سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

سری توانی

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در بین سری هایی که جمله های متغیر دارند، سری توانی اهمیت ویژه‌ای دارد که به معرفی آن می‌پردازیم.

سری $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(x - x_{1})}^{n}$ را به‌صورت زیر تعریف کرده و آن را سری توانی می‌نامند:

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(x - x_{1})}^{n} = a_{0} + a_{1} {(x - x_{1})}^{1} + a_{2} {(x - x_{1})}^{2} + \dots + a_{n} {(x - x_{1})}^{n} + \dots$

اگر در سری توانی بالا $x_{1} = 0$ آن‌گاه سری توانی بر حسب $x$ حاصل می‌شود که به‌صورت زیر است:

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + \dots$

همگرایی سری توانی

سری توانی زیر را در نظر بگیرید:

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(x - x_{1})}^{n} = a_{0} + a_{1} {(x - x_{1})}^{1} + a_{2} {(x - x_{1})}^{2} + \dots + a_{n} {(x - x_{1})}^{n} + \dots$

به ازای $x = x_{1}$ همگراست، هرگاه حد زیر موجود باشد:

$\lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} {(x - x_{1})}^{n}$

مقدار حد، مجموع سری در نقطه $x = x_{1}$ نامیده می‌شود.
اگر حد موجود نباشد، سری در نقطه $x = x_{1}$ واگراست.

شعاع همگرایی سری توانی

در سری $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(x - x_{1})}^{n}$ اگر $x \in N (x_{1}, α)$ باشد یعنی $x$ متعلق به یک همسایگی به مرکز $x_{1}$ و شعاع $α$ در این‌صورت می توان نتیجه گرفت که:

$\begin{array}{l} i f x \in N (x_{1}, α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} - α < x < x_{1} + α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - α < x - x_{1} < α \end{array}$

$\Rightarrow |x - x_{1}| < α$

برای $|x - x_{1}| > α$ سری واگرا می‌باشد.

برای یافتن شعاع همگرایی، از فرمول زیر استفاده می‌شود:

$α = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}|$

حالات زیر ممکن است برای $α$ اتفاق بیافتد:

حالت اول

$i f α = 0$

$\begin{array}{l} |x - x_{1}| < α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - α < x - x_{1} < α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} - α < x < x_{1} + α; α = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} < x < x_{1} \end{array}$

$\Rightarrow x = x_{1}$

حالت دوم

$i f α = \infty$

$\begin{array}{l} |x - x_{1}| < α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - α < x - x_{1} < α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} - α < x < x_{1} + α; α = \infty \end{array}$

$\Rightarrow x_{1} - \infty < x < x_{1} + \infty$

یعنی سری برای همه مقادیر $x$ همگراست.

حالت سوم

$i f α = x_{1}$

$\begin{array}{l} |x - x_{1}| < α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - α < x - x_{1} < α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} - α < x < x_{1} + α; α = x_{1} \end{array}$

$\Rightarrow x_{1} - x_{1} < x < x_{1} + x_{1}$

$x$ در این فاصله همگراست.

تذکر

در مورد سری های نامتناهی که قبلا درباره آنها مفصلا بحث شد.

این سری ها دارای جملات ثابت هستند و با مسلله همگرایی و یا واگرایی آنها سر و کار داریم ولی در بررسی سری های توانی این پرسش مطرح می‌شود که به ازای چه مقادیری از $x$ ، سری توانی

همگراست و به ازای هر مقدار از $x$ که سری توانی همگرا باشد، سری عددی را نمایش می‌دهد که همان مجموع سری است.

حوزه تعریف تابع $f$ که با ضابطه $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ تمام مقادیری از $x$ است که به ازای آنها سری توانی همگرا است.

تمرین

به‌ازای چه مقادیری از $x$ سری های توانی زیر همگراست؟

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n + 1} . \frac{2^{n} \times x^{n}}{n 3^{n}}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} |\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}| \\ = \lim_{n \to + \infty} |\frac{{(- 1)}^{n + 2} \frac{2^{n + 1} . x^{n + 1}}{(n + 1) 3^{n + 1}}}{{(- 1)}^{n + 1} \frac{2^{n} x^{n}}{n {.3}^{n}}}| \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{n \to + \infty} |\frac{{(- 1)}^{n + 2} \times 2^{n + 1} \times x^{n + 1} \times n \times 3^{n}}{{(- 1)}^{n + 1} \times 2^{n} \times x^{n} \times (n + 1) \times 3^{n + 1}}| \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{n \to + \infty} |\frac{2}{3} x \times \frac{n}{n + 1}| \\ = \frac{2}{3} |x| \lim_{n \to + \infty} \frac{n}{n + 1} \\ = \frac{2}{3} |x| \end{array}$

$i f \frac{2}{3} |x| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{3}{2} \Rightarrow - \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

سری توانی، همگرای مطلق است.

$i f \frac{2}{3} |x| > 1 \Rightarrow |x| > \frac{3}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x < - \frac{3}{2} \end{cases}$

سری توانی واگراست.

$i f \frac{2}{3} |x| = 1 \Rightarrow |x| = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{3}{2}$

نمی‌توان در مورد نوع سری اظهار نظر کرد. توجه کنید که بازه $(- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ را بازه همگرایی سری توانی بالا گوییم.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{x^{n}}{n!}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{x^{n + 1} \times n!}{x^{n} \times (n + 1)!}| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} |x| = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = |x| \times 0 = 0$

چون $0 < 1$ پس سری توانی این مساله به ازای همه مقادیر $x$ همگرای مطلق است.

تمرین

شعاع همگرایی سری های زیر را به‌دست آورید.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n} {(x - 1)}^{n}}{n!}$

$\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n} {(x - 1)}^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!} {(x - 1)}^{n} \Rightarrow a_{n} = \frac{2^{n}}{n!} \end{array}$

$\begin{array}{l} α = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{2^{n}}{n!}}{\frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{2^{n} (n + 1)!}{2^{n + 1} n!}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{2^{n} (n + 1) n!}{2^{n} \times 2 \times n!}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{n + 1}{2}| = \infty \end{array}$

یعنی سری فوق برای همه مقادیر $x$ همگراست.

$\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$

$\begin{array}{l} a_{n} = n! \end{array}$

$\begin{array}{l} α = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{n!}{(n + 1)!}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{n!}{(n + 1) n!}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{1}{n + 1}| = 0 \end{array}$

سری فقط در $x = 0$ یعنی مرکز سری، همگراست.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(x - 1)}^{n}$

$\begin{array}{l} a_{n} = {(- 1)}^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} α = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{{(- 1)}^{n}}{{(- 1)}^{n + 1}}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{{(- 1)}^{n} (- 1)}| = 1 \end{array}$

سری برای $|x - 1| < 1$ یعنی $0 < x < 2$ همگراست.

سری برای $|x - 1| > 1$ یعنی $x > 2$ یا $x < 0$ واگراست.

سری در نقاط $x = 0$ و $x = 2$ واگراست.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} α = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{{(- 1)}^{n} (2 n + 2)!}{(2 n)! {(- 1)}^{n + 1}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{{(- 1)}^{n} (2 n + 2) (2 n + 1) (2 n)!}{(2 n)! {(- 1)}^{n} (- 1)}| = \lim_{n \to \infty} |- (2 n + 2) (2 n + 1)| = \infty \end{array}$

یعنی سری فوق برای همه مقادیر $x$ همگراست.

تمرین

شعاع همگرایی و فاصله همگرایی را برای سری توانی زیر تعیین کنید.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} n}{4^{n}} {(x + 3)}^{n}$

$\begin{aligned} α & = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 1)}^{n + 1} (n + 1) {(x + 3)}^{n + 1}}{4^{n + 1}} \frac{4^{n}}{{(- 1)}^{n} (n) {(x + 3)}^{n}} | \end{aligned}$

$\Rightarrow α = lim_{n \to \infty} | \frac{- (n + 1) (x + 3)}{4 n} |$

$\begin{aligned} \Rightarrow α & = | x + 3 | lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{4 n} \end{aligned}$

$\Rightarrow α = \frac{1}{4} | x + 3 |$

$i f \frac{1}{4} | x + 3 | > 1 \Rightarrow | x + 3 | > 4$

سری واگراست.

$i f \frac{1}{4} | x + 3 | < 1 \Rightarrow | x + 3 | < 4$

سری همگراست در نتیجه:

$- 4 < x + 3 < 4 \Rightarrow - 7 < x < 1$

$i f x = - 7$

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} n}{4^{n}} {(- 4)}^{n} & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} n}{4^{n}} {(- 1)}^{n} 4^{n} \end{aligned}$

${\Rightarrow \sum}_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} n}{4^{n}} {(- 4)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(- 1)}^{n} n {(- 1)}^{n} {(- 1)}^{n} = {(- 1)}^{2 n} = 1$

${\Rightarrow \sum}_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} n}{4^{n}} {(- 4)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} n$

$lim_{n \to \infty} n = \infty \neq 0$

سری واگراست.

$i f x = 1$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} n}{4^{n}} {(4)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} n$

$lim_{n \to \infty} {(- 1)}^{n} n$ وجود ندارد، لذا سری فوق واگراست.

در این حالت سری توان برای هیچ یک از نقاط پایانی همگرا نخواهد شد و بازه همگرایی برابر است با:

$- 7 < x < 1$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

سری توانی

همگرایی سری توانی

شعاع همگرایی سری توانی

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟