سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

سری ریمانی

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

سری $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ با شرط $p > 0$ به سری $p$ معروف است. در این سری:

اگر $p > 1$ باشد، آن‌گاه سری همگراست.

اگر $p \leq 1$ باشد، آن‌گاه سری واگراست.

اثبات

اثبات به‌روش انتگرال

می‌خواهیم رفتار سری $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ را تعیین کنیم. تابع $f$ به معادله زیر را در نظر می‌گیریم:

$f (x) = \frac{1}{x^{p}} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- p}{x^{p + 1}} < 0; x \geq 1$

این تابع با شرط $x \geq 1$ نزولی و پیوسته است.

$\begin{array}{l} \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x \\ = \lim_{k \to + \infty} \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{p}} d x \\ = \lim_{k \to + \infty} \int_{1}^{k} x^{- p} d x \\ = \lim_{k \to + \infty} [\frac{x^{- p + 1}}{- p + 1} |\begin{array}{l} k \\ 1 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{k \to + \infty} [\frac{k^{- p + 1}}{- p + 1} - \frac{1^{- p + 1}}{- p + 1}] \end{array}$

$= \lim_{k \to + \infty} [\frac{1}{- p + 1} (k^{- p + 1} - 1)]$

حالت اول) اگر $p > 1$ باشد، آن‌گاه:

$p - 1 > 0, k^{- p + 1} = \frac{1}{k^{p - 1}}$

$\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{- p + 1} (k^{- p + 1} - 1) = \lim_{k \to + \infty} \frac{1}{- p + 1} (\frac{1}{k^{p - 1}} - 1) = \frac{1}{1 - p} (0 - 1) = \frac{1}{p - 1}$

اگر $p > 1$ باشد، آن‌گاه سری $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ همگراست.

حالت دوم) اگر $p \leq 1$ باشد، آن‌گاه:

در حالتی که $p = 1$ باشد، آن‌گاه سری $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ به سری همساز تبدیل شده و واگرا است.

در حالتی که $p < 1$ باشد:

$\begin{array}{l} p < 1 \Rightarrow - p + 1 > 0 \\ i f k \to + \infty \Rightarrow k^{- p + 1} \to + \infty \end{array}$

$\lim_{k \to + \infty} [\frac{1}{- p + 1} (k^{- p + 1} - 1)] = + \infty$

اثبات

اثبات به روش دسته‌بندی

برای $p > 1$ سری $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ همگراست:

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} = \frac{1}{1^{p}} + (\frac{1}{2^{p}} + \frac{1}{3^{p}}) + (\frac{1}{4^{p}} + \frac{1}{5^{p}} + \frac{1}{6^{p}} + \frac{1}{7^{p}}) + (\frac{1}{8^{p}} + ... + \frac{1}{15^{p}}) + .... + (\frac{1}{{(2^{n - 1})}^{p}} + ... + \frac{1}{{(2^{n} - 1)}^{p}}) + .... \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} < \frac{1}{1^{p}} + (\frac{1}{2^{p}} + \frac{1}{2^{p}}) + (\frac{1}{4^{p}} + \frac{1}{4^{p}} + \frac{1}{4^{p}} + \frac{1}{4^{p}}) + (\frac{1}{8^{p}} + ... + \frac{1}{8^{p}}) + ... + (\frac{1}{{(2^{n - 1})}^{p}} + ... + \frac{1}{{(2^{n - 1})}^{p}}) + .... \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} < \frac{1}{1^{p}} + \frac{2}{2^{p}} + \frac{4}{4^{p}} + \frac{8}{8^{p}} + \dots + \frac{2^{n - 1}}{{(2^{n - 1})}^{p}} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n - 1}}{{(2^{n - 1})}^{p}} \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} < \sum_{n = 1}^{\infty} {[\frac{2}{2^{p}}]}^{n - 1} \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} < \sum_{n = 1}^{\infty} {[\frac{1}{2^{p - 1}}]}^{n - 1} \end{array}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} {[\frac{1}{2^{p - 1}}]}^{n - 1}$ یک سری هندسی با قدر نسبت $r = \frac{1}{2^{p - 1}}$ است

$p > 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{2^{p - 1}} < 1$

بنابر آزمون مقایسه سری $p$ همگرا است.

تمرین

همگرایی سری های زیر را بررسی کنید:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{5}} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 5}{x^{6}} < 0$

با شرط $x \geq 1$ تابع $f$ پیوسته مثبت و نزولی است:

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{5}} d x = \lim_{k \to + \infty} \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{5}} d x = \lim_{k \to + \infty} \int_{1}^{k} x^{- 5} d x = \lim_{k \to + \infty} (\frac{- 1}{4 x^{4}} |\begin{array}{l} k \\ 1 \end{array} = \lim_{k \to + \infty} (\frac{- 1}{4 k^{4}} + \frac{1}{4}) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

سری فوق همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}$

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 1}{5 x \sqrt[5]{x}} < 0$

با شرط $x \geq 1$ تابع $f$ پیوسته مثبت و نزولی است:

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x = \lim_{k \to + \infty} \int_{1}^{k} \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x = \lim_{k \to + \infty} (\frac{5}{4} \sqrt[5]{x^{4}} |\begin{array}{l} k \\ 1 \end{array} \Rightarrow \lim_{k \to + \infty} (\frac{5}{4} \sqrt[5]{k^{4}} - \frac{5}{4}) = + \infty$

سری فوق واگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{\sin x}{n})}^{r}; x > 0$

$|{(\frac{\sin x}{n})}^{r}| \leq \frac{1}{n^{r}} \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{\sin x}{n})}^{r} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{r}}$

اگر $r > 1$ باشد، سری فوق همگراست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

سری ریمانی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟