مجموع توان‌ های متشابه

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

می‌خواهیم درباره مجموع زیر مطالعه کنیم و طریقه محاسبه آن را بررسی کنیم:

Sk=1k+2k++nk

محاسبهS1=1+2++n

قضیه

Sk=1k+2k++nk

if  k=1S1=1+2+3++nS1=12nn+1

اثبات

روش اول-

در حالت k=1 مجموع Sk=1k+2k++nk به مجموع n جمله متوالی از یک دنباله حسابی تبدیل می‌شود که جمله اول 1 قدر نسبت آن 1 و تعداد جملات n می‌باشد و بنابراین خواهیم داشت: 

S1=1+2+3++n=n2an+a1S1=12nn+1

روش دوم-

اتحاد x+12=x2+2x+1 را در نظر می‌گیریم:

این اتحاد به ازای همه مقادیر x برقرار است.

اگر x را به‌ترتیب مساوی عددهای صحیح n  ,...  ,2  ,1  ,  0 بگیریم، داریم:

if   x=012=1if   x=122=12+2×1+1if   x=232=22+2×2+1if   x=342=32+2×3+1                    if   x=nn+12=n2+2n+1

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

12+22+32++n2+n+12=12+22+n2+21+2++n+1++1n+1n+12=21+2+3+...+n+n+12S1=n+12n+12S1=n+1n+112S1=nn+1S1=12nn+1

روش سوم-

تابع fx را از درجه دوم چنان پیدا می‌کنیم که شرایط زیر برقرار باشد:

اولا) f0=0

ثانیا) fxfx1x

ثابت می‌کنیم fn مجموع n عدد صحیح متوالی است.   

با توجه به این‌که fx از درجه دوم و f0=0 است، داریم:  

fx=ax2+bxfx1=ax12+bx1

if    fxfx1xax2+bxax12+bx1xax2+bxax22x+1+bxbxax2+bxax2+2axabx+bx2ax+bax2a=1ba=0a=b=12fx=12x2+12xfx=12xx+1

اگر در اتحاد fxfx1x به‌ترتیب مقادیر n  ,...  ,2  ,1 را به‌جای x قرار دهیم، خواهیم داشت: 

f1f0=1f2f1=2f3f2=3                fnfn1=n

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

fnf0=1+2+...+nf0=0fn=1+2+...+n=12nn+1

نکته

روش هایی را که برای محاسبه S1 به‌کار بردیم، می‌توان عمومیت داد و برای محاسبه ...  ,  S3  ,  S2 مورد استفاده قرار داد.

محاسبهS2=12+22++n2

قضیه

Sk=1k+2k++nk

if  k=2S2=12+22++n2S2=16nn+12n+1

اثبات

روش اول-

اتحاد x+13=x3+3x2+3x+1 را در نظر می‌گیریم.

این اتحاد به ازای همه مقادیر x برقرار است.

اگر x را به‌ترتیب مساوی عددهای صحیح n  ,...  ,2  ,1  ,  0 بگیریم، داریم:

if   x=013=1if   x=123=13+3×12+3×1+1if   x=233=23+3×22+3×2+1                         if   x=nn+13=n3+3n2+3n+1

طرفین تساوی های فوق را باهم جمع می‌کنیم:

13+23++n3+n+13=1+13+23++n3+312+22++n2                                                    +31+2++n+1++1nn+13=3S2+3S1+n+1    ;    S1=12nn+1

3S2=n+13312nn+1n+13S2=n+1n+1232n13S2=n+1n2+12nS2=16nn+12n+1

روش دوم-

تابع fx را از درجه سوم چنان پیدا می‌کنیم که شرایط زیر برقرار باشد:

اولا) f0=0

ثانیا) fxfx1x2

با توجه به این‌که fx از درجه سوم و f0=0 است، داریم:  

fx=ax3+bx2+cxfx1=ax13+bx12+cx1if   fxfx1x2ax3+bx2+cxax13+bx12+cx1x2ax3+bx2+cxax33x2+3x1+bx22x+1+cx1x2

ax3+bx2+cxax33ax2+3axa+bx22bx+b+cxcx2ax3+bx2+cxax3+3ax23ax+abx2+2bxbcx+cx23ax2+2b3ax+ab+cx23a=12b3a=0ab+c=0a=13  ,  b=12  ,  c=16

fx=ax3+bx2+cx=13x3+12x2+16x=16xx+12x+1

اگر در اتحاد fxfx1x2 به‌ترتیب مقادیر n  ,...  ,2  ,1 را به‌جای x قرار دهیم، خواهیم داشت: 

f1f0=12f2f1=22                    fnfn1=n2

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

fnf0=12+22+...+n2S2=fn=16nn+12n+1

تذکر

روش دوم یک برتری نسبت به روش اول دارد و آن این است که با روش اول محاسبه S2 منجر به محاسبه S1 می‌شود در حالی که با روش دوم مقدار S2 مستقیما به‌دست می‌آید.   

با روش دوم می‌توان مثلا به طور مستقیم مقدار S5 را به‌دست آورد در حالی‌که برای محاسبه S5 با روش اول باید قبلا S4,S3,S2,S1 را محاسبه کرد.   

 محاسبهSk=1k+2k++nk

قضیه

if  Sk=1k+2k++nk

اثبات

رابطه Sk دارای شرط های زیر است:

اولا) نسبت به n چندجمله ای از درجه k+1 است.

ثانیا) این چندجمله ای فاقد مقدار ثابت است یعنی f0=0

ثالثا) سه ضریب اولیه این چندجمله ای به‌ترتیب عبارت است از k12  ,  12  ,  1k+1

تابع fx را از درجه k+1 چنان پیدا می‌کنیم که شرایط زیر برقرار باشد:

fxfx1xk    ;    f0=0

در اتحاد:

fxfx1xk    ;    x=1  ,  2  ,  ...  ,  nif   x=1f1f0=1kif   x=2f2f1=2kif   x=3f3f2=3k                    if   x=nfnfn1=nk

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

fnf0=1k+2k+3k++nkf0=0fn=1k++nk=Sk

حالا fx را محاسبه می‌کنیم. fx از درجه k+1 است:

fx=axk+1+bxk+cxk1++Lx    ;    1

fx1=ax1k+1+bx1k+cx1k1++Lx1    ;    2

fxfx1xkaxk+1+bxk+cxk1+...+Lxax1k+1+bx1k+cx1k1++Lx1xkak+1xk+a2k+1k+bkxk1+a6k+1k1kb2kk1+ck1xk2+xk

ak+1=1a2k+1k+bk=0a6k+1kk1b2kk1+ck1=0a=1k+1  ,  b=12  ,  c=k12

fx=1k+1xk+1+12xk+k12xk1+dxk2++Lx

با توجه به آن‌چه گفتیم، می‌توان Sk را در هر مورد مشخص، محاسبه کرد. 

محاسبهS3=13+23++n3

قضیه

Sk=1k+2k++nk

if  k=3S3=13+23++n3S3=14n4+12n3+14n2=14n2n+12

اثبات

S3 را با توجه به قضیه مطرح شده در بالا اثبات می‌کنیم:

fx=1k+1xk+1+12xk+k12xk1+dxk2++LxSk=fnSk=1k+1nk+1+12nk+k12nk1++Ln   ;  k=3S3=14n4+12n3+14n2+Ln

کافی است مقدار L را محاسبه کنیم، در اتحاد زیر داریم:

S3=14n4+12n3+14n2+Ln13+23+33++n314n4+12n3+14n2+Ln    ;    n=11=14+12+14+LL=0

S3=14n4+12n3+14n2=14n2n+12

محاسبهS4=14+24++n4

قضیه

Sk=1k+2k++nk

if  k=4S4=14+24++n4S4=130nn+12n+13n2+3n1

اثبات

S4 را با توجه به قضیه مطرح شده در بالا اثبات می‌کنیم:

fx=1k+1xk+1+12xk+k12xk1+dxk2++LxSk=fnSk=1k+1nk+1+12nk+k12nk1++Ln   ;  k=4  S4=15n5+12n4+13n3+An2+Bn

کافی است مقدار A و B را محاسبه کنیم، در اتحاد زیر داریم:

S4=15n5+12n4+13n3+An2+Bn14+24++n415n5+12n4+13n3+An2+Bnif   n=114=15+12+13+A+B             if   n=214+24=325+8+83+4A+2B  A=0B=130S4=15n5+12n4+13n3130n=130nn+12n+13n2+3n1

محاسبه بعضی مجموع ها به‌کمکSk

هر مجموعی که از جمله pام به بعد دارای جمله عمومی به‌صورت یک چند جمله ای بر حسب n باشد، با کمک Sk قابل محاسبه است. 

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زیر:

A=1×2×3+2×3×4++nn+1n+2

جمله عمومی یعنی nn+1n+2 را به‌صورت چند جمله ای می‌نویسیم:

nn+1n+2=nn2+3n+2=n3+3n2+2n    ;    1


در دو طرف اتحاد 1 به‌ترتیب به‌جای n عددهای صحیح متوالی قرار می‌دهیم:

nn+1n+2=n3+3n2+2nif   n=11×2×3=13+3×12+2×1if   n=22×3×4=23+3×22+2×2if   n=33×4×5=33+3×32+2×3                          if   n=nnn+1n+2=n3+3n2+2n


طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

1×2×3+2×3×4+3×4×5++nn+1n+2=13+23+33++n3+3×12+22+32++n2+21+2+3++n=n2n+124+3×nn+12n+16+2×nn+12=n2n+124+nn+12n+12+nn+1=14nn+1nn+1+22n+1+4=14nn+1n2+n+4n+2+4=14nn+1n2+5n+6=14nn+1n+2n+3

تمرین

اگر جمله عمومی یک مجموع به‌صورت زیر باشد، مجموع n جمله آن را به‌دست آورید. 

an=n2+n+2

a1=12+1+2a2=22+2+2a3=32+3+2                   an=n2+n+2


طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

a1+a2+a3++an=12+22++n2+1+2++n+2+2++2=nn+12n+16+nn+12+2n=nn+12n+1+3nn+1+12n6=n2+n2n+1+3n2+3n+12n6=2n3+n2+2n2+n+3n2+3n+12n6=2n3+6n2+16n6=2nn2+3n+86=13nn2+3n+8

محاسبه بعضی مجموع ها با جمله عمومیfn+αfn 

بررسی این‌گونه مجموع ها را با ذکر چند تمرین روشن می‌کنیم.

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زیر:

S=12+13+1+12+2++1n+2+n


جمله عمومی این مجموع به‌صورت an=1n+2+n است که آن را می‌توان چنین نوشت:

an=1n+2+nan=1n+2+n  n+2nn+2nan=n+2nn+2nan=12n+2nan=12n+2n


اگر fn=12n باشد، جمله عمومی به‌صورت an=fn+2fn است.

اگر به‌جای n به ترتیب عددهای متوالی از صفر تا n قرار دهیم، خواهیم داشت:

an=12n+2na0=1220a1=1231a2=1222a3=1253                  an=12n+2n


طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

a0+a1++an=1220+31+22++n+2nS=12n+2+n+11

محاسبه بعضی مجموع ها با استفاده از مشتق و تابع اولیه

مجموع زیر را در نظر می‌گیریم:

fx=1+2x+3x2+4x3+...+nxn1    ;    1

این مجموع را می‌توان به این طریق محاسبه کرد، ابتدا دو طرف رابطه 1 را در x ضرب می‌کنیم:

xfx=x+2x2+3x3+4x4+...+n1xn1+nxn    ;    2

رابطه 2 را از رابطه 1 کم می‌کنیم:

fxxfx=1+x+x2+...+xn1nxn    ;    3

برای n جمله اول مجموع 3 با توجه به اتحاد زیر داریم:

xn1=x1xn1+xn2++x2+x+11+x++xn1=xn1x1fxxfx=1+x+x2+...+xn1nxn1xfx=xn1x1nxn1xfx=nxn+1+1+nxn1x1fx=nxn+1n+1xn+1x12

هم‌چنین می‌توان مجموع 1 را به طریق زیر هم محاسبه کرد. 

اگر تابع اولیه fx را Fx بنامیم، داریم: (از تک تک جملات انتگرال گرفته‌ایم)

Fx=x+x2+x3++xn+c=xxn1x1+c

حال برای محاسبه fx باید مشتق Fx را به‌دست آورد:  

F'x=fx=nxn+1n+1xn+1x12

تمرین

مجموع بی‌نهایت جمله زیر را با شرط x<1 به‌دست آورید و از آنجا راهی برای معرفی π به‌صورت یک مجموع پیدا کنید. 

1x2+x4x6++1nx2n+     ;    1

این مجموع عبارت است از مجموع بی‌نهایت جمله از یک دنباله هندسی نزولی با جمله اول 1 و قدر نسبت -x2 و بنابراین دارای حدی مساوی زیر است:

S=a11q=11+x2


از طرفی می‌دانیم 11+x2 مشتق Arctanx است، بنابراین داریم:

Arctanx=x13x3+15x517x7++1n2n+1x2n+1+    ;    2


از عبارت 1 نسبت به x تابع اولیه گرفته‌ایم.

اکنون اگر در اتحاد 2 فرض کنیم x=1 باشد، به‌دست می‌آید:

π4=113+1517+1n2n+1+π=4113+1517++1n2n+1+

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مجموع توان‌های متشابه

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید