سری ریمانی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

قضیه

سری n=11np با شرط p>0 به سری p معروف است. در این سری:  

اگر p>1 باشد، آن‌گاه سری همگراست.

اگر p1 باشد، آن‌گاه سری واگراست.

اثبات

اثبات به‌روش انتگرال

می‌خواهیم رفتار سری n=11np را تعیین کنیم. تابع f به معادله زیر را در نظر می‌گیریم: 

fx=1xpf'x=pxp+1<0    ;    x1

این تابع با شرط x1 نزولی و پیوسته است.

1+1xpdx=limk+1k1xpdx=limk+1kxpdx=limk+xp+1p+1k1=limk+kp+1p+11p+1p+1=limk+1p+1kp+11

حالت اول) اگر p>1 باشد، آن‌گاه: 

p1>0    ,    kp+1=1kp1

limk+1p+1kp+11=limk+1p+11kp11=11p01=1p1

اگر p>1 باشد، آن‌گاه سری n=11np همگراست.


حالت دوم)
اگر p1 باشد، آن‌گاه: 

در حالتی که p=1 باشد، آن‌گاه سری n=11np به سری همساز تبدیل شده و واگرا است.  

در حالتی که p<1 باشد:

p<1p+1>0if  k+kp+1+

limk+1p+1kp+11=+

اثبات

اثبات به روش دسته‌بندی

برای p>1 سری n=11np همگراست: 

n=11np=11p+12p+13p+14p+15p+16p+17p+18p+...+115p+....                           +12n1p+...+12n1p+....

n=11np<11p+12p+12p+14p+14p+14p+14p+18p+...+18p+...                           +12n1p+...+12n1p+....

n=11np<11p+22p+44p+88p++2n12n1p+n=11np<n=12n12n1pn=11np<n=122pn1n=11np<n=112p1n1

n=112p1n1 یک سری هندسی با قدر نسبت r=12p1 است

p>10<12p1<1

بنابر آزمون مقایسه سری p همگرا است.

تمرین

همگرایی سری های زیر را بررسی کنید:

n=11n5

fx=1x5f'x=5x6<0


با شرط x1 تابع f پیوسته مثبت و نزولی است:

1+1x5dx=limk+1k1x5dx=limk+1kx5dx=limk+14x4k1=limk+14k4+14=0+14=14


سری فوق همگراست.

n=11n5

fx=1x5f'x=15xx5<0


با شرط x1 تابع f پیوسته مثبت و نزولی است:

1+1x5dx=limk+1k1x5dx=limk+54x45k1limk+54k4554=+


سری فوق واگراست.

n=1sinxnr ; x>0

sinxnr1nrn=1sinxnrn=11nr


اگر r>1 باشد، سری فوق همگراست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید