سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

مجموع توان‌ های متشابه

آخرین ویرایش: 09 آذر 1403

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

می‌خواهیم درباره مجموع زیر مطالعه کنیم و طریقه محاسبه آن را بررسی کنیم:

$S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

محاسبه $S_{1} = 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n$

قضیه

$S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

$i f k = 1 \Rightarrow S_{1} = 1 + 2 + 3 + \dots + n \Rightarrow S_{1} = \frac{1}{2} n (n + 1)$

اثبات

روش اول-

در حالت $k = 1$ مجموع $S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$ به مجموع $n$ جمله متوالی از یک دنباله حسابی تبدیل می‌شود که جمله اول $1$ قدر نسبت آن $1$ و تعداد جملات $n$ می‌باشد و بنابراین خواهیم داشت:

$S_{1} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n}{2} (a_{n} + a_{1}) \Rightarrow S_{1} = \frac{1}{2} n (n + 1)$

روش دوم-

اتحاد ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ را در نظر می‌گیریم:

این اتحاد به ازای همه مقادیر $x$ برقرار است.

اگر $x$ را به‌ترتیب مساوی عددهای صحیح $n, ..., 2, 1, 0$ بگیریم، داریم:

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow 1^{2} = 1 \\ i f x = 1 \Rightarrow 2^{2} = 1^{2} + 2 \times 1 + 1 \\ i f x = 2 \Rightarrow 3^{2} = 2^{2} + 2 \times 2 + 1 \\ i f x = 3 \Rightarrow 4^{2} = 3^{2} + 2 \times 3 + 1 \\ ⋮ \end{array}$

$i f x = n \Rightarrow {(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 1$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} + {(n + 1)}^{2} = (1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot n^{2}) + 2 (1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n) + \underset{n + 1}{\underset{⏟}{(1 + \cdot \cdot \cdot + 1)}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(n + 1)}^{2} = 2 (1 + 2 + 3 + ... + n) + n + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 S_{1} = {(n + 1)}^{2} - (n + 1) \\ \Rightarrow 2 S_{1} = (n + 1) [(n + 1) - 1] \\ \Rightarrow 2 S_{1} = n (n + 1) \\ \Rightarrow S_{1} = \frac{1}{2} n (n + 1) \end{array}$

روش سوم-

تابع $f (x)$ را از درجه دوم چنان پیدا می‌کنیم که شرایط زیر برقرار باشد:

اولا) $f (0) = 0$

ثانیا) $f (x) - f (x - 1) \equiv x$

ثابت می‌کنیم $f (n)$ مجموع $n$ عدد صحیح متوالی است.

با توجه به این‌که $f (x)$ از درجه دوم و $f (0) = 0$ است، داریم:

$f (x) = a x^{2} + b x \Rightarrow f (x - 1) = a {(x - 1)}^{2} + b (x - 1)$

$\begin{array}{l} i f f (x) - f (x - 1) \equiv x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a x^{2} + b x) - [a {(x - 1)}^{2} + b (x - 1)] \equiv x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a x^{2} + b x) - [a (x^{2} - 2 x + 1) + b x - b] \equiv x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x - a x^{2} + 2 a x - a - b x + b \equiv x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 a x + (b - a) \equiv x \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 2 a = 1 \\ b - a = 0 \end{cases}〉 a = b = \frac{1}{2} \end{array}$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} x (x + 1)$

اگر در اتحاد $f (x) - f (x - 1) \equiv x$ به‌ترتیب مقادیر $n, ..., 2, 1$ را به‌جای $x$ قرار دهیم، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} f (1) - f (0) = 1 \\ f (2) - f (1) = 2 \\ f (3) - f (2) = 3 \\ ⋮ \\ f (n) - f (n - 1) = n \end{array}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$f (n) - f (0) = 1 + 2 + ... + n \overset{f (0) = 0}{\to} f (n) = 1 + 2 + ... + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$

نکته

روش هایی را که برای محاسبه $S_{1}$ به‌کار بردیم، می‌توان عمومیت داد و برای محاسبه $..., S_{3}, S_{2}$ مورد استفاده قرار داد.

محاسبه $S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}$

قضیه

$S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

$i f k = 2 \Rightarrow S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} \Rightarrow S_{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

اثبات

روش اول-

اتحاد ${(x + 1)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ را در نظر می‌گیریم.

این اتحاد به ازای همه مقادیر $x$ برقرار است.

اگر $x$ را به‌ترتیب مساوی عددهای صحیح $n, ..., 2, 1, 0$ بگیریم، داریم:

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow 1^{3} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow 2^{3} = 1^{3} + 3 \times 1^{2} + 3 \times 1 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 2 \Rightarrow 3^{3} = 2^{3} + 3 \times 2^{2} + 3 \times 2 + 1 \end{array}$

$⋮$

$i f x = n \Rightarrow {(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$

طرفین تساوی های فوق را باهم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3} + {(n + 1)}^{3} = 1 + (1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3}) + 3 (1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}) + 3 (1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n) + \underset{n}{\underset{⏟}{(1 + \cdot \cdot \cdot + 1)}} \end{array}$

$\Rightarrow {(n + 1)}^{3} = 3 S_{2} + 3 S_{1} + (n + 1); S_{1} = \frac{1}{2} n (n + 1)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 S_{2} = {(n + 1)}^{3} - 3 [\frac{1}{2} n (n + 1)] - (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 S_{2} = (n + 1) [{(n + 1)}^{2} - \frac{3}{2} n - 1] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 S_{2} = (n + 1) (n^{2} + \frac{1}{2} n) \\ \Rightarrow S_{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$

روش دوم-

تابع $f (x)$ را از درجه سوم چنان پیدا می‌کنیم که شرایط زیر برقرار باشد:

اولا) $f (0) = 0$

ثانیا) $f (x) - f (x - 1) \equiv x^{2}$

با توجه به این‌که $f (x)$ از درجه سوم و $f (0) = 0$ است، داریم:

$\begin{array}{l} f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x \Rightarrow f (x - 1) = a {(x - 1)}^{3} + b {(x - 1)}^{2} + c (x - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f f (x) - f (x - 1) \equiv x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a x^{3} + b x^{2} + c x) - [a {(x - 1)}^{3} + b {(x - 1)}^{2} + c (x - 1)] \equiv x^{2} \end{array}$

$\Rightarrow (a x^{3} + b x^{2} + c x) - [a (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) + b (x^{2} - 2 x + 1) + c (x - 1)] \equiv x^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a x^{3} + b x^{2} + c x) - [(a x^{3} - 3 a x^{2} + 3 a x - a) + (b x^{2} - 2 b x + b) + (c x - c)] \equiv x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{3} + b x^{2} + c x - a x^{3} + 3 a x^{2} - 3 a x + a - b x^{2} + 2 b x - b - c x + c \equiv x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 a x^{2} + (2 b - 3 a) x + (a - b + c) \equiv x^{2} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 3 a = 1 \\ 2 b - 3 a = 0 \\ a - b + c = 0 \end{cases}〉 a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{6}$

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x = \frac{1}{6} x (x + 1) (2 x + 1)$

اگر در اتحاد $f (x) - f (x - 1) \equiv x^{2}$ به‌ترتیب مقادیر $n, ..., 2, 1$ را به‌جای $x$ قرار دهیم، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} f (1) - f (0) = 1^{2} \\ f (2) - f (1) = 2^{2} \\ ⋮ \\ f (n) - f (n - 1) = n^{2} \end{array}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$f (n) - f (0) = 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} \Rightarrow S_{2} = f (n) = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

تذکر

روش دوم یک برتری نسبت به روش اول دارد و آن این است که با روش اول محاسبه $S_{2}$ منجر به محاسبه $S_{1}$ می‌شود در حالی که با روش دوم مقدار $S_{2}$ مستقیما به‌دست می‌آید.

با روش دوم می‌توان مثلا به طور مستقیم مقدار $S_{5}$ را به‌دست آورد در حالی‌که برای محاسبه $S_{5}$ با روش اول باید قبلا $S_{4}, S_{3}, S_{2}, S_{1}$ را محاسبه کرد.

محاسبه $S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

قضیه

$i f S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

اثبات

رابطه $S_{k}$ دارای شرط های زیر است:

اولا) نسبت به $n$ چندجمله ای از درجه $(k + 1)$ است.

ثانیا) این چندجمله ای فاقد مقدار ثابت است یعنی $f (0) = 0$

ثالثا) سه ضریب اولیه این چندجمله ای به‌ترتیب عبارت است از $\frac{k}{12}, \frac{1}{2}, \frac{1}{k + 1}$

تابع $f (x)$ را از درجه $(k + 1)$ چنان پیدا می‌کنیم که شرایط زیر برقرار باشد:

$f (x) - f (x - 1) \equiv x^{k}; f (0) = 0$

در اتحاد:

$\begin{array}{l} f (x) - f (x - 1) \equiv x^{k}; x = 1, 2, ..., n \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow f (1) - f (0) = 1^{k} \\ i f x = 2 \Rightarrow f (2) - f (1) = 2^{k} \\ i f x = 3 \Rightarrow f (3) - f (2) = 3^{k} \\ ⋮ \\ i f x = n \Rightarrow f (n) - f (n - 1) = n^{k} \end{array}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$f (n) - f (0) = 1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k} \overset{f (0) = 0}{\to} f (n) = 1^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k} = S_{k}$

حالا $f (x)$ را محاسبه می‌کنیم. $f (x)$ از درجه $(k + 1)$ است:

$f (x) = a x^{k + 1} + b x^{k} + c x^{k - 1} + \dots + L x; (1)$

$f (x - 1) = a {(x - 1)}^{k + 1} + b {(x - 1)}^{k} + c {(x - 1)}^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + L (x - 1); (2)$

$\begin{array}{l} f (x) - f (x - 1) \equiv x^{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} (a x^{k + 1} + b x^{k} + c x^{k - 1} + ... + L x) - (a {(x - 1)}^{k + 1} + b {(x - 1)}^{k} + c {(x - 1)}^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + L (x - 1)) \equiv x^{k} \end{array}$

$a (k + 1) x^{k} + [- \frac{a}{2} (k + 1) k + b k] x^{k - 1} + [\frac{a}{6} (k + 1) (k - 1) k - \frac{b}{2} k (k - 1) + c (k - 1)] x^{k - 2} + \cdot \cdot \cdot \equiv x^{k}$

$\{\begin{cases} a (k + 1) = 1 \\ - \frac{a}{2} (k + 1) k + b k = 0 \\ \frac{a}{6} (k + 1) k (k - 1) - \frac{b}{2} k (k - 1) + c (k - 1) = 0 \end{cases}$

$a = \frac{1}{k + 1}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{k}{12}$

$f (x) = \frac{1}{k + 1} x^{k + 1} + \frac{1}{2} x^{k} + \frac{k}{12} x^{k - 1} + d x^{k - 2} + \dots + L x$

با توجه به آن‌چه گفتیم، می‌توان $S_{k}$ را در هر مورد مشخص، محاسبه کرد.

محاسبه $S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3}$

قضیه

$S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

$i f k = 3 \Rightarrow S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3} \Rightarrow S_{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2} = \frac{1}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2}$

اثبات

$S_{3}$ را با توجه به قضیه مطرح شده در بالا اثبات می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{k + 1} x^{k + 1} + \frac{1}{2} x^{k} + \frac{k}{12} x^{k - 1} + d x^{k - 2} + \dots + L x \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{k} = f (n) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{k} = \frac{1}{k + 1} n^{k + 1} + \frac{1}{2} n^{k} + \frac{k}{12} n^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + L n; k = 3 \end{array}$

$\Rightarrow S_{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2} + L n$

کافی است مقدار $L$ را محاسبه کنیم، در اتحاد زیر داریم:

$\begin{array}{l} S_{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2} + L n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3} \equiv \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2} + L n; n = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + L \\ \Rightarrow L = 0 \end{array}$

$S_{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2} = \frac{1}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2}$

محاسبه $S_{4} = 1^{4} + 2^{4} + \cdot \cdot \cdot + n^{4}$

قضیه

$S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

$i f k = 4 \Rightarrow S_{4} = 1^{4} + 2^{4} + \cdot \cdot \cdot + n^{4} \Rightarrow S_{4} = \frac{1}{30} n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)$

اثبات

$S_{4}$ را با توجه به قضیه مطرح شده در بالا اثبات می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{k + 1} x^{k + 1} + \frac{1}{2} x^{k} + \frac{k}{12} x^{k - 1} + d x^{k - 2} + \dots + L x \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{k} = f (n) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{k} = \frac{1}{k + 1} n^{k + 1} + \frac{1}{2} n^{k} + \frac{k}{12} n^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + L n; k = 4 \end{array}$

$\Rightarrow S_{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} + A n^{2} + B n$

کافی است مقدار $A$ و $B$ را محاسبه کنیم، در اتحاد زیر داریم:

$\begin{array}{l} S_{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} + A n^{2} + B n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1^{4} + 2^{4} + \dots + n^{4} \equiv \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} + A n^{2} + B n \end{array}$

$\begin{matrix} i f n = 1 \Rightarrow 1^{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + A + B \end{matrix}$

$i f n = 2 \Rightarrow 1^{4} + 2^{4} = \frac{32}{5} + 8 + \frac{8}{3} + 4 A + 2 B$

$\{\begin{cases} A = 0 \\ B = - \frac{1}{30} \end{cases}$

$S_{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n = \frac{1}{30} n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)$

محاسبه بعضی مجموع ها به‌کمک $S_{k}$

هر مجموعی که از جمله $p$ ام به بعد دارای جمله عمومی به‌صورت یک چند جمله ای بر حسب $n$ باشد، با کمک $S_{k}$ قابل محاسبه است.

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زیر:

$A = (1 \times 2 \times 3) + (2 \times 3 \times 4) + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) (n + 2)$

جمله عمومی یعنی $n (n + 1) (n + 2)$ را به‌صورت چند جمله ای می‌نویسیم:

$n (n + 1) (n + 2) = n (n^{2} + 3 n + 2) = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n; (1)$

در دو طرف اتحاد $(1)$ به‌ترتیب به‌جای $n$ عددهای صحیح متوالی قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} n (n + 1) (n + 2) = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow 1 \times 2 \times 3 = 1^{3} + 3 \times 1^{2} + 2 \times 1 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f n = 2 \Rightarrow 2 \times 3 \times 4 = 2^{3} + 3 \times 2^{2} + 2 \times 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 3 \Rightarrow 3 \times 4 \times 5 = 3^{3} + 3 \times 3^{2} + 2 \times 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$i f n = n \Rightarrow n (n + 1) (n + 2) = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} (1 \times 2 \times 3) + (2 \times 3 \times 4) + (3 \times 4 \times 5) + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) (n + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3}) + 3 \times (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}) + 2 (1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} + 3 \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + 2 \times \frac{n (n + 1)}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} + \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{2} + n (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4} n (n + 1) [n (n + 1) + 2 (2 n + 1) + 4] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4} n (n + 1) (n^{2} + n + 4 n + 2 + 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4} n (n + 1) (n^{2} + 5 n + 6) \\ = \frac{1}{4} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) \end{array}$

تمرین

اگر جمله عمومی یک مجموع به‌صورت زیر باشد، مجموع $n$ جمله آن را به‌دست آورید.

$a_{n} = n^{2} + n + 2$

$\begin{array}{l} a_{1} = 1^{2} + 1 + 2 \\ a_{2} = 2^{2} + 2 + 2 \\ a_{3} = 3^{2} + 3 + 2 \\ ⋮ \\ a_{n} = n^{2} + n + 2 \end{array}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}) + (1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n) + (2 + 2 + \cdot \cdot \cdot + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2} + 2 n \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) + 3 n (n + 1) + 12 n}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n^{2} + n) (2 n + 1) + 3 n^{2} + 3 n + 12 n}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n + 3 n^{2} + 3 n + 12 n}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 n^{3} + 6 n^{2} + 16 n}{6} \\ = \frac{2 n (n^{2} + 3 n + 8)}{6} \\ = \frac{1}{3} n (n^{2} + 3 n + 8) \end{array}$

محاسبه بعضی مجموع ها با جمله عمومی $f (n + α) - f (n)$

بررسی این‌گونه مجموع ها را با ذکر چند تمرین روشن می‌کنیم.

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زیر:

$S = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$

جمله عمومی این مجموع به‌صورت $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$ است که آن را می‌توان چنین نوشت:

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{n} = \frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}{(n + 2) - n} \\ \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{2} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \\ \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{2} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \end{array}$

اگر $f (n) = \frac{1}{2} \sqrt{n}$ باشد، جمله عمومی به‌صورت $a_{n} = f (n + 2) - f (n)$ است.

اگر به‌جای $n$ به ترتیب عددهای متوالی از صفر تا $n$ قرار دهیم، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{1}{2} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \\ a_{0} = \frac{1}{2} (\sqrt{2} - 0) \\ a_{1} = \frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{2} = \frac{1}{2} (2 - \sqrt{2}) \\ a_{3} = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \\ ⋮ \\ a_{n} = \frac{1}{2} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \end{array}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = \frac{1}{2} [(\sqrt{2} - 0) + (\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{2}) + \cdot \cdot \cdot + (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})] \end{array}$

$\Rightarrow S = \frac{1}{2} (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} - 1)$

محاسبه بعضی مجموع ها با استفاده از مشتق و تابع اولیه

مجموع زیر را در نظر می‌گیریم:

$f (x) = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + ... + n x^{n - 1}; (1)$

این مجموع را می‌توان به این طریق محاسبه کرد، ابتدا دو طرف رابطه $(1)$ را در $x$ ضرب می‌کنیم:

$x f (x) = x + 2 x^{2} + 3 x^{3} + 4 x^{4} + ... + (n - 1) x^{n - 1} + n x^{n}; (2)$

رابطه $(2)$ را از رابطه $(1)$ کم می‌کنیم:

$f (x) - x f (x) = 1 + x + x^{2} + ... + x^{n - 1} - n x^{n}; (3)$

برای $n$ جمله اول مجموع $(3)$ با توجه به اتحاد زیر داریم:

$\begin{array}{l} x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x + 1) \end{array}$

$\Rightarrow 1 + x + \cdot \cdot \cdot + x^{n - 1} = \frac{x^{n} - 1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} f (x) - x f (x) = (1 + x + x^{2} + ... + x^{n - 1}) - n x^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 - x) f (x) = \frac{x^{n} - 1}{x - 1} - n x^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 - x) f (x) = \frac{- n x^{n + 1} + (1 + n) x^{n} - 1}{x - 1} \end{array}$

$\Rightarrow f (x) = \frac{n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

هم‌چنین می‌توان مجموع $(1)$ را به طریق زیر هم محاسبه کرد.

اگر تابع اولیه $f (x)$ را $F (x)$ بنامیم، داریم: (از تک تک جملات انتگرال گرفته‌ایم)

$F (x) = x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + c = \frac{x (x^{n} - 1)}{x - 1} + c$

حال برای محاسبه $f (x)$ باید مشتق $F (x)$ را به‌دست آورد:

$F^{'} (x) = f (x) = \frac{n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

تمرین

مجموع بی‌نهایت جمله زیر را با شرط $|x| < 1$ به‌دست آورید و از آنجا راهی برای معرفی $π$ به‌صورت یک مجموع پیدا کنید.

$1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots + {(- 1)}^{n} x^{2 n} + \dots; (1)$

این مجموع عبارت است از مجموع بی‌نهایت جمله از یک دنباله هندسی نزولی با جمله اول $1$ و قدر نسبت $(- x^{2})$ و بنابراین دارای حدی مساوی زیر است:

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

از طرفی می‌دانیم $\frac{1}{1 + x^{2}}$ مشتق $A r c \tan x$ است، بنابراین داریم:

$A r c \tan x = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{7} x^{7} + \cdot \cdot \cdot + \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} + \cdot \cdot \cdot; (2)$

از عبارت $(1)$ نسبت به $x$ تابع اولیه گرفته‌ایم.

اکنون اگر در اتحاد $(2)$ فرض کنیم $x = 1$ باشد، به‌دست می‌آید:

$\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdot \cdot \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} + \cdot \cdot \cdot \Rightarrow π = 4 [1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdot \cdot \cdot + \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} + \cdot \cdot \cdot]$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

تورنمنت ریاضی هاروارد – ام ای تی

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$\frac{2 + 3 + \dots + 100}{1} + \frac{3 + 4 + \dots + 100}{1 + 2} + \dots + \frac{100}{1 + 2 + \dots + 99}$

$9900$
$9901$
$9902$
$9903$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مجموع توان‌های متشابه

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

مجموع توان‌ های متشابه

محاسبه $S_{1} = 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n$

محاسبه $S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}$

محاسبه $S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

محاسبه $S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3}$

محاسبه $S_{4} = 1^{4} + 2^{4} + \cdot \cdot \cdot + n^{4}$

محاسبه بعضی مجموع ها به‌کمک $S_{k}$

محاسبه بعضی مجموع ها با جمله عمومی $f (n + α) - f (n)$

محاسبه بعضی مجموع ها با استفاده از مشتق و تابع اولیه

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

سری ها

مجموع توان‌ های متشابه

محاسبه S1=1+2+⋅⋅⋅+n

محاسبهS2=12+22+⋅⋅⋅+n2

محاسبه Sk=1k+2k+⋅⋅⋅+nk

محاسبهS3=13+23+⋅⋅⋅+n3

محاسبهS4=14+24+⋅⋅⋅+n4

محاسبه بعضی مجموع ها به‌کمکSk

محاسبه بعضی مجموع ها با جمله عمومیfn+α−fn

محاسبه بعضی مجموع ها با استفاده از مشتق و تابع اولیه

تست‌های این مبحث

محاسبه $S_{1} = 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n$

محاسبه $S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}$

محاسبه $S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + \cdot \cdot \cdot + n^{k}$

محاسبه $S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3}$

محاسبه $S_{4} = 1^{4} + 2^{4} + \cdot \cdot \cdot + n^{4}$

محاسبه بعضی مجموع ها به‌کمک $S_{k}$

محاسبه بعضی مجموع ها با جمله عمومی $f (n + α) - f (n)$