سرفصل‌های این مبحث

بردار در صفحه

مختصات قرینه یک بردار

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

1- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به محور طول‌ها:

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} a \\ - b \end{array}]$

2- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به محور عرض‌ها:

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} - a \\ b \end{array}]$

3- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به مبدا مختصات:

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} - a \\ - b \end{array}]$

4- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به نیمساز ربع اول و سوم:

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} b \\ a \end{array}]$

5- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به نیمساز ربع دوم و چهارم:

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} - b \\ - a \end{array}]$

6- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به نقطه $[\begin{array}{l} m \\ n \end{array}]$

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} 2 m - a \\ 2 n - b \end{array}]$

7- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به خط $x = α$ :

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} 2 α - a \\ b \end{array}]$

8- قرینه $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ نسبت به خط $y = β$ :

${\vec{x}}^{'} = [\begin{array}{l} a \\ 2 β - b \end{array}]$

نکته

1- هر نقطه در صفحه را می‌توان انتهای یک بردار مکان تصور کرد. (ابتدای این بردارها مبدا مختصات است)

2- اگر $\vec{V} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$ برداری در دستگاه مختصات باشد:

$x$ و $y$ را مختصات بردار یا اندازه جبری تصاویر بردار $\vec{V}$ بر محورها می‌نامیم.

$|x|$ و $|y|$ را اندازه تصاویر بردار $\vec{V}$ بر محورها گویند.

$x \vec{i}$ و $y \vec{j}$ را تصاویر بردار $\vec{V}$ بر محورها گویند.

$\vec{V} = x \vec{i} + y \vec{j}$ را مجموعه مولفه‌های بردار $\vec{V}$ بر محورها گویند.

طول یا اندازه بردار برابر است با $|\vec{V}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

نکته

3- اگر $A = [\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} x_{2} \\ y_{2} \end{array}]$ دو نقطه باشند:

بردار $\vec{A B}$ به‌وسیله مختصات چنین است:

$\vec{A B} = [\begin{array}{l} x_{2} - x_{1} \\ y_{2} - y_{1} \end{array}]$

مختصات نقطه $m$ وسط $A B$ چنین است:

$m = [\begin{array}{l} \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) \\ \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}) \end{array}]$

طول یا اندازه بردار $\vec{A B}$ برابر است با:

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

فاصله دو نقطه $A$ و $B$ را طول پاره‌خط $A B$ گویند و به‌صورت $|\vec{A B}|$ نشان می‌دهیم.

فاصله بین دو نقطه یا طول یک پاره خط واجد سه شرط زیر است:

$\begin{array}{l} |\vec{A B}| \geq 0 \\ A = B \Leftrightarrow |\vec{A B}| = 0 \\ |\vec{A B}| = |\vec{B A}| \end{array}$

نکته

4- اگر ${\vec{V}}_{1} = [\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \end{array}]$ و ${\vec{V}}_{2} = [\begin{array}{l} x_{2} \\ y_{2} \end{array}]$ دو بردار باشند:

مجموع آنها برداری است به‌صورت:

${\vec{V}}_{1} + {\vec{V}}_{2} = [\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \\ y_{1} + y_{2} \end{array}]$

تفاضل آنها برداری است به‌صورت:

${\vec{V}}_{1} - {\vec{V}}_{2} = [\begin{array}{l} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} - y_{2} \end{array}]$

جمع و تفاضل دو بردار $\{\begin{cases} {\vec{V}}_{1} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} \\ V_{2} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} \end{cases}$ با فرمول‌های زیر معین می‌شود:

$\begin{array}{l} {\vec{V}}_{1} + {\vec{V}}_{2} = (x_{1} + x_{2}) \vec{i} + (y_{1} + y_{2}) \vec{j} \end{array}$

${\vec{V}}_{1} - {\vec{V}}_{2} = (x_{1} - x_{2}) \vec{i} + (y_{1} - y_{2}) \vec{j}$

تمرین

جمع متناظر با بردار $\vec{a}$ برابر است با:

$[\begin{array}{l} 3 \\ - 2 \end{array}] + [\begin{array}{l} 1 \\ - 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ - 7 \end{array}]$

مختصات قرينه $\vec{a}$ نسبت به محور طول ها را تعيين كنيد.

یادآوری) اگر نقطه $A = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ تحت بردار $\vec{a} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$ به نقطه $B = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$ منتقل شده باشد، جمع نظير $\vec{a}$ به‌صورت زير است:

$[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$

در تمرین فوق $\vec{a} = [\begin{array}{l} 1 \\ - 5 \end{array}]$ است، بنابراين قرينه اين بردار نسبت به محور طول ها ${\vec{a}}^{'} = [\begin{array}{l} 1 \\ 5 \end{array}]$ است.

تمرین

مختصات قرينه نقطه $A = [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}]$ را نسبت به نقاط يا خطوط زير به‌دست آوريد.

مبدا مختصات

$A^{'} = [\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}]$

محور طول ها

$A^{'} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}]$

محور عرض ها

$A^{'} = [\begin{array}{l} 3 \\ - 5 \end{array}]$

نيمساز ربع اول

$A^{'} = [\begin{array}{l} - 5 \\ - 3 \end{array}]$

نيمساز ربع دوم

$A^{'} = [\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}]$

نقطه $B = [\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}]$

$[\begin{array}{l} 2 \times 5 - (- 3) \\ 2 \times 3 - (- 5) \end{array}] = [\begin{array}{l} 13 \\ 11 \end{array}]$

تمرین

نقاط $A = [\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}]$ داده شده‌اند.

مختصات بردار $\vec{A B}$ را تعيين كنيد.

$\vec{A B} = B - A = [\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}] - [\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}]$

مختصات قرينه های $A$ و $B$ را نسبت به محور طول ها به‌دست آورید.

$A^{'} = [\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}], B^{'} = [\begin{array}{l} 5 \\ - 4 \end{array}]$

مختصات بردار $\vec{A^{'} B^{'}}$ را تعيين كنيد.

$\vec{A^{'} B^{'}} = B^{'} - A^{'} = [\begin{array}{l} 5 \\ - 4 \end{array}] - [\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ - 1 \end{array}]$

$\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A B}$ را در یک دستگاه مختصات رسم كنيد.

مختصات قرینه یک بردار - پیمان گردلو

تمرین

در هر يک از قسمت‌های زير، بردارهای $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{a}$ را در يک دستگاه مختصات رسم كنيد و مختصات بردار $\vec{c}$ را حساب كنيد.

$\vec{a} = [\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array}]$ ابتدا در $[\begin{array}{l} - 3 \\ - 3 \end{array}]$ و $\vec{b} = [\begin{array}{l} 3 \\ - 2 \end{array}]$ ابتدا در $[\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}]$ .

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = [\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array}] + [\begin{array}{l} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}]$

مختصات قرینه یک بردار - پیمان گردلو

$\vec{a} = 3 i + 2 j$ و $\vec{b} = [\begin{array}{l} 2 \\ - 1 \end{array}]$ از انتهای $\vec{a}$ .

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = [\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}] + [\begin{array}{l} 2 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}]$

مختصات قرینه یک بردار - پیمان گردلو

$\vec{a} = 5 i - 2 j$ و $\vec{b}$ قرینه $\vec{a}$ نسبت به محور عرض ها.

$\begin{array}{l} \vec{b} = [\begin{array}{l} - 5 \\ - 2 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = [\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 5 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{l} 0 \\ - 4 \end{array}] \end{array}$