لیست

انواع آزمون

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: سری های ریاضی
امتیاز:

از انواع آزمون زیر برای تشخیص همگرایی و یا واگرایی سری استفاده می‌شود.

آزمون مقایسه

قضیه

اگر سری n=1an و سری n=1bn سری هایی با جملات مثبت باشند و از اندیسی به بعد داشته باشیم 0<anbn:

1- اگر سری n=1bn همگرا باشد، آن‌گاه سری n=1an هم همگراست.   

2- اگر سری n=1bn واگرا باشد، آن‌گاه سری n=1an هم واگراست.    

تذکر

برای به‌کار بردن آزمون مقایسه در تعیین همگرایی یا واگرایی سری ها باید از یک سری که همگرایی آن برای ما مشخص است، استفاده کنیم.

دو نوع سری شناخته شده مهم که بیش‌تر مورد استفاده قرار می‌گیرند، یکی سری هندسی است که قبلا بررسی کردیم و دیگری سری p است.

از سری همساز هم گاهی از اثبات واگرایی استفاده می‌کنیم.

یادآوری

سری هندسی همگرا: 

n=1arn    ;     1<r<1

سری p همگرا:

n=11np    ;    p>1

سری همساز واگرا:

n=11n=1+12++1n+

تمرین

با استفاده از آزمون مقایسه، همگرا یا واگرا بودن سری های زیر را مشخص کنید.

n=1nn2cos2(n)

nn2=1n


nn2cos2(n)>nn2=1n


n=11n واگراست، بنابراین سری فوق هم واگراست.

n=1enn+cos2(n)

enn+cos2(n)ennen1=en


به بررسی همگرایی n=1en می‌پردازیم:


از آزمون انتگرال استفاده می‌کنیم:

1exdx=limt1texdx


1exdx=limt(ex)|1t


1exdx=limt(et+e1)


1e-xdx=e-1


n=1en همگراست، بنابراین سری فوق هم همگراست.

n=1n2+2n4+5

n2n4=1n2n2+2n4+5<n2+2n4


n=1n2+2n4=n=1n2n4+n=12n4


n=1n2+2n4=n=11n2+n=12n4


هر دو سری فوق همگراست(سری p ) بنابراین n=1n2+2n4 همگراست، بنابراین سری فوق هم همگراست.

دریافت مثال

نکته

1- فرض کنیم an و bn دنباله های با جملات مثبت و دنباله anbn کراندار باشد در این‌صورت اگر n=1bn همگرا باشد، آن‌گاه n=1an همگراست.  

2- فرض کنیم an و bn دنباله های با جملات مثبت و عدد مثبت M وجود داشته باشد به‌طوری که به ازای هر n طبیعی anbnM باشد، در این‌صورت اگر n=1an همگرا باشد، آن‌گاه n=1bn همگراست. 

3- اگر limnanbn=0، آن‌گاه اگر n=1bn همگرا باشد، آن‌گاه n=1an همگراست. 

در حالت خاص اگر limnanbn=1 باشد، آن‌گاه باز هم سری n=1an و n=1bn از نظر همگرایی و یا واگرایی یکسان هستند.   

آزمون نسبت (دستور دالامبر) 

قضیه

اگر n=1an یک سری مثبت باشد و فرض کنیم limnan+1an=L، آن‌گاه:

1- اگر L<1 باشد، سری همگراست.

2- اگر L>1 باشد، سری واگراست.

3- اگر L=1 باشد، این آزمون برای تشخیص رفتار سری کافی نیست و بایستی از آزمون‌های دیگر استفاده کنیم. 

تمرین

همگرا یا واگرایی سری های زیر را با استفاده از آزمون نسبت، مشخص کنید.

n=1(10)n42n+1(n+1)

an=(10)n42n+1(n+1)


an+1=(10)n+142(n+1)+1((n+1)+1)=(10)n+142n+3(n+2)


L=limn|an+11an|


L=limn|(10)n+142n+3(n+2)42n+1(n+1)(10)n|


L=limn|10(n+1)42(n+2)|


L=1016limnn+1n+2


L=1016<1


با توجه به آزمون نسبت، سری فوق همگراست.

n=0n!5n

L=limn|an+11an|


L=limn|(n+1)!5n+15nn!|=limn(n+1)!5n!


L=limn(n+1)n!5n!


L=limn(n+1)5=>1


با توجه به آزمون نسبت، سری فوق واگراست.

n=2n2(2n1)!

L=limn|an+11an|


L=limn|(n+1)2(2(n+1)1)!(2n1)!n2|


L=limn|(n+1)2(2n+1)!(2n1)!n2|


L=limn(n+1)2(2n+1)(2n)(2n1)!(2n1)!n2


L=limn(n+1)2(2n+1)(2n)(n2)


L=0<1


با توجه به آزمون نسبت، سری فوق همگراست.

n=19n(2)n+1n

L=limn|an+11an|


L=limn|9n+1(2)n+2(n+1)(2)n+1n9n|


L=limn|9n(2)(n+1)|


L=92limnnn+1


L=92>1


با توجه به آزمون نسبت، سری فوق واگراست.

n=0(1)nn2+1

L=limn|an+11an|


L=limn|(1)n+1(n+1)2+1n2+1(1)n|=limnn2+1(n+1)2+1=1


آزمون نسبت برای تشخیص رفتار سری کافی نیست و بایستی از آزمون‌های دیگر استفاده کنیم. 

دریافت مثال

 آزمون ریشه nام

قضیه

اگر در سری n=1an فرض کنیم limnann=L، آن‌گاه: 

1- اگر 0L<1 باشد، سری n=1an همگراست.

2- اگر L>1 باشد، سری n=1an واگراست.

3- اگر L=1 باشد، این آزمون برای تشخیص رفتار سری کافی نیست و بایستی از آزمون‌های دیگر استفاده کنیم. 

توجه کنید که:

L=limn|an|n=limn|an|1n

نکته

در استفاده از آزمون ریشه، تساوی زیر بسیار مفید است:

limnn1n=1

تمرین

همگرا یا واگرایی سری های زیر را با استفاده از آزمون ریشه، مشخص کنید.

n=1nn31+2n

L=limn|nn31+2n|1n=limnn31n+2=32=>1


با توجه به آزمون ریشه، سری فوق واگراست.

n=0(5n3n37n3+2)n

L=limn|(5n3n37n3+2)n|1n=limn|5n3n37n3+2|=|37|=37<1


با توجه به آزمون ریشه، سری فوق همگراست.

n=3(12)nn

L=limn|(12)nn|1n=limn12n1n=121=12>1


با توجه به آزمون ریشه، سری فوق واگراست.

n=1(3n+142n)2n

L=limn|(3n+142n)2n|1n=limn|(3n+142n)2|=(32)2=94


با توجه به آزمون ریشه، سری فوق واگراست.

n=0n13n42n

L=limn|n13n42n|1n=limn|n1n342|=|n1nn342|=(1)(0)16=0


با توجه به آزمون ریشه، سری فوق همگراست.

دریافت مثال

آزمون مقایسه حد

قضیه

دو سری n=1an و n=1bn را در نظر می‌گیریم:

1- اگر limnanbn=L>0 باشد، آن‌گاه رفتار دو سری یکی است.

2- اگر limnanbn=0 و سری n=1bn همگرا باشد، آن‌گاه سری n=1an هم همگراست.

3- اگر limnanbn= و سری n=1bn واگرا باشد، آن‌گاه سری n=1an واگراست. 

تمرین

رفتار دو سری زیر را بررسی کنید.

n=1nn2+5    ,    n=11n

limnanbn=limn 1n nn2+5=limnn2+5n2=1>0


بنا به آزمون مقایسه حد، دو سری هم رفتار هستند و چون سری n=11n سری همساز و واگرا است پس سری n=1nn2+5 هم واگراست. 

تمرین

همگرا یا واگرایی سری  زیر را با استفاده از آزمون مقایسه حد، مشخص کنید.

n=74n22n3

an=4n22n3


n7n2>2n+3n22n3=n2(2n+3)>0


bn=4n2


با استفاده از سری p می‌توان گفت که n=44n2 همگراست.


n2>n22n34n2<4n22n3


L=limnanbn=limn[an1bn]=limn[4n22n3n24]=limn[n2n22n3]=1


سری فوق همگراست.

تمرین

همگرا یا واگرایی سری های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه حد، مشخص کنید.

n=013nn

سری هندسی n=013n همگراست.

L=limn13n×3nn1


L=limn1n3n


L=1limnn3n


برای محاسبه حد فوق از قاعده هوپیتال استفاده می‌کنیم:

L=1limn13nln(3)=1>0


رفتار دو سری یکی است، پس سری فوق همگراست.

n=24n2+nn7+n33

n2n73=n2n73=1n13


L=limn4n2+nn7+n33n131


L=limn4n73+n43n7(1+1n4)3


L=limnn73(4+1n)n731+1n43L=413=4>0


سری n=21n13 واگراست و رفتار دو سری یکی است، پس سری فوق واگراست. 

تمرین

سری های n=1an و n=1bn با جملات مثبت مفروضند. ثابت کنید اگر limnanbn=A>0 باشد، آن‌گاه:

رفتار دو سری یکی هست، یعنی اگر یکی همگرا باشد دیگری هم همگرا است و اگر یکی واگرا باشد، دیگری هم واگرا است.

limnanbn=A

β>0   MN  ,  nManbnA<βanbnA<A2     ;   ifβ=A2

A2<anbnA<A2AA2<anbn<A+A2A2<anbn<3A2anbn<3A2an<3A2bnanbn>A2an>A2bnn=13A2bn>n=1ann=1an>n=1A2bn


بنابر آزمون مقایسه، اگر n=1an همگرا باشد، n=13A2bn همگرا است و برعکس. 

تذکر

فرض کنیم: 

Cn=PnQn=a0np+a1np1++apb0nq+b1nq1++bq ; a0,b00

شرط لازم و کافی برای آن‌که سری n=1Cn همگرا باشد آن است که q حداقل دو واحد از p بیش‌تر است.   

ifp=qlimn+Cn=a0b00

سری واگراست.

if  p>qlimn+Cn=

سری واگراست.

if   q=p+1limn+Cn 1n=limn+nPnQn=a0b00

بنابر قضیه آزمون مقایسه حد n=1Cn و n=11n یک‌نوع هستند و چون n=11n واگراست پس n=1Cn واگرا است.

if  qp+2limn+Cn 1nk=limn+nkPnQn

چون n=11nk سری ریمان و k2 همگراست پس n=1Cn بنابر آزمون مقایسه حد، همگراست. 

تمرین

همگرایی یا واگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

k=11k+25

واگراست.

k=013k+12

همگراست.

k=04k3+kk63k+1

همگراست.

k=12k7+k5+2k8+1

واگراست.

آزمون انتگرال کوشی

فرض کنیم n=1an یک سری با جملات مثبت باشد و f تابعی باشد که از قرار دادن x به‌جای n در an به‌دست آید.

اگر f به‌ازای x1 مثبت و پیوسته و نزولی باشد در این‌صورت سری n=1an و انتگرال 1+fxdxهر دو با هم همگرا یا هر دو با هم واگرا می‌باشند.  

به‌طور کلی قضیه زیر را بیان می‌کنیم:

قضیه

فرض کنیم f تابعی پیوسته و نزولی روی بازه m,+ باشد و an هم نزولی باشد، آن‌گاه:

1- m+fxdx همگرا باشد، آن‌گاه سری n=1an همگراست. 

2- اگر m+fxdx واگرا باشد، آن‌گاه سری n=1an واگراست. 

تمرین

رفتار سری های زیر را مشخص کنید.

n=11n

fx=1xf'x=1x2x1f'<0


یعنی 
f به‌ازای x1 مثبت و پیوسته و نزولی است و بنا به قاعده آزمون انتگرال کوشی می‌نویسیم:

1+1xdx=limk+1k1xdx1+1xdx=limk+Lnxk11+1xdx=limk+LnkLn11+1xdx=limk+Lnk1+1xdx=limk+Ln+1+1xdx=+


سری فوق واگرا است و این مطلب قبلا بر اساس سری های همساز بیان شده است.

n=11n4

fx=1x4f'x=4x5<0


یعنی 
f به‌ازای x1 مثبت و پیوسته و نزولی است و بنا به قاعده آزمون انتگرال کوشی می‌نویسیم:

1+=1x4dx=limk+1kx4dx1+=1x4dx=limk+13x3k11+=1x4dx=limk+13k3+13=13


چون 1+1x4dx=13 پس همگراست، لذا سری n=11n4 همگراست.

n=31nLnn

fx=1xLnxf'x=Lnx+1xLnx2<0


یعنی f به‌ازای x3 مثبت و پیوسته و نزولی است و بنا به قاعده آزمون انتگرال کوشی می‌نویسیم:

3+1xLnxdx=limk+3k1xLnxdx3+1xLnxdx=limk+LnLnxk3  3+1xLnxdx=limk+LnLnkLnLn33+1xLnxdx=+


  3  +1xLnx واگراست بنابراین سری n=31nLnn هم واگراست.

n=0nen2

f(x)=xex2f'(x)=ex2(12x2)


این تابع دارای دو نقطه بحرانی است.

x=±12


چون حد پایین انتگرال از n=0 شروع می‌شود، نقطه بحرانی نمی‌تواند منفی باشد.


با انتخاب چند نقطه، می‌توانیم ببینیم که تابع در بازه [0,12] افزایش می‌یابد.

0xex2dx=limt0txex2dx ; u=x2


0xex2dx=limt(12ex2)|0t


0xex2dx=limt(1212et2)


0xex2dx=12

n=023+5n

fx=23+5xf'x=-103+5x<0


یعنی f به‌ازای x0 مثبت و پیوسته و نزولی است و بنا به قاعده آزمون انتگرال کوشی می‌نویسیم:

023+5xdx=limt0t23+5xdx


023+5xdx=limt(25ln|3+5x|)|0t


023+5xdx=limt(25ln|3+5t|25ln|3|)


023+5xdx=

n=21(2n+7)3

دنباله زیر را در نظر بگیرید:

an=1(2n+7)3


برای بررسی اکیدا یکنوایی دنباله فوق، می‌توانیم از قواعد دنباله استفاده کنیم.


an=1(2n+7)3>1(2(n+1)+7)3=an+1


یعنی fx=1(2x+7)3 به‌ازای x2 مثبت و پیوسته و نزولی است و بنا به قاعده آزمون انتگرال کوشی می‌نویسیم:


21(2x+7)3dx=limt2t1(2x+7)3dx


21(2x+7)3dx=limt(141(2x+7)2)|2t


21(2x+7)3dx=limt(141(2t+7)2+141(11)2)


21(2x+7)3dx=1484

n=0n2n3+1

f(x)=x2x3+1f'(x)=2xx4(x3+1)2=x(2x3)(x3+1)2


مشتق به ازای x=0 برابر صفر می‌شود.


مشتق به ازای 0<x<23=1.2599 مثبت می‌شود.


مشتق به ازای 23=1.2599<x< منفی می‌شود.


0x2x3+1dx=limt0tx2x3+1dx


0x2x3+1dx=limt(13ln|x3+1|)|0t


0x2x3+1dx=limt(13ln|t3+1|ln(1))


0x2x3+1dx=

n=33n23n+2

f(x)=3x23x+2f'(x)=96x(x23x+2)2


مشتق به ازای x<32 مثبت و صعودی می‌شود.


مشتق به ازای x>32 منفی و نزولی می‌شود.


33x23x+2dx=33x-1x-2dx


33x23x+2dx=33x23x1dx


33x23x+2dx=limt(3ln|x2|3ln|x1|)|3t


33x23x+2dx=limt[3ln|t2|3ln|t1|(3ln|1|3ln|2|)]


33x23x+2dx=limt[3ln|t2t1|+3ln|2|]


33x23x+2dx=3ln(11)+3ln(2)=3ln(2)


33x23x+2dx=3ln(2)

قضیه

آزمون انتگرال را اثبات کنید.

اثبات

سری n=0an با شرط an0 مفروض است. 

فرض کنیم تابع پیوسته f:1,+R را بتوانیم چنان پیدا کنیم که به ازای هر n1 و fn=an

هم‌چنین فرض کنیم هر دوی an و fx نزولی باشند. مطابق شکل نقاط k,ak روی نمودار هستند. 

مستطیل هایی را چنان در نظر می‌گیریم که به عرض 1 و طول های آنها به ترتیب زیر می‌باشند.

a2=f2a3=f3      an=fn

این مستطیل ها را مستطیل های نقصانی می‌نامیم.

انواع آزمون - سری - پیمان گردلو

جمع مساحت های این n مستطیل برابر k=2nak است که از مساحت بین نمودار f و محور x ها در بازه 1,n کم‌تر است.

طبق تعریف انتگرال معین این مساحت برابر 1nfxdx است، پس k=2nak1nfxdx.

اکنون اگر مستطیل هایی را در نظر بگیریم که عرض هر یک به‌ترتیب زیر باشد: 

a1=f1a2=f2       an1=fn1

انواع آزمون - سری - پیمان گردلو

مجموع مساحت های آنها از مساحت بین نمودار f و محور x ها در بازه 1,n بیش‌تر است.

1nfxdxk=1n1akk=2nak1nfxdxk=1n1ak

اگر Sn مجموع جزیی nام سری باشد، آن‌گاه:  

Sna11nfxdx<Sn1

اگر limn+1nfxdx=1fxdx موجود و برابر L باشد:

Sna1LSnL+a1

در این‌صورت Sn همگرا و لذا سری همگراست. 

اگر 1fxdx= آن‌گاه Sn1 در نتیجه سری واگراست. 

خرید پاسخ‌ها

انواع آزمون

2,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید