سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

زاویه بین خط و منحنی

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

زاویه بین خط $d$ با ضریب زاویه $m$ و منحنی $(C)$ با ضریب زاویه $m^{'}$ در نقطه تقاطع شان، عبارت است از زاویه بین خط $d$ و خط مماس بر منحنی $(C)$ در آن نقطه.

زاویه بین خط و منحنی - پیمان گردلو

برای تعیین زاویه بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

1- خط را با منحنی قطع می‌دهیم و مختصات نقطه تقاطع را به‌دست می‌آوریم.

2- از مشتق منحنی به ازای نقطه تقاطع، ضریب زاویه خط مماس بر منحنی در نقطه تقاطع خط و منحنی را به‌دست می‌آوریم.

3- از فرمول $\tan α = |\frac{m - m^{'}}{1 + m m^{'}}|$ زاویه بین خط و منحنی را به‌دست می‌آوریم.

قضیه

اگر دو خط در یک نقطه همدیگر را قطع کنند، زاویه حاده بین دو خط $D^{'}, D$ از رابطه زیر به دست می‌آید.

$(\hat{D, D^{'}}) = γ \Rightarrow \tan γ = |\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}|$

اثبات

فرض کنید $γ$ زاویه بین دو خط راست $D^{'}, D$ با شیب های $m_{2}, m_{1}$ به صورت زیر باشد:

زاویه بین خط و منحنی - پیمان گردلو

اگر $α$ زاویه خط $D^{'}$ با قسمت مثبت محور $x$ ها و $β$ زاویه خط $D$ با قسمت مثبت محور $x$ ها باشد، آنگاه:

$\{\begin{cases} m_{1} = \tan α \\ m_{2} = \tan β \end{cases}$

در شکل فوق با توجه به مثلث $A B C$ داریم:

$γ + α + (180^{°} - β) = 180^{°} \Rightarrow γ = β - α$

$i f γ = β - α \Rightarrow \tan γ = \tan (β - α) \Rightarrow \tan γ = \frac{\tan β - \tan α}{1 + \tan β . \tan α} \Rightarrow \tan γ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}}$

توجه کنید که چون بین دو خط متقاطع که بر هم عمود نباشند، یک زاویه حاده و یک زاویه منفرجه وجود دارد.

با در نظر گرفتن قدر مطلق در فرمول زاویه بین دو خط، مستقیما زاویه حاده محاسبه می‌شود:

$\tan γ = |\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}|$

بررسی زاویه بین خط و منحنی

حالت اول

$i f γ = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} D ||D^{'} \\ \tan γ = 0 \end{cases}〉 \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}} = 0 \Rightarrow m_{2} - m_{1} = 0 \Rightarrow m_{1} = m_{2}$

و برعکس:

$i f m_{1} = m_{2} \Rightarrow \tan γ = 0 \Rightarrow γ = 0$

پس دو خط موازی هستند بنابراین نتیجه می‌گیریم که دو خط با شیب های $m_{2}, m_{1}$ موازی اند اگر و فقط اگر $m_{1} = m_{2}$

حالت دوم

$i f γ = 90 ° \Rightarrow D ⊥ D^{'}$

دراین حالت $\tan γ$ تعریف نشده است.

$\frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}} = \infty \Rightarrow 1 + m_{2} m_{1} = 0 \Rightarrow m_{2} m_{1} = - 1$

و برعکس:

$m_{1} m_{2} = - 1 \Rightarrow m_{1} m_{2} + 1 = 0 \Rightarrow \tan γ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}} \Rightarrow γ = 90^{\circ}$

$\tan γ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}}$ تعریف نشده است.

حالت سوم

$i f \{\begin{cases} 1 + m_{1} m_{2} > 0 \\ \frac{π}{2} < γ < π \Rightarrow \tan γ < 0 \Rightarrow \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}} < 0 \end{cases}〉 m_{2} - m_{1} < 0 \Rightarrow m_{1} > m_{2}$

حالت چهارم

$i f \{\begin{cases} 1 + m_{1} m_{2} > 0 \\ 0 < γ < \frac{π}{2} \Rightarrow \tan γ > 0 \Rightarrow \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}} > 0 \end{cases}〉 m_{2} - m_{1} > 0 \Rightarrow m_{2} > m_{1}$

یادآوری

به‌طور کلی زاویه بین دو خط راست از فرمول زیر به دست می‌آید:

$i f \tan γ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}} \Rightarrow γ = A r c \tan (\frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}})$

تمرین

زاويه بين خطوط و منحنی‌های زیر را به‌دست آوريد.

$\{\begin{cases} y = 3 x + 1 \\ y = \sqrt{x + 1} \end{cases}$

معادله خط مماس:

$Ι) 3 x + 1 = \sqrt{x + 1}$

$\begin{array}{l} 3 x + 1 = \sqrt{x + 1} \\ \Rightarrow {(3 x + 1)}^{2} = x + 1 \\ \Rightarrow 9 x^{2} + 5 x = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = 1; A (0, 1) \\ x = - \frac{5}{9} \end{cases} \end{array}$

چون طرفين معادله را به‌توان $2$ رسانده‌ايم، جواب‌های به‌دست آمده را در معادله امتحان می‌كنيم كه $x = - \frac{5}{9}$ در معادله تقاطع صدق نمی‌كند، پس تنها نقطه تقاطع $A (0, 1)$ است.

$\begin{array}{l} Ι Ι) \{\begin{cases} C : y = \sqrt{x + 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \overset{x = 0}{\to} m^{'} = \frac{1}{2} \\ d : y = 3 x + 1 \Rightarrow m = 3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι Ι) \tan α = |\frac{m - m^{'}}{1 + m m^{'}}| = |\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}}| = 1 \Rightarrow \tan α = 1 \Rightarrow α = \frac{π}{4} \end{array}$

$\{\begin{cases} y = x \\ y = x^{2} \end{cases}$

معادله خط مماس:

$Ι) x^{2} = x$

$\begin{array}{l} x^{2} = x \\ \Rightarrow x^{2} - x = 0 \\ \Rightarrow x (x - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = 0, O (0, 0) \\ x = 1 \Rightarrow y = 1, A (1, 1) \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι) \{\begin{cases} C : y = x^{2} \Rightarrow y^{'} = 2 x \Rightarrow \{\begin{cases} i f x_{o} = 0 \Rightarrow {m_{1}}^{'} = 0 \\ i f x_{A} = 1 \Rightarrow {m_{2}}^{'} = 2 \end{cases} \\ d : y = x \Rightarrow m = 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι Ι) \{\begin{cases} \tan α_{1} = |\frac{m - {m^{'}}_{1}}{1 + m {m^{'}}_{1}}| = |\frac{1 - 0}{1 + 1 \times 0}| = 1 \Rightarrow \tan α_{1} = 1 \Rightarrow α_{1} = \frac{π}{4} \\ \tan α_{2} = |\frac{m - {m^{'}}_{2}}{1 + m {m^{'}}_{2}}| = |\frac{1 - 2}{1 + 1 \times 2}| = |\frac{- 1}{3}| = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan α_{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow α_{2} = A r c \tan \frac{1}{3} \end{cases} \end{array}$

$α_{1} = \frac{π}{4}$ زاويه خط و منحنی در نقطه $O (0, 0)$ می‌باشد.

$α_{2} = A r c \tan \frac{1}{3}$ زاويه خط و منحنی در نقطه $A (1, 1)$ می‌باشد.

تمرین

منحنی تابع $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ، محور $o y$ را در تحت چه زاويه‌ای قطع می‌كند؟

معادله خط محور $o y$ عبارت است از $x = 0$ .

معادله خط مماس:

$Ι) \{\begin{cases} x = 0 \\ y = \frac{x - 1}{x^{2} + 1} \end{cases}〉 y = \frac{0 - 1}{0 + 1} \Rightarrow y = - 1; A (0, - 1)$

$Ι Ι) \{\begin{cases} C : y = \frac{x - 1}{x^{2} + 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \overset{x = 0}{\to} m^{'} = 1 \Rightarrow \tan α = 1 \Rightarrow α = \frac{π}{4} \\ d : x = 0 \Rightarrow m = \infty \end{cases}$

شيب مماس در $x = 0$ برابر $\frac{π}{4}$ است پس منحنی با محور $y$ ها زاويه $\frac{π}{4}$ می‌سازد.

در كدام نقطه از نمودار تابع $y = x^{2}$ خط مماس با خط $3 x - y + 1 = 0$ زاويه $45^{\circ}$ می‌سازد؟

$\begin{array}{l} Ι Ι) \{\begin{cases} C : y = x^{2} \Rightarrow y^{'} = 2 x \\ d : 3 x - y + 1 = 0 \Rightarrow m = 3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι Ι) \tan α = |\frac{m - m^{'}}{1 + m m^{'}}| \Rightarrow \tan \frac{π}{4} = |\frac{3 - m^{'}}{1 + 3 m^{'}}| \Rightarrow \frac{m^{'} - 3}{1 + 3 m^{'}} = \pm 1 \Rightarrow \{\begin{cases} m^{'} = - 2 \\ m^{'} = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

ضريب زاويه‌های مماس را مساوی با مشتق تابع قرار می‌دهیم تا نقاط تماس به‌دست آید.

$\{\begin{cases} i f m^{'} = - 2 \overset{y^{'} = m^{'}}{\to} 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1; A (- 1, 1) \\ i f m^{'} = \frac{1}{2} \overset{y^{'} = m^{'}}{\to} 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}; B (\frac{1}{4}, \frac{1}{16}) \end{cases}$

به‌ازای چه مقدار $c$ تابع $y = x^{2} - 3 \sqrt{3} x + c$ با محور $x$ ها زاویه $\frac{π}{3}$ می‌سازد؟

ضریب زاویه خط مماس بر منحنی به‌صورت زیر می‌باشد:

$m^{'} = \tan \frac{π}{3} = \sqrt{3}$

$Ι Ι) \{\begin{cases} C : y = x^{2} - 3 \sqrt{3} x + c \Rightarrow y^{'} = 2 x - 3 \sqrt{3} \overset{y^{'} = m^{'}}{\to} \sqrt{3} = 2 x - 3 \sqrt{3} \Rightarrow x = 2 \sqrt{3} \Rightarrow y = 0; A (2 \sqrt{3}, 0) \\ d : y = 0 \Rightarrow m = 0 \end{cases}$

$A (2 \sqrt{3}, 0)$ نقطه تلاقی مماس بر منحنی با محور $x$ ها است و مختصاتش در منحنی صدق می‌کند:

$\begin{array}{l} y = x^{2} - 3 \sqrt{3} x + c \\ \Rightarrow 0 = 12 - 18 + c; A (2 \sqrt{3}, 0) \\ \Rightarrow c = 6 \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

زاویه بین خط و منحنی

بررسی زاویه بین خط و منحنی

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟