سری همساز خواهد شد و این با واگرا بودن سری همساز متناقض است، بنابراین سری مفروض واگراست.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \dots$

توجه کنید که سری فوق هندسی نیست و قدر نسبت آن قابل محاسبه نیست زیرا تقسیم هر جمله به جمله ما قبل یک، عدد متفاوت است.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots)$

پرانتز، سری همساز است و واگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5}{n}$

$= 5 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

سری $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ واگراست، بنابراین سری فوق واگراست.

به عبارت دیگر اگر یک سری واگرا را در یک عدد ثابت ضرب کنیم، باز هم واگرا خواهد بود.

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{n}$

$\Rightarrow \sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{n} = (\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}) - \frac{11}{6}$

در این حالت ما یک عدد محدود را از یک سری واگرا کم می‌کنیم. این تفریق واگرایی سری را تغییر نمی‌دهد.

سری فوق واگراست.

تمرین

کدام یک از سری های زیر واگرا است؟

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} (2 \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^{3}} (3 \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (4 \end{array}$

$\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{n} \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} > \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ یک سری هارمونیک و واگراست پس $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ واگراست.

گزینه $(4)$ صحیح است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

سری همساز (هارمونیک)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟