تعیین نقاط تماس

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر مشتق یک منحنی را مساوی با ضریب زاویه خط مماس بر منحنی قرار دهیم، سه حالت زیر اتفاق می‌افتد:

حالت اول

ممکن است طول نقطه تماس بدست آید که از معادله منحنی، عرض آن را بدست می‌آوریم.

تمرین

نقاطی از منحنی $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ را تعیین کنید که مماس در آن نقاط، موازی خط $y = \frac{x}{2}$ باشد.

فرض کنیم خط $d : y = a x + b$ معادله خط مماس بر منحنی $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ باشد:

$\{\begin{cases} d : y = a x + b \\ d^{'} : y = \frac{x}{2} \end{cases}〉 i f d ∥ d^{'} \Rightarrow m_{d} = m_{d^{'}} \Rightarrow m_{d} = \frac{1}{2}$

مشتق منحنی را مساوی ضریب زاویه خط مماس قرار دهیم: (یافتن طول نقطه تماس)

$\begin{array}{l} m_{d} = f^{'} (x); f^{'} (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \\ \Rightarrow 4 = {(x + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + 1 = \pm 2 \\ \Rightarrow x = 1, - 3 \end{array}$

$\{\begin{cases} i f x = 1 \Rightarrow y = 0; A (1, 0) \\ i f x = - 3 \Rightarrow y = 2; B (- 3, 2) \end{cases}$

تابع $y = \ln x$ مفروض است. اگر خط $y = k x$ بر تابع فوق مماس باشد، مقدار $k$ را محاسبه کنید.

اگر $x = a$ طول نقطه مماس باشد، در هر دو منحنی صدق می‌کند:

$\{\begin{cases} y = \ln x \Rightarrow y = \ln a \\ y = k x \Rightarrow y = k a \end{cases}〉 \ln a = k a \Rightarrow k = \frac{\ln a}{a}$

از طرفی، ضریب زاویه خط مماس یعنی $m$ برابر است با مشتق تابع در نقطه تماس:

$\begin{array}{l} m = f^{'} (a); f (x) = \ln x \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}; x = a \\ \Rightarrow f^{'} (a) = \frac{1}{a}; m = f^{'} (a) \\ \Rightarrow m = \frac{1}{a} \end{array}$

در خط $y = k x$ ضریب $x$ یعنی عدد $k$ ضریب زاویه یا شیب خط می‌باشد، یعنی:

$\begin{array}{l} k = m = \frac{1}{a} \\ i f k = \frac{\ln a}{a}; k = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{\ln a}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \ln a = 1 \\ \Rightarrow a = e \\ \Rightarrow k = \frac{1}{e} \end{array}$

حالت دوم

ممکن است عرض نقطه تماس بدست آید که از معادله منحنی، طول آن را بدست می‌آوریم.

تمرین

نقطه ای از منحنی $y^{2} - 2 x - 2 = 0$ را تعیین کنید که مماس بر منحنی در آن نقطه بر خط $4 x + 2 y = 5$ عمود باشد.

فرض کنیم خط $d : y = a x + b$ معادله خط مماس بر منحنی $y^{2} - 2 x - 2 = 0$ باشد:

$\{\begin{cases} d : y = a x + b \\ d^{'} : 4 x + 2 y = 5 \end{cases}〉 i f d ⊥ d^{'} \Rightarrow m_{d} \times m_{d^{'}} = - 1 \Rightarrow m_{d} \times (- 2) = - 1 \Rightarrow m_{d} = \frac{1}{2}$

مشتق منحنی را مساوی ضریب زاویه خط مماس قرار دهیم: (یافتن عرض نقطه تماس)

$\begin{array}{l} m_{d} = {y^{'}}_{x}; {y^{'}}_{x} = \frac{1}{y} : (Ι) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{y} \\ \Rightarrow y = 2 \end{array}$

$i f y = 2 \Rightarrow x = 1; A (1, 2)$

یادآوری می‌کنیم که:

$(Ι) : y^{2} - 2 x - 2 = 0 \Rightarrow 2 y y^{'} - 2 = 0 \Rightarrow 2 y y^{'} = 2 \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{y}$

حالت سوم

ممکن است رابطه‌ای بین طول و عرض نقطه تماس بدست آید که در واقع معادله خط یا منحنی است که از نقاط تماس می‌گذرد، ازحل این رابطه با معادله منحنی، مختصات نقاط تماس به‌دست می‌آید.

تمرین

نقاطی از نمودار معادله زیر را به‌دست آورید که خط مماس در آن نقاط، موازی با خط $2 y + 4 x = 7$ باشد.

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$

فرض کنیم خط $d : y = a x + b$ معادله خط مماس بر منحنی $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ باشد:

$\{\begin{cases} d : y = a x + b \\ d^{'} : 2 y + 4 x = 7 \end{cases}〉 i f d ∥ d^{'} \Rightarrow m_{d} = m_{d^{'}} \Rightarrow m_{d} = - 2$

مشتق منحنی را مساوی ضریب زاویه خط مماس قرار دهیم: (یافتن رابطه‌ای بین طول و عرض نقطه تماس)

$\begin{array}{l} m_{d} = {y^{'}}_{x}; {y^{'}}_{x} = - \frac{2 x + 2}{2 y - 4} \\ \Rightarrow - 2 = - \frac{2 x + 2}{2 y - 4} \\ \Rightarrow x = 2 y - 5; x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(2 y - 5)}^{2} + y^{2} + 2 (2 y - 5) - 4 y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} - 4 y + 3 = 0 \\ \Rightarrow y = 1, 3 \\ \{\begin{cases} y = 3 \Rightarrow x = 1; A (1, 3) \\ y = 1 \Rightarrow x = - 3; B (- 3, 1) \end{cases} \end{array}$