سری توانی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

در بین سری هایی که جمله های متغیر دارند، سری توانی اهمیت ویژه‌ای دارد که به معرفی آن می‌پردازیم.

سری n=0+anxx1n را به‌صورت زیر تعریف کرده و آن را سری توانی می‌نامند:

n=0+anxx1n=a0+a1xx11+a2xx12++anxx1n+

اگر در سری توانی بالا x1=0 آن‌گاه سری توانی بر حسب x حاصل می‌شود که به‌صورت زیر است:

n=0+anxn=a0+a1x+a2x2++anxn+

همگرایی سری توانی

سری توانی زیر را در نظر بگیرید:

n=0+anxx1n=a0+a1xx11+a2xx12++anxx1n+

به ازای x=x1 همگراست، هرگاه حد زیر موجود باشد:

limNn=0Nanxx1n

  • مقدار حد، مجموع سری در نقطه x=x1 نامیده می‌شود.
  • اگر حد موجود نباشد، سری در نقطه x=x1 واگراست.  

شعاع همگرایی سری توانی

در سری n=0+anxx1n اگر xNx1,α باشد یعنی x متعلق به یک همسایگی به مرکز x1 و شعاع α در این‌صورت می توان نتیجه گرفت که:

if  xNx1,αx1α<x<x1+αα<xx1<αxx1<α

برای xx1>α سری واگرا می‌باشد.

برای یافتن شعاع همگرایی، از فرمول زیر استفاده می‌شود:

α=limnanan+1

حالات زیر ممکن است برای α اتفاق بیافتد:

حالت اول)

if  α=0

xx1<αα<xx1<αx1α<x<x1+α    ;     α=0x1<x<x1x=x1

حالت دوم)

if  α=

xx1<αα<xx1<αx1α<x<x1+α    ;     α=x1<x<x1+

یعنی سری برای همه مقادیر x همگراست.

حالت سوم)

if  α=x1

xx1<αα<xx1<αx1α<x<x1+α    ;     α=x1x1x1<x<x1+x1

x در این فاصله همگراست.

تذکر

در مورد سری های نامتناهی که قبلا درباره آنها مفصلا بحث شد.

این سری ها دارای جملات ثابت هستند و با مسلله همگرایی و یا واگرایی آنها سر و کار داریم ولی در بررسی سری های توانی این پرسش مطرح می‌شود که به ازای چه مقادیری از x ، سری توانی همگراست و به ازای هر مقدار از x که سری توانی همگرا باشد، سری عددی را نمایش می‌دهد که همان مجموع سری است.

حوزه تعریف تابع f که با ضابطه fx=n=0+anxn تمام مقادیری از x است که به ازای آنها سری توانی همگرا است.

تمرین

به‌ازای چه مقادیری از x سری های توانی زیر همگراست؟

n=0+1n+1.2n×xnn3n

limn+an+1an=limn+1n+22n+1.xn+1n+13n+11n+12nxnn.3n=limn+1n+2×2n+1×xn+1×n×3n1n+1×2n×xn×n+1×3n+1=limn+23x×nn+1=23xlimn+nn+1=23x


if  23x<1x<3232<x<32

سری توانی، همگرای مطلق است.

if   23x>1x>32x>32x<32


سری توانی واگراست.


if   23x=1x=32x=±32


نمی‌توان در مورد نوع سری اظهار نظر کرد. توجه کنید که بازه 32,32 را بازه همگرایی سری توانی بالا گوییم.

n=1xnn!

limnan+1an=limn xn+1n+1! xnn!=limnxn+1×n!xn×n+1!=limn1n+1x=xlimn1n+1=x×0=0


چون 0<1 پس سری توانی این مساله به ازای همه مقادیر x همگرای مطلق است. 

تمرین

شعاع همگرایی سری های زیر را به‌دست آورید.

n=02nx1nn!

n=02nx1nn!=n=02nn!x1nan=2nn!α=limnanan+1=limn 2nn! 2n+1n+1!=limn2nn+1!2n+1n!=limn2nn+1n!2n×2×n!=limnn+12=


یعنی سری فوق برای همه مقادیر x همگراست.

n=0n!xn

an=n!α=limnanan+1=limnn!n+1!=limnn!n+1n!=limn1n+1=0


سری فقط در x=0 یعنی مرکز سری، همگراست.

n=01nx1n

an=1nα=limnanan+1=limn1n1n+1=1n1n1=1


سری برای x-1<1 یعنی 0<x<2 همگراست.


سری برای x-1>1 یعنی x>2 یا x<0 واگراست.


سری در نقاط x=0 و x=2 واگراست. 

n=01nx2n2n!

an=1n2n!α=limnanan+1=limn1n2n+2!2n!1n+1=limn1n2n+22n+12n!2n!1n1=limn2n+22n+1=


یعنی سری فوق برای همه مقادیر x همگراست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید