اصل دوگانگی

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402
دسته‌بندی: منطق گزاره
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف اصل دوگانگی (همزادی)

اگر به فهرست هم‌ارزی‌ها توجه کنیم، مشاهده می‌کنیم که در مورد دو عمل ∨,∧ و هم‌چنین در مورد T,F تقارنی وجود دارد به این معنا که:

  • اگر ∨ جابه‌جایی است ∧ نیز جابه‌جایی است.
  • اگر ∨ نسبت به ∧ توزیع‌پذیر است، ∧ نسبت به ∨توزیع‌پذیر است.

به‌طور کلی دوال یا دوگان یا همزاد یک گزاره، عبارت از گزاره‌ای است که از عوض کردن جای ∨ با ∧ و F با T به‏‌دست می‌آید.       

به‌عنوان نمونه:

دوگان p∧p∨q≡p عبارت است از p∨p∧q≡p.

دوگان p∧F≡F عبارت است از p∨T≡T.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

فهرست هم‌ارزی‌های مهم

در جدول زیر علاوه بر این‌که فهرست کامل قوانین جبر گزاره آمده بر اساس اصل دوگانگی تنظیم شده است.

قانون خودتوانی

p∨p≡pp∧p≡p

قانون جابه‌جایی

p∨q≡q∨pp∧q≡q∧p

قانون شرکت‌پذیری

p∨q∨r≡p∨q∨rp∧q∧r≡p∧q∧r

قانون توزیع‌پذیری

p∨q∧r≡p∨q∧p∨rp∧q∨r≡p∧q∨p∧r

قانون متمم گیری و همانی

p∨F≡pp∧T≡p

p∨T≡Tp∧F≡F

p∨~p≡Tp∧~p≡F

~T≡F~F≡T

قانون جذب

p∨q∧p≡pp∧q∨p≡p

قانون دمورگان

~p∨q≡~p∧~q~p∧q≡~p∨~q

قانون هم‌پوشانی

p∨~p∧q≡p∨qp∧~p∨q≡p∧q

قانون نقیض

~~p≡pp⇒q≡~p∨q≡~q⇒~p~p⇒q≡p∧~q

قانون عطف مقدماتی

p⇒q⇒r≡p∧q⇒r

p⇔q≡p⇒q∧q⇒p≡p∨q⇒p∧q≡~p⇔~q

~p⇔q≡p⇔~q≡~p⇔q

تذکر

فرض کنیم A∗,A فرمول‌های دوگان و فرض کنیم pn,...,p1 جملگی متغیرهای بسیطی  باشند که در  A و A∗ قرار دارند.

A را می‌توانیم به‌صورت Ap1,p2,...,pn و A∗ را می‌توان به‌صورت A*p1,p2,...,pn بنویسیم با استفاده از قوانین دمورگان، داریم: 

p∧q⇔~~p∨~qp∨q⇔~~p∧~q

می‌توان ثابت کرد:

~Ap1,....,pn⇔A*~p1,~p2,..~pn

یعنی نقیض یک فرمول، هم‌ارز دوگان آن است که در آن به‌جای هر متغیری نقیض آن قرار می‌گیرد و به‌عنوان نتیجه‌ای از این مطلب، داریم:

A~p1,...,~pn⇔~A*p1,...,pn~Ap1,...pn⇔A*~p1,...,~pn

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- فرض کنیم pn,...,p1 جملگی متغیرهای بسیطی‌اند که در فرمول‌های A و B واقع هستند.

منظور از A→B آن است که A→B و B→A هر دو همواره یک راستگو (گزاره همیشه درست) باشند در این‌صورت فرمول‌های زیر هم راستگو هستند:   

Ap1,...,pn⇄Bp1,...,pn

if   A~p1,~p2,...,~pn⇔~A*p1,...,pn

~A*p1,...,pn⇄~B*p1,...,pn

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

2- رابط‌‌های ⇄  ,  ∨  ,  ∧ متقارن هستند به این مفهوم که:

p∨q⇔q∨pp∧q⇔q∧pp⇄q⇔q⇄p

و از سوی دیگر p→q هم‌ارز q→p نیست.

گزاره A را استلزام راستگویی (استلزام منطقی) می‌نامیم اگر و فقط اگر A→B راستگو باشد و این مفهوم را با A⇒B نمایش می‌دهیم و می‌خوانیم A ایجاب می‌کند B را. 

می‌دانیم که A⇔B مبین هم‌ارزی A و B می‌باشد با راستگو بودن A⇄B

تمرین

استلزام زیر را بررسی کنید:

~q∧p→q⇒~p

به‌منظور اثبات استلزام فوق کافی است نشان دهیم که اگر برای مقدم ارزش T قائل شویم، هم‌ارزش T خواهد داشت.


اگر ~q∧p→q دارای ارزش T باشد، آن‌گاه هر دو فرمولی p→q  و q ارزش T دارند.  


اگر ~q ارزش T داشته باشد q ارزش F دارد. 


اگر p→q ارزش T داشته باشد و q ارزش F حتما p ارزش F دارد بنابراین ~p ارزش T         

نکته

3- استلزام و هم‌ارزی هر دو خاصیت تعدی دارند:

if  A⇔B   ,   B⇔C    ;   A⇔C

if   A⇒B   ,   B⇒C    ;   A⇒C

خرید پاسخ‌ها

اصل دوگانگی

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید