تفاضل دو بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: بردار در صفحه
امتیاز:
بازدید: 43 مرتبه

تعریف تفاضل دو بردار

اگر a و b دو بردار باشند، تفریق b از a را با نماد ab نشان می‌دهند و آن عبارت است از جمع بردار a و -b.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو     

ab=a+-b

از نظر هندسی بردار ab برداری است مانند c به‌طوری‌که داشته باشیم:

ab=cc+b=a

برای پیدا کردن ab  بدون ساختن b معادل‌های a و b را چنان رسم می‌کنیم که ابتدای آنها بر هم منطبق باشند، سپس پیکانی که  ابتدای آن انتهای b و انتهای آن، انتهای a باشد، بردار ab است.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو          

نکته

1- اگر AB بردار هندسی مفروضی باشد و O نقطه‌ای دل‌خواه، آن‌گاه:

AB=OBOA

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو


2- اگر OA و OB دو بردار هندسی‌، غیر هم‌راستا باشند و OA و OB را دو ضلع مجاور یک متوازی‌الاضلاع در نظر بگیریم، قطر گذرنده از O بردار مجموع و قطر دیگر متوازی‌الاضلاع بردار تفاضل را نشان می‌دهد. 

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه:

اگر a=  23 و b=35 مفروض باشند، مختصات ab را به‌دست ‌آورید. 

ab=a+-b=  23+35=  23+35=52

تفاضل دو بردار از دیدگاه هندسی 

بردارهای a و b در صفحه داده شده‌اند و ab مورد نظر ما می‌باشد.   

حالت اول) a و b (یا مساوی های آنها) دارای ابتدای مشترک می‌باشند، در این حالت کافی است انتهای b را به‌انتهای a وصل کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو    

حالت دوم) a و b (یا مساوی های آنها) دارای انتهای مشترک می‌باشند، در این حالت کافی است ابتدای a را به ابتدای b وصل کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو  

حالت سوم) ابتدای b (یا مساوی bانتهای a (یا مساوی a) می‌باشد، در این حالت مساوی b را چنان رسم می‌کنیم که ابتدای آن بر ابتدای بردار a منطبق شود و طبق حالت اول عمل می‌کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو   

حالت چهارم) انتهای b (یا مساوی bابتدای a (یا مساوی a) می‌باشد، در این حالت مساوی b را چنان رسم می‌کنیم که انتهای آن بر انتهای بردار a منطبق شود و طبق حالت دوم عمل می‌کنیم. 

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو    

تذکر

اگر سه بردار u=u1,u2 و v=v1,v2 و w=w1,w2 هم مبدا باشند شرط آن‌که انتهای این سه بردار روی یک خط واقع شوند.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

v2u2v1u1=w2u2w1u1

تمرین

شکل را در نظر بگیرید:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

بردار زیر را مشخص کنید.

abc

ابتدا بردار ab را رسم می‌کنیم:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو 


اینک بردار abc را رسم می‌کنیم:

  تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

تمرین

شکل را در نظر بگیرید:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

بردار زیر را مشخص کنید.

2a3b

چون 2a و 3b ابتدای مشترک دارند بنابر (حالت اول درس) عمل می‌كنيم:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

تمرین

شکل را در نظر بگیرید:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

بردارهای زیر را مشخص کنید.

abcabc

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

آيا اين دو بردار برابرند؟

همان‌طور كه ملاحظه می‌كنيد:

abcabc

چه نتيجه‌ای می‌گيريد؟

تفاضل بردارها خاصيت شركت پذيری ندارد.

تمرین

به‌طريق هندسی نشان دهيد كه:

ab=a+b

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو


در متوازی الاضلاع ABCD می‌توان نوشت:

BC=ab       ,   AD=a+b


هم‌چنين داريم:

BC=AD


پس رابطه مطلوب نتيجه می‌شود:

BC=ADab=a+b

تمرین

اگر بردارهای b,a باهم زاويه 45 تشكيل دهند، بردارهای زير را رسم كنيد.

4a

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

2ab

برای پيدا كردن 2ab ابتدا بردار 2a و سپس بردار b را پيدا می‌كنيم و سرانجام مجموع هندسی آنها را رسم می‌کنیم:

2ab=2a+b

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

a+3b

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

OC=OA+OB'=a+3b         OB'=3OB

برای ارسال نظر وارد سایت شوید