لیست

ضرب درونی دو بردار

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: بردار در صفحه
امتیاز:

قضیه

ضرب درونی دو بردار v1=x1,y1 و v2=x2,y2 عددی است جبری که از دستور زیر به‌دست می‌آید:

cosθ=x1x2+y1y2v1v2

اثبات

فرض کنید دو بردار همانند شکل زیر داده شده‌اند:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

می‌خواهیم زاویه بین این دو بردار یعنی θ را پیدا کنیم.

برای این منظور بردار تفاضل v1v2 را در این شکل رسم می‌کنیم تا مثلثی به‌طول اضلاع زیر به‌دست آید: 

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

v1=x12+y12v2=x22+y22v1v2=x1x22+y1y22

با استفاده از قضیه کسینوس‌ها می‌توان نوشت:

v1v22=v12+v222v1v2cosθ2v1v2cosθ=v12+v22v1v22cosθ=v12+v22v1v222v1v2

cosθ=x12+y12+x22+y22x1x22+y1y222v1v2cosθ=2x1x2+y1y22v1v2cosθ=x1x2+y1y2v1v2

دریافت مثال

نکته

1- با توجه به شکل زیر:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

ضرب درونی دو بردار v1 و v2 را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:  

بردار OH تصویر بردار v2 روی v1 است: 

OH=v2cosα

بردار OL تصویر بردار v1 روی v2 است: 

OL=v1cosα

بنابراین داریم:

v1v2=v1v2cosαv1v2=v1OHv1v2=v2OL


2- در تمامی مسایل و تست‌ها، زاویه بین دو خط را به‌کمک فرمول زیر به‌دست می‌‌آوریم: 

v1v2=v1v2cosα

دریافت مثال

ویژگی‌های ضرب درونی دو بردار

1- ضرب درونی دو بردار صفر است، اگر اندازه یکی از آنها صفر باشد یا دو بردار بر هم عمود باشند.

v1v2=v1v2cosαif  v1=0        v2=0v1v2=0if  α=π2cosα=0v1v2=0

و برعکس، اگر دو بردار برهم عمود باشند، حاصل‌ضرب درونی آنها صفراست.

if  α=π2cosα=0v1v2=0v1v2

2- اگر دو بردار با هم موازی باشند حاصل‌ضرب درونی آنها برابر یک است. 

اگر دو بردار هم راستا و هم‌جهت باشند، داریم:

ifα=0cosα=1v1v2=v1v2v1v2

اگر دو بردار هم راستا و غیر هم‌جهت باشند، داریم:

ifα=πcosα=1v1v2=v1v2v1v2

3- ضرب درونی دو بردار دارای خاصیت جابه‌جایی است:

v1v2=v2v1

4- ضرب درونی دو بردار نسبت به‌عمل جمع دارای خاصیت پخشی است:

v1v2±v3=v1v2±v1v3

5- برای هر عدد حقیقی داریم:

av1v2=av1v2=v1av2λv1av2=λav1v2

6- برای هر بردار v داریم:

vv=vvcos0=v2

7- ضرب درونی دو بردار عددی است مثبت یا منفی یا صفر بر حسب آن‌که زاویه بین دو بردار حاده یا منفرجه یا قائمه باشد:

v1v2=v1v2cosαif     0<α<90cosα>0v1v2>0  if     α=90cosα=0v1v2=0  if    90<α<180cosα<0v1v2<0  

8- ضرب درونی، دارای خاصیت بسته بودن، نمی‌باشد یعنی uv بردار نیست بلکه یک عدد حقیقی است.

9- ضرب درونی، خاصیت شرکت‌پذیری ندارد:

uvwuvw

اما عبارتی مانند uvw دارای معنی است:

uvw=u.m=mu    ;    m

دریافت مثال

ضرب درونی دو بردار به‌وسیله مختصات

قضیه

دو بردار v1=x1,y1 و v2=x2,y2 مفروضند، حاصل‌ضرب درونی این دو بردار به‌صورت زیر قابل محاسبه است: 

v1v2=x1x2+y1y2

اثبات

v1=x1i+y1jv2=x2i+y2j

v1v2=x1i+y1jx2i+y2j=x1x2ii+x1y2ij+y1x2ji+y1y2jj=x1x21+x1y20+y1x20+y1y21=x1x2+y1y2

ii=iicos0=i2×1=i2=1       ;     i=1,0i=1jj=jjcos0=j2×1=j2=1    ;    j=0,1j=1  


ij=ijcosπ2=0j.i=jicosπ2=0

تذکر

برای یافتن زاویه بین دو بردار می‌توان از دو تعریفی که در مورد حاصل‌ضرب دو بردار شد، استفاده نمود و به رابطه زیر رسید:

v1v2=v1v2cosα  v1v2=x1x2+y1y2v1v2cosα=x1x2+y1y2


v1v2cosα=x1x2+y1y2cosα=x1x2+y1y2v1v2cosα=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22

دریافت مثال

نامساوی کوشی - شوارتز 

قضیه

فرض کنیم v و u دو بردار باشند، آن‌گاه:  

uvu  v

توجه داشته باشید که در طرف چپ منظور قدرمطلق است.

اثبات

uv=u  vcosθuvu  v

قضیه

اگر u=a1,a2 و v=b1,b2 باشند، آن‌گاه نامساوی جبری برقرار است:

a1b1+a2b22a12+a22b12+b22

اثبات

uvu  vuv2u2  v2a1b1+a2b22a12+a222b12+b222a1b1+a2b22a12+a22b12+b22

قضیه

فرض کنیم v و u دو بردار باشند، آن‌گاه نامساوی مثلثی در 2 به‌صورت زیر برقرار است:

u+vu+v

اثبات

اثبات نامساوی مثلثی با استفاده از نامساوی کوشی - شوارتز به‌صورت زیر می‌باشد:

u+v2=u+vu+vu+v2=uu+uv+vu+vvu+v2=u2+2uv+v2

u+v2=u2+2uv+v2   ;    uvu  vu+v2u2+2uv+v2u+v2u+v2u+vu+v

علاوه بر آن وقتی تساوی برقرار است که یکی از بردارها صفر یا یکی مضرب اسکالر مثبتی از دیگری باشد.

خرید پاسخ‌ها

ضرب درونی دو بردار

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید