سرفصل‌های این مبحث

بردار در صفحه

تفاضل دو بردار

آخرین ویرایش: 19 فروردين 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تفاضل دو بردار

اگر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ دو بردار باشند، تفریق $\vec{b}$ از $\vec{a}$ را با نماد $\vec{a} - \vec{b}$ نشان می‌دهند و آن عبارت است از جمع بردار $\vec{a}$ و $(- \vec{b})$ .

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

از نظر هندسی بردار $\vec{a} - \vec{b}$ برداری است مانند $\vec{c}$ به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{c} \Rightarrow \vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$

برای پیدا کردن $\vec{a} - \vec{b}$ بدون ساختن $\vec{b}$ معادل‌های $\vec{a}$ و $\vec{b}$ را چنان رسم می‌کنیم که ابتدای آنها بر هم منطبق باشند، سپس پیکانی که ابتدای آن انتهای $\vec{b}$ و انتهای آن، انتهای $\vec{a}$ باشد، بردار $\vec{a} - \vec{b}$ است.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

نکته

1- اگر $\vec{A B}$ بردار هندسی مفروضی باشد و $O$ نقطه‌ای دل‌خواه، آن‌گاه:

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

2- اگر $\vec{O A}$ و $\vec{O B}$ دو بردار هندسی‌، غیر هم‌راستا باشند و $O A$ و $O B$ را دو ضلع مجاور یک متوازی‌الاضلاع در نظر بگیریم، قطر گذرنده از $O$ بردار مجموع و قطر دیگر متوازی‌الاضلاع بردار تفاضل را نشان می‌دهد.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه:

اگر $\vec{a} = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}]$ و $\vec{b} = [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}]$ مفروض باشند، مختصات $\vec{a} - \vec{b}$ را به‌دست ‌آورید.

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b}) = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}] + (- [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}]) = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}]$

تفاضل دو بردار از دیدگاه هندسی

بردارهای $\vec{a}$ و $\vec{b}$ در صفحه داده شده‌اند و $\vec{a} - \vec{b}$ مورد نظر ما می‌باشد.

حالت اول

$\vec{a}$ و $\vec{b}$ (یا مساوی های آنها) دارای ابتدای مشترک می‌باشند، در این حالت کافی است انتهای $\vec{b}$ را به‌انتهای $\vec{a}$ وصل کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

حالت دوم

$\vec{a}$ و $\vec{b}$ (یا مساوی های آنها) دارای انتهای مشترک می‌باشند، در این حالت کافی است ابتدای $\vec{a}$ را به ابتدای $\vec{b}$ وصل کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

حالت سوم

ابتدای $\vec{b}$ (یا مساوی $\vec{b}$ ) انتهای $\vec{a}$ (یا مساوی $\vec{a}$ ) می‌باشد، در این حالت مساوی $\vec{b}$ را چنان رسم می‌کنیم که ابتدای آن بر ابتدای بردار $\vec{a}$ منطبق شود و طبق حالت اول عمل می‌کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

حالت چهارم

انتهای $\vec{b}$ (یا مساوی $\vec{b}$ ) ابتدای $\vec{a}$ (یا مساوی $\vec{a}$ ) می‌باشد، در این حالت مساوی $\vec{b}$ را چنان رسم می‌کنیم که انتهای آن بر انتهای بردار $\vec{a}$ منطبق شود و طبق حالت دوم عمل می‌کنیم.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

تذکر

اگر سه بردار $\vec{u} = (u_{1}, u_{2})$ و $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ و $\vec{w} = (w_{1}, w_{2})$ هم مبدا باشند شرط آن‌که انتهای این سه بردار روی یک خط واقع شوند.

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

$\frac{v_{2} - u_{2}}{v_{1} - u_{1}} = \frac{w_{2} - u_{2}}{w_{1} - u_{1}}$

تمرین

شکل را در نظر بگیرید:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

بردار زیر را مشخص کنید.

$(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}$

ابتدا بردار $\vec{a} - \vec{b}$ را رسم می‌کنیم:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

اینک بردار $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}$ را رسم می‌کنیم:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

تمرین

شکل را در نظر بگیرید:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

بردار زیر را مشخص کنید.

$2 \vec{a} - 3 \vec{b}$

چون $2 \vec{a}$ و $3 \vec{b}$ ابتدای مشترک دارند بنابر (حالت اول درس) عمل می‌كنيم:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

تمرین

شکل را در نظر بگیرید:

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

بردارهای زیر را مشخص کنید.

$\{\begin{cases} (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \\ \vec{a} - (\vec{b} - \vec{c}) \end{cases}$

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

آيا اين دو بردار برابرند؟

همان‌طور كه ملاحظه می‌كنيد:

$(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - (\vec{b} - \vec{c})$

چه نتيجه‌ای می‌گيريد؟

تفاضل بردارها خاصيت شركت پذيری ندارد.

تمرین

به‌طريق هندسی نشان دهيد كه:

$\vec{a} - (- \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b}$

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

در متوازی الاضلاع $A B C D$ می‌توان نوشت:

$\vec{B C} = \vec{a} - (- \vec{b}), \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b}$

هم‌چنين داريم:

$\vec{B C} = \vec{A D}$

پس رابطه مطلوب نتيجه می‌شود:

$\vec{B C} = \vec{A D} \Rightarrow \vec{a} - (- \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b}$

تمرین

اگر بردارهای $\vec{b}, \vec{a}$ باهم زاويه $45^{\circ}$ تشكيل دهند، بردارهای زير را رسم كنيد.

$4 \vec{a}$

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

$2 \vec{a} - \vec{b}$

برای پيدا كردن $2 \vec{a} - \vec{b}$ ابتدا بردار $2 \vec{a}$ و سپس بردار $- \vec{b}$ را پيدا می‌كنيم و سرانجام مجموع هندسی آنها را رسم می‌کنیم:

$2 \vec{a} - \vec{b} = 2 \vec{a} + (- \vec{b})$

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

$\vec{a} + 3 \vec{b}$

تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

$\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B^{'}} = \vec{a} + 3 \vec{b} (|\vec{O B^{'}}| = 3 |\vec{O B}|)$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در صفحه

تفاضل دو بردار

تعریف تفاضل دو بردار

تفاضل دو بردار از دیدگاه هندسی

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟