ضرب درونی دو بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: بردار در صفحه
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

قضیه

ضرب درونی دو بردار v1=x1,y1 و v2=x2,y2 عددی است جبری که از دستور زیر به‌دست می‌آید:

cosθ=x1x2+y1y2v1v2

اثبات

فرض کنید دو بردار همانند شکل زیر داده شده‌اند:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

می‌خواهیم زاویه بین این دو بردار یعنی θ را پیدا کنیم.

برای این منظور بردار تفاضل v1v2 را در این شکل رسم می‌کنیم تا مثلثی به‌طول اضلاع زیر به‌دست آید: 

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

v1=x12+y12v2=x22+y22v1v2=x1x22+y1y22

با استفاده از قضیه کسینوس‌ها می‌توان نوشت:

v1v22=v12+v222v1v2cosθ2v1v2cosθ=v12+v22v1v22cosθ=v12+v22v1v222v1v2

cosθ=x12+y12+x22+y22x1x22+y1y222v1v2cosθ=2x1x2+y1y22v1v2cosθ=x1x2+y1y2v1v2

دریافت مثال

نکته

1- با توجه به شکل زیر:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

ضرب درونی دو بردار v1 و v2 را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:  

بردار OH تصویر بردار v2 روی v1 است: 

OH=v2cosα

بردار OL تصویر بردار v1 روی v2 است: 

OL=v1cosα

بنابراین داریم:

v1v2=v1v2cosαv1v2=v1OHv1v2=v2OL


2- در تمامی مسایل و تست‌ها، زاویه بین دو خط را به‌کمک فرمول زیر به‌دست می‌‌آوریم: 

v1v2=v1v2cosα

دریافت مثال

ویژگی‌های ضرب درونی دو بردار

1- ضرب درونی دو بردار صفر است، اگر اندازه یکی از آنها صفر باشد یا دو بردار بر هم عمود باشند.

v1v2=v1v2cosαif  v1=0        v2=0v1v2=0if  α=π2cosα=0v1v2=0

و برعکس، اگر دو بردار برهم عمود باشند، حاصل‌ضرب درونی آنها صفراست.

if  α=π2cosα=0v1v2=0v1v2

2- اگر دو بردار با هم موازی باشند حاصل‌ضرب درونی آنها برابر یک است. 

اگر دو بردار هم راستا و هم‌جهت باشند، داریم:

ifα=0cosα=1v1v2=v1v2v1v2

اگر دو بردار هم راستا و غیر هم‌جهت باشند، داریم:

ifα=πcosα=1v1v2=v1v2v1v2

3- ضرب درونی دو بردار دارای خاصیت جابه‌جایی است:

v1v2=v2v1

4- ضرب درونی دو بردار نسبت به‌عمل جمع دارای خاصیت پخشی است:

v1v2±v3=v1v2±v1v3

5- برای هر عدد حقیقی داریم:

av1v2=av1v2=v1av2λv1av2=λav1v2

6- برای هر بردار v داریم:

vv=vvcos0=v2

7- ضرب درونی دو بردار عددی است مثبت یا منفی یا صفر بر حسب آن‌که زاویه بین دو بردار حاده یا منفرجه یا قائمه باشد:

v1v2=v1v2cosαif     0<α<90cosα>0v1v2>0  if     α=90cosα=0v1v2=0  if    90<α<180cosα<0v1v2<0  

8- ضرب درونی، دارای خاصیت بسته بودن، نمی‌باشد یعنی uv بردار نیست بلکه یک عدد حقیقی است.

9- ضرب درونی، خاصیت شرکت‌پذیری ندارد:

uvwuvw

اما عبارتی مانند uvw دارای معنی است:

uvw=u.m=mu    ;    m

دریافت مثال

ضرب درونی دو بردار به‌وسیله مختصات

قضیه

دو بردار v1=x1,y1 و v2=x2,y2 مفروضند، حاصل‌ضرب درونی این دو بردار به‌صورت زیر قابل محاسبه است: 

v1v2=x1x2+y1y2

اثبات

v1=x1i+y1jv2=x2i+y2j

v1v2=x1i+y1jx2i+y2j=x1x2ii+x1y2ij+y1x2ji+y1y2jj=x1x21+x1y20+y1x20+y1y21=x1x2+y1y2

ii=iicos0=i2×1=i2=1       ;     i=1,0i=1jj=jjcos0=j2×1=j2=1    ;    j=0,1j=1  


ij=ijcosπ2=0j.i=jicosπ2=0

تذکر

برای یافتن زاویه بین دو بردار می‌توان از دو تعریفی که در مورد حاصل‌ضرب دو بردار شد، استفاده نمود و به رابطه زیر رسید:

v1v2=v1v2cosα  v1v2=x1x2+y1y2v1v2cosα=x1x2+y1y2


v1v2cosα=x1x2+y1y2cosα=x1x2+y1y2v1v2cosα=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22

دریافت مثال

نامساوی کوشی - شوارتز 

قضیه

فرض کنیم v و u دو بردار باشند، آن‌گاه:  

uvu  v

توجه داشته باشید که در طرف چپ منظور قدرمطلق است.

اثبات

uv=u  vcosθuvu  v

قضیه

اگر u=a1,a2 و v=b1,b2 باشند، آن‌گاه نامساوی جبری برقرار است:

a1b1+a2b22a12+a22b12+b22

اثبات

uvu  vuv2u2  v2a1b1+a2b22a12+a222b12+b222a1b1+a2b22a12+a22b12+b22

قضیه

فرض کنیم v و u دو بردار باشند، آن‌گاه نامساوی مثلثی در 2 به‌صورت زیر برقرار است:

u+vu+v

اثبات

اثبات نامساوی مثلثی با استفاده از نامساوی کوشی - شوارتز به‌صورت زیر می‌باشد:

u+v2=u+vu+vu+v2=uu+uv+vu+vvu+v2=u2+2uv+v2

u+v2=u2+2uv+v2   ;    uvu  vu+v2u2+2uv+v2u+v2u+v2u+vu+v

علاوه بر آن وقتی تساوی برقرار است که یکی از بردارها صفر یا یکی مضرب اسکالر مثبتی از دیگری باشد.

مثال‌ها و جواب‌ها

ضرب درونی دو بردار

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید