سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

زاویه بین خط و منحنی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

تعریف: زاویه بین خط d با ضریب زاویه m و منحنی C با ضریب زاویه m' در نقطه تقاطع شان، عبارت است از زاویه بین خط d و خط مماس بر منحنی C در آن نقطه.

زاویه بین خط و منحنی - پیمان گردلو

برای تعیین زاویه بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

1- خط را با منحنی قطع می‌دهیم و مختصات نقطه تقاطع را به دست می‌آوریم.

2- از مشتق منحنی به ازای نقطه تقاطع، ضریب زاویه خط مماس بر منحنی در نقطه تقاطع خط و منحنی را به دست می‌آوریم.

3- از فرمول tanα=mm'1+mm' زاویه بین خط و منحنی را بدست می‌آوریم.  

قضیه

اگر دو خط در یک نقطه همدیگر را قطع کنند، زاویه حاده بین دو خط D',D از رابطه زیر به دست می‌آید. 

D,D'^=γtanγ=m1m21+m1m2

اثبات

فرض کنید γ زاویه بین دو خط راست D',D با شیب های m2,m1 به صورت زیر باشد: 

زاویه بین خط و منحنی - پیمان گردلو

اگر α زاویه خط D' با قسمت مثبت محور x ها و β زاویه خط D با قسمت مثبت محور x ها باشد، آنگاه:  

m1=tanαm2=tanβ

در شکل فوق با توجه به مثلث ABC داریم:

γ+α+180°β=180°γ=βαif  γ=βαtanγ=tanβαtanγ=tanβtanα1+tanβ.tanαtanγ=m2m11+m2m1

توجه کنید که چون بین دو خط متقاطع که بر هم عمود نباشند، یک زاویه حاده و یک زاویه منفرجه وجود دارد.

با در نظر گرفتن قدر مطلق در فرمول زاویه بین دو خط، مستقیما زاویه حاده محاسبه می‌شود:

tanγ=m1m21+m1m2

 به بررسی حالات مختلف فرمول فوق می‌پردازیم:

حالت اول:

  if   γ=0DD'tanγ=0  m2m11+m2m1=0m2m1=0m1=m2

و برعکس:

if  m1=m2tanγ=0γ=0

پس دو خط موازی هستند بنابراین نتیجه می‌گیریم که دو خط با شیب های m2,m1 موازی اند اگر و فقط اگر m1=m2  

حالت دوم:

  if  γ=90°DD'

دراین حالت tanγ تعریف نشده است.

m2m11+m2m1=1+m2m1=0m2m1=1

و برعکس:

m1m2=1m1m2+1=0tanγ=m2m11+m1m2γ=90

tanγ=m2m11+m1m2 تعریف نشده است.

حالت سوم:

if1+m1m2>0π2<γ<πtanγ<0m2m11+m2m1<0m2m1<0m1>m2

حالت چهارم:

if1+m1m2>00<γ<π2tanγ>0m2m11+m2m1>0m2m1>0m2>m1

یادآوری

به‌طور کلی زاویه بین دو خط راست از فرمول زیر به دست می‌آید:

if   tanγ=m2m11+m2m1γ=Arctanm2m11+m2m1

تمرین

زاويه بين خطوط و منحنی‌های زیر را به‌دست آوريد.

y=3x+1y=x+1

معادله خط مماس:

 Ι 3x+1=x+1


3x+1=x+13x+12=x+19x2+5x=0x=0y=1    ;    A0,1x=59


چون طرفين معادله را به‌توان 2 رسانده‌ايم، جواب‌های به‌دست آمده را در معادله امتحان می‌كنيم كه x=59 در معادله تقاطع صدق نمی‌كند، پس تنها نقطه تقاطع A0,1 است.

ΙΙ    C  :  y=x+1y'=12x+1x=0m'=12d:y=3x+1m=3ΙΙΙ    tanα=mm'1+mm'=3121+32=1tanα=1α=π4

y=xy=x2

معادله خط مماس:

Ι x2=x


x2=xx2x=0xx1=0x=0y=0  ,   O0,0x=1y=1    ,    A1,1


ΙΙ    C  :  y=x2y'=2xif  xo=0m1'=0if  xA=1m2'=2d:y=xm=1ΙΙΙ    tanα1=mm'11+mm'1=101+1×0=1tanα1=1α1=π4tanα2=mm'21+mm'2=121+1×2=13=13tanα2=13α2=Arctan13


α1=π4 زاويه خط و منحنی در نقطه O0,0 می‌باشد.


α2=Arctan13 زاويه خط و منحنی در نقطه A1,1 می‌باشد. 

تمرین

منحنی تابع y=x1x2+1، محور oy را در تحت چه زاويه‌ای قطع می‌كند؟ 

معادله خط محور oy عبارت است از x=0.

معادله خط مماس:

  Ι    x=0y=x1x2+1y=010+1y=1       ;      A0,1


ΙΙ    C  :y=x1x2+1y'=x2+2x+1x2+12x=0m'=1tanα=1α=π4d:x=0m=


شيب مماس در x=0 برابر π4 است پس منحنی با محور yها زاويه π4 می‌سازد.   

در كدام نقطه از نمودار تابع y=x2 خط مماس با خط 3xy+1=0 زاويه 45 می‌سازد؟

ΙΙ    C  :  y=x2y'=2xd:3xy+1=0m=3ΙΙΙ    tanα=mm'1+mm'tanπ4=3m'1+3m'm'31+3m'=±1m'=2m'=12


ضريب زاويه‌های مماس را مساوی با مشتق تابع  قرار می‌دهیم تا نقاط تماس به‌دست آید.

if   m'=2y'=m'2x=2x=1     ;     A1,1if   m'=12y'=m'2x=12x=14         ;   B14,116

به‌ازای چه مقدار c تابع y=x233x+c با محور xها زاویه π3 می‌سازد؟ 

ضریب زاویه خط مماس بر منحنی به‌صورت زیر می‌باشد:

m'=tanπ3=3

ΙΙ    C  :  y=x233x+cy'=2x33y'=m'3=2x33x=23y=0    ;    A23,0d:y=0m=0


A23,0 نقطه تلاقی مماس بر منحنی با محور xها است و مختصاتش در منحنی صدق می‌کند:

y=x233x+c0=1218+c     ;   A23,0c=6

برای ارسال نظر وارد سایت شوید