قضایای بردارها

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

در شکل زیر داریم:

قضایای بردارها - پیمان گردلو

$i f \vec{A M} = \frac{m}{n} \cdot \vec{M B} \Rightarrow n \cdot \vec{O A} + m \cdot \vec{O B} = (m + n) \cdot \vec{O M}$

اثبات

$\vec{A M} = \frac{m}{n} \cdot \vec{M B} \Rightarrow n \cdot \vec{A M} = m \cdot \vec{M B} \Rightarrow n \cdot \vec{A M} - m \cdot \vec{M B} = 0 \Rightarrow n \cdot \vec{A M} + m \cdot \vec{B M} = \vec{0}; (Ι)$

$\begin{array}{l} \vec{O A} + \vec{A M} = \vec{O M} \Rightarrow n \cdot \vec{O A} + n \cdot \vec{A M} = n \cdot \vec{O M} \end{array}$

$\vec{O B} + \vec{B M} = \vec{O M} \Rightarrow m \cdot \vec{O B} + m \cdot \vec{B M} = m \cdot \vec{O M}$

$\begin{array}{l} (n \cdot \vec{O A} + n \cdot \vec{A M}) + (m \cdot \vec{O B} + m \cdot \vec{B M}) = (n \cdot \vec{O M}) + (m \cdot \vec{O M}) \end{array}$

$(n \cdot \vec{O A} + m \cdot \vec{O B}) + (n \cdot \vec{A M} + m \cdot \vec{B M}) = (n + m) \cdot \vec{O M} \overset{(Ι)}{\to} n \cdot \vec{O A} + m \cdot \vec{O B} = (m + n) \cdot \vec{O M}$

قضیه

در شکل زیر $A M$ میانه نظیر ضلع $B C$ است.

قضایای بردارها - پیمان گردلو

ثابت کنید:

$\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

اثبات

$\begin{array}{l} \vec{B M} = \vec{M C} \Rightarrow \vec{B M} = - \vec{C M} \Rightarrow \vec{B M} + \vec{C M} = \vec{0}; (1) \end{array}$

$\{\begin{cases} \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A M} \\ \vec{A C} + \vec{C M} = \vec{A M} \end{cases}$

$(\vec{A B} + \vec{B M}) + (\vec{A C} + \vec{C M}) = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow (\vec{A B} + \vec{A C}) + (\vec{B M} + \vec{C M}) = 2 \vec{A M} \overset{(1)}{\to} \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

قضیه

پاره خطی که اوساط دو ضلع یک مثلث را به‌هم وصل می‌کند، موازی ضلع سوم و مساوی نصف آن است.

قضایای بردارها - پیمان گردلو

اثبات

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{A N} = \vec{M N} \\ \Rightarrow 2 \vec{M A} + 2 \vec{A N} = 2 \vec{M N} \\ \Rightarrow \vec{B A} + \vec{A C} = 2 \vec{M N} \\ \Rightarrow \vec{B C} = 2 \vec{M N} \\ \Rightarrow \vec{M N} = \frac{\vec{B C}}{2} \end{array}$