سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقاط ثابت منحنی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

تعریف: بعضی از توابع پارامتری به ازای مقادیر مختلف پارامتر از یک یا چند نقطه مشخص می‌گذرد، این نقاط منحنی را نقاط ثابت منحنی گویند.

در مختصات نقاط ثابت، پارامتر وجود ندارد از این روی آنها را نقاط ثابت گویند.

برای تعیین مختصات ثابت، کافی است تابع را بر حسب پارامتر مرتب کنیم و متحد با صفر قرار دهیم تا پارامتر در تعیین مختصات نقاط ثابت نقشی نداشته باشد.

تمرین

منحنی های توابع زیر بازای مقادیر مختلف پارامتر m از چند نقطه ثابت می گذرند؟

y=mx22mx+4

mx22mx+4y=0mx22x+4y0x22x=0x=0,24y=0y=4S10,4S22,4  

y=x+amx2amxa

mx2yamxyay=x+amx2yamxyayxa=0mx2yaxyay+x+a0x2yaxy=0ay+x+a=0xyxa=0x=0  ,  y=0  ,  x=aay+x+a=0y=1  ,x=a  ,  y=2S10,1  ,  S2a,0,  S3a,2

mxmy2x4m+6=0

xy4m+62x062x=0x=3xy4=0y=1S3,1

y=mx+1x+m

xy+ym=mx+1xy+ymmx1=0yxm+xy10yx=0y=xxy1=0xy=1x2=1x=±1,y=±1S11,1  ,  S21,1

y=mx3+m2x2+m2x+m+3

mx3+m2x2+m2x+m+3y=0x2+xm2+x3+1m+3y0x2+x=0x=0,1x3+1=0x=13y=0y=3


چون هر سه ضریب بایستی تواما صفر شوند، منحنی های فوق بایستی از یک نقطه ثابت به مختصات -1,0 بگذرند.

y=x3xm

حالت اول)

اگر x3x=0 باشد، x3xm به m بستگی ندارد و حاصل آن همواره صفر است:

x3x=0x=0,1,1


پس منحنی های فوق از C1,0   ,   B1,0   ,   A0,0 می‌گذرند.


 حالت دوم)

اگر x3x=1 باشد، x3xm به m بستگی ندارد و حاصل آن همواره یک است:

x3x=1x3x1=0   ;   Δ=4+27>0


معادله یک ریشه حقیقی ساده دارد.


چون تعداد نقاط ، مورد نظر است بنابراین تعیین جواب دقیق معادله x3x1=0 فاقد اهمیت است و منحنی چهارنقطه ثابت دارد.


یادآوری) برای بحث در تعداد ریشه های X3+pX+q=0 داریم:

if   Δ=4p3+27q2>0

معادله یک ریشه حقیقی ساده دارد.

if   Δ=4p3+27q2=0

معادله یک ریشه حقیقی ساده و یک ریشه مضاعف دارد.

if   Δ=4p3+27q2<0

معادله سه ریشه حقیقی ساده دارد.

y=mx21

اگر x21=0 باشد، y=mx21 به m بستگی ندارد و حاصل آن همواره یک است:

x21=0x=1,1


پس منحنی های فوق از B1,1   ,   A1,1 می گذرند.

x2+y2+λ2xλ+2y6=0

x2+y2+λx2xλy2y6=0xyλ+x2+y22x2y6=0xy=0x=yx2+y22x2y6=02x24x6=0x=1  ,  3


منحنی های فوق از B3,3,  A1,1 می گذرند.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید