اصل دوگانگی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: منطق گزاره
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

تعریف اصل دوگانگی (همزادی)

اگر به فهرست هم‌ارزی‌ها توجه کنیم، مشاهده می‌کنیم که در مورد دو عمل , و هم‌چنین در مورد T,F تقارنی وجود دارد به این معنا که:

  • اگر  جابه‌جایی است  نیز جابه‌جایی است.
  • اگر  نسبت به  توزیع‌پذیر است،  نسبت به توزیع‌پذیر است.

به‌طور کلی دوال یا دوگان یا همزاد یک گزاره، عبارت از گزاره‌ای است که از عوض کردن جای  با  و F با T به‏‌دست می‌آید.       

به‌عنوان نمونه:

دوگان ppqp عبارت است از ppqp.

دوگان pFF عبارت است از pTT.

دریافت مثال

فهرست هم‌ارزی‌های مهم

در جدول زیر علاوه بر این‌که فهرست کامل قوانین جبر گزاره آمده بر اساس اصل دوگانگی تنظیم شده است.

قانون خودتوانی

pppppp

قانون جابه‌جایی

pqqppqqp

قانون شرکت‌پذیری

pqrpqrpqrpqr

قانون توزیع‌پذیری

pqrpqprpqrpqpr

قانون متمم گیری و همانی

pFppTppTTpFFp~pTp~pF~TF~FT

قانون جذب

pqpppqpp

قانون دمورگان

~pq~p~q~pq~p~q

قانون هم‌پوشانی

p~pqpqp~pqpq

قانون نقیض

~~pppq~pq~q~p~pqp~q

قانون عطف مقدماتی

pqrpqrpqpqqppqpq~p~q~pqp~q~pq

تذکر

فرض کنیم A,A فرمول‌های دوگان و فرض کنیم pn,...,p1 جملگی متغیرهای بسیطی  باشند که در  A و A قرار دارند.

A را می‌توانیم به‌صورت Ap1,p2,...,pn و A را می‌توان به‌صورت A*p1,p2,...,pn بنویسیم با استفاده از قوانین دمورگان، داریم: 

pq~~p~qpq~~p~q

می‌توان ثابت کرد:

~Ap1,....,pnA*~p1,~p2,..~pn

یعنی نقیض یک فرمول، هم‌ارز دوگان آن است که در آن به‌جای هر متغیری نقیض آن قرار می‌گیرد و به‌عنوان نتیجه‌ای از این مطلب، داریم:

A~p1,...,~pn~A*p1,...,pn~Ap1,...pnA*~p1,...,~pn

دریافت مثال

نکته

1- فرض کنیم pn,...,p1 جملگی متغیرهای بسیطی‌اند که در فرمول‌های A و B واقع هستند.

منظور از AB آن است که AB و BA هر دو همواره یک راستگو (گزاره همیشه درست) باشند در این‌صورت فرمول‌های زیر هم راستگو هستند:   

Ap1,...,pnBp1,...,pnif   A~p1,~p2,...,~pn~A*p1,...,pn~A*p1,...,pn~B*p1,...,pn

دریافت مثال

نکته

2- رابط‌‌های   ,    ,   متقارن هستند به این مفهوم که:

pqqppqqppqqp

و از سوی دیگر pq هم‌ارز qp نیست.

گزاره A را استلزام راستگویی (استلزام منطقی) می‌نامیم اگر و فقط اگر AB راستگو باشد و این مفهوم را با AB نمایش می‌دهیم و می‌خوانیم A ایجاب می‌کند B را. 

می‌دانیم که AB مبین هم‌ارزی A و B می‌باشد با راستگو بودن AB

تمرین

استلزام زیر را بررسی کنید:

~qpq~p

به‌منظور اثبات استلزام فوق کافی است نشان دهیم که اگر برای مقدم ارزش T قائل شویم، هم‌ارزش T خواهد داشت.


اگر ~qpq دارای ارزش T باشد، آن‌گاه هر دو فرمولی pq  و q ارزش T دارند.  


اگر ~q ارزش T داشته باشد q ارزش F دارد. 


اگر pq ارزش T داشته باشد و q ارزش F حتما p ارزش F دارد بنابراین ~p ارزش T         

نکته

3- استلزام و هم‌ارزی هر دو خاصیت تعدی دارند:

if  AB   ,   BC    ;   ACif   AB   ,   BC    ;   AC

مثال‌ها و جواب‌ها

اصل دوگانگی

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید