سرفصل‌های این مبحث

بردار در صفحه

ضرب درونی دو بردار

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

ضرب درونی دو بردار ${\vec{v}}_{1} = (x_{1}, y_{1})$ و ${\vec{v}}_{2} = (x_{2}, y_{2})$ عددی است جبری که از دستور زیر به‌دست می‌آید:

$\cos θ = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{|{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}|}$

اثبات

فرض کنید دو بردار همانند شکل زیر داده شده‌اند:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

می‌خواهیم زاویه بین این دو بردار یعنی $θ$ را پیدا کنیم.

برای این منظور بردار تفاضل ${\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}$ را در این شکل رسم می‌کنیم تا مثلثی به‌طول اضلاع زیر به‌دست آید:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} |{\vec{v}}_{1}| = \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}} \\ |{\vec{v}}_{2}| = \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}} \end{array}$

$|{\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

با استفاده از قضیه کسینوس‌ها می‌توان نوشت:

$\begin{array}{l} {|{\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}|}^{2} = {|{\vec{v}}_{1}|}^{2} + {|{\vec{v}}_{2}|}^{2} - 2 |{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}| \cos θ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 |{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}| \cos θ = {|{\vec{v}}_{1}|}^{2} + {|{\vec{v}}_{2}|}^{2} - {|{\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}|}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow \cos θ = \frac{{|{\vec{v}}_{1}|}^{2} + {|{\vec{v}}_{2}|}^{2} - {|{\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}|}^{2}}{2 |{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}|}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos θ = \frac{({x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}) + ({x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}) - [{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}]}{2 |{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos θ = \frac{2 (x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}{2 |{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}|} \\ \Rightarrow \cos θ = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{|{\vec{v}}_{1}| |{\vec{v}}_{2}|} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- با توجه به شکل زیر:

ضرب درونی دو بردار - پیمان گردلو

ضرب درونی دو بردار ${\vec{v}}_{1}$ و ${\vec{v}}_{2}$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

بردار $\vec{O H}$ تصویر بردار ${\vec{v}}_{2}$ روی ${\vec{v}}_{1}$ است:

$|\vec{O H}| = |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α$

بردار $\vec{O L}$ تصویر بردار ${\vec{v}}_{1}$ روی ${\vec{v}}_{2}$ است:

$|\vec{O L}| = |{\vec{v}}_{1}| \cdot \cos α$

بنابراین داریم:

${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α \Rightarrow \{\begin{cases} {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| |\vec{O H}| \\ {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{2}| |\vec{O L}| \end{cases}$

2- در تمامی مسایل و تست‌ها، زاویه بین دو خط را به‌کمک فرمول زیر به‌دست می‌‌آوریم:

${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ویژگی‌های ضرب درونی دو بردار

ویژگی اول

ضرب درونی دو بردار صفر است، اگر اندازه یکی از آنها صفر باشد یا دو بردار بر هم عمود باشند.

${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α$

$\Rightarrow \{\begin{cases} i f |{\vec{v}}_{1}| = 0 \lor |{\vec{v}}_{2}| = 0 \Rightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = 0 \\ i f α = \frac{π}{2} \Rightarrow \cos α = 0 \Rightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = 0 \end{cases}$

و برعکس، اگر دو بردار برهم عمود باشند، حاصل‌ضرب درونی آنها صفراست.

$i f α = \frac{π}{2} \Leftrightarrow \cos α = 0 \Leftrightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = 0 \Leftrightarrow {\vec{v}}_{1} ⊥ {\vec{v}}_{2}$

ویژگی دوم

اگر دو بردار با هم موازی باشند حاصل‌ضرب درونی آنها برابر یک است.

اگر دو بردار هم راستا و هم‌جهت باشند، داریم:

$i f α = 0 \Leftrightarrow \cos α = 1 \Leftrightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \Leftrightarrow {\vec{v}}_{1} ∥ {\vec{v}}_{2}$

اگر دو بردار هم راستا و غیر هم‌جهت باشند، داریم:

$i f α = π \Leftrightarrow \cos α = - 1 \Leftrightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = - |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \Leftrightarrow {\vec{v}}_{1} ∥ {\vec{v}}_{2}$

ویژگی سوم

ضرب درونی دو بردار دارای خاصیت جابه‌جایی است:

${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = {\vec{v}}_{2} \cdot {\vec{v}}_{1}$

ویژگی چهارم

ضرب درونی دو بردار نسبت به‌عمل جمع دارای خاصیت پخشی است:

${\vec{v}}_{1} \cdot ({\vec{v}}_{2} \pm {\vec{v}}_{3}) = {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} \pm {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{3}$

ویژگی پنجم

برای هر عدد حقیقی داریم:

$\begin{array}{l} a ({\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2}) = (a {\vec{v}}_{1}) \cdot {\vec{v}}_{2} = {\vec{v}}_{1} (a {\vec{v}}_{2}) \end{array}$

$(λ {\vec{v}}_{1}) \cdot (a {\vec{v}}_{2}) = λ a ({\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2})$

ویژگی ششم

برای هر بردار $\vec{v}$ داریم:

$\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}| \cdot |\vec{v}| \cos 0 = {|v|}^{2}$

ویژگی هفتم

ضرب درونی دو بردار عددی است مثبت یا منفی یا صفر بر حسب آن‌که زاویه بین دو بردار حاده یا منفرجه یا قائمه باشد:

${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α$

$\Rightarrow \{\begin{cases} i f 0 < α < 90^{\circ} \Rightarrow \cos α > 0 \Rightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} > 0 \\ i f α = 90^{\circ} \Rightarrow \cos α = 0 \Rightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = 0 \\ i f 90^{\circ} < α < 180^{\circ} \Rightarrow \cos α < 0 \Rightarrow {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} < 0 \end{cases}$

ویژگی هشتم

ضرب درونی، دارای خاصیت بسته بودن، نمی‌باشد یعنی $\vec{u} \cdot \vec{v}$ بردار نیست بلکه یک عدد حقیقی است.

ویژگی نهم

ضرب درونی، خاصیت شرکت‌پذیری ندارد:

$\vec{u} \cdot (\vec{v} \cdot \vec{w}) \neq (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}$

اما عبارتی مانند $\vec{u} \cdot (\vec{v} \cdot \vec{w})$ دارای معنی است:

$\vec{u} \cdot (\vec{v} \cdot \vec{w}) = \vec{u} . m = m \vec{u}; m \in ℝ$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ضرب درونی دو بردار به‌وسیله مختصات

قضیه

دو بردار ${\vec{v}}_{1} = (x_{1}, y_{1})$ و ${\vec{v}}_{2} = (x_{2}, y_{2})$ مفروضند، حاصل‌ضرب درونی این دو بردار به‌صورت زیر قابل محاسبه است:

${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

اثبات

$\{\begin{cases} {\vec{v}}_{1} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} \\ {\vec{v}}_{2} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} \end{cases}$

$\begin{array}{l} {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} \\ = (x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j}) \cdot (x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x_{1} x_{2} \vec{i} \vec{i} + x_{1} y_{2} \vec{i} \vec{j} + y_{1} x_{2} \vec{j} \vec{i} + y_{1} y_{2} \vec{j} \vec{j} \end{array}$

$\begin{array}{l} = x_{1} x_{2} (1) + x_{1} y_{2} (0) + y_{1} x_{2} (0) + y_{1} y_{2} (1) \end{array}$

$= x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

$\begin{array}{l} \vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}| \cdot |\vec{i}| \cos 0 = {|\vec{i}|}^{2} \times 1 = {|\vec{i}|}^{2} = 1; \vec{i} = (1, 0) \Rightarrow |\vec{i}| = 1 \end{array}$

$\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}| \cdot |\vec{j}| \cos 0 = {|\vec{j}|}^{2} \times 1 = {|\vec{j}|}^{2} = 1; \vec{j} = (0, 1) \Rightarrow |\vec{j}| = 1$

$\begin{array}{l} \vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{i}| \cdot |\vec{j}| \cos \frac{π}{2} = 0 \\ \vec{j} . \vec{i} = |\vec{j}| \cdot |\vec{i}| \cos \frac{π}{2} = 0 \end{array}$

تذکر

برای یافتن زاویه بین دو بردار می‌توان از دو تعریفی که در مورد حاصل‌ضرب دو بردار شد، استفاده نمود و به رابطه زیر رسید:

$\{\begin{cases} {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = |{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α \\ {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \end{cases}$

$|{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}| \cdot \cos α = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos α = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{|{\vec{v}}_{1}| \cdot |{\vec{v}}_{2}|} \end{array}$

$\Rightarrow \cos α = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نامساوی کوشی - شوارتز

قضیه

فرض کنیم $\vec{v}$ و $\vec{u}$ دو بردار باشند، آن‌گاه:

$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}|$

توجه داشته باشید که در طرف چپ منظور قدرمطلق است.

اثبات

$|\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos θ \Rightarrow |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}|$

قضیه

اگر $\vec{u} = (a_{1}, a_{2})$ و $\vec{v} = (b_{1}, b_{2})$ باشند، آن‌گاه نامساوی جبری برقرار است:

${(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})$

اثبات

$\begin{array}{l} |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}| \\ \Rightarrow {|\vec{u} \cdot \vec{v}|}^{2} \leq {|\vec{u}|}^{2} {|\vec{v}|}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})}^{2} \leq {(\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}})}^{2} {(\sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}})}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})$

قضیه

فرض کنیم $\vec{v}$ و $\vec{u}$ دو بردار باشند، آن‌گاه نامساوی مثلثی در $ℝ^{2}$ به‌صورت زیر برقرار است:

$|u + v| \leq |u| + |v|$

اثبات

اثبات نامساوی مثلثی با استفاده از نامساوی کوشی - شوارتز به‌صورت زیر می‌باشد:

$\begin{array}{l} {|\vec{u} + \vec{v}|}^{2} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {|\vec{u} + \vec{v}|}^{2} = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} \end{array}$

$\Rightarrow {|\vec{u} + \vec{v}|}^{2} = {|\vec{u}|}^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {|\vec{v}|}^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {|\vec{u} + \vec{v}|}^{2} = {|\vec{u}|}^{2} + 2 |\vec{u} \cdot \vec{v}| + {|\vec{v}|}^{2}; |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {|\vec{u} + \vec{v}|}^{2} \leq {|\vec{u}|}^{2} + 2 |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| + {|\vec{v}|}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {|\vec{u} + \vec{v}|}^{2} \leq {(|u| + |v|)}^{2} \\ \Rightarrow |u + v| \leq (|u| + |v|) \end{array}$

علاوه بر آن وقتی تساوی برقرار است که یکی از بردارها صفر یا یکی مضرب اسکالر مثبتی از دیگری باشد.

خرید پاسخ‌ها

ضرب درونی دو بردار

6,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در صفحه

ضرب درونی دو بردار

ویژگی‌های ضرب درونی دو بردار

ویژگی اول

ویژگی دوم

ویژگی سوم

ویژگی چهارم

ویژگی پنجم

ویژگی ششم

ویژگی هفتم

ویژگی هشتم

ویژگی نهم

ضرب درونی دو بردار به‌وسیله مختصات

نامساوی کوشی - شوارتز

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟