سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقاط ثابت منحنی

آخرین ویرایش: 03 اسفند 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بعضی از توابع پارامتری به ازای مقادیر مختلف پارامتر از یک یا چند نقطه مشخص می‌گذرد، این نقاط منحنی را نقاط ثابت منحنی گویند.

در مختصات نقاط ثابت، پارامتر وجود ندارد از این روی آنها را نقاط ثابت گویند.

برای تعیین مختصات ثابت، کافی است تابع را بر حسب پارامتر مرتب کنیم و متحد با صفر قرار دهیم تا پارامتر در تعیین مختصات نقاط ثابت نقشی نداشته باشد.

تمرین

منحنی های توابع زیر بازای مقادیر مختلف پارامتر $m$ از چند نقطه ثابت می گذرند؟

$y = m x^{2} - 2 m x + 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} - 2 m x + 4 - y = 0 \\ \Rightarrow m (x^{2} - 2 x) + (4 - y) \equiv 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x = 0, 2 \\ 4 - y = 0 \Rightarrow y = 4 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} S_{1} (0, 4) \\ S_{2} (2, 4) \end{cases} \end{matrix}$

$y = \frac{x + a}{m x^{2} - a m x - a}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} y - a m x y - a y = x + a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} y - a m x y - a y - x - a = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m (x^{2} y - a x y) - (a y + x + a) \equiv 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} y - a x y = 0 \\ a y + x + a = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x y (x - a) = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0, x = a \\ a y + x + a = 0 \Rightarrow y = - 1, x = - a, y = - 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{1} (0, - 1), S_{2} (- a, 0), S_{3} (a, - 2) \end{array}$

$m x - m y - 2 x - 4 m + 6 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - y - 4) m + (6 - 2 x) \equiv 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 6 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 3 \\ x - y - 4 = 0 \Rightarrow y = - 1 \end{cases}〉 S (3, - 1) \end{array}$

$y = \frac{m x + 1}{x + m}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x y + y m = m x + 1 \\ \Rightarrow x y + y m - m x - 1 = 0 \\ \Rightarrow (y - x) m + (x y - 1) \equiv 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} y - x = 0 \Rightarrow y = x \\ x y - 1 = 0 \Rightarrow x y = 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 1 \\ \Rightarrow x = \pm 1, y = \pm 1 \\ \Rightarrow S_{1} (1, 1), S_{2} (- 1, - 1) \end{array}$

$y = m x^{3} + m^{2} x^{2} + m^{2} x + m + 3$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{3} + m^{2} x^{2} + m^{2} x + m + 3 - y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} + x) m^{2} + (x^{3} + 1) m + (3 - y) \equiv 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} + x = 0 \Rightarrow x = 0, - 1 \\ x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ 3 - y = 0 \Rightarrow y = 3 \end{cases} \end{array}$

چون هر سه ضریب بایستی تواما صفر شوند، منحنی های فوق بایستی از یک نقطه ثابت به مختصات $(- 1, 0)$ بگذرند.

$y = {(x^{3} - x)}^{m}$

حالت اول)

اگر $x^{3} - x = 0$ باشد، ${(x^{3} - x)}^{m}$ به $m$ بستگی ندارد و حاصل آن همواره صفر است:

$x^{3} - x = 0 \Rightarrow x = 0, 1, - 1$

پس منحنی های فوق از $C (- 1, 0), B (1, 0), A (0, 0)$ می‌گذرند.

حالت دوم)

اگر $x^{3} - x = 1$ باشد، ${(x^{3} - x)}^{m}$ به $m$ بستگی ندارد و حاصل آن همواره یک است:

$x^{3} - x = 1 \Rightarrow x^{3} - x - 1 = 0; Δ = - 4 + 27 > 0$

معادله یک ریشه حقیقی ساده دارد.

چون تعداد نقاط ، مورد نظر است بنابراین تعیین جواب دقیق معادله $x^{3} - x - 1 = 0$ فاقد اهمیت است و منحنی چهارنقطه ثابت دارد.

یادآوری) برای بحث در تعداد ریشه های $X^{3} + p X + q = 0$ داریم:

$i f Δ = 4 p^{3} + 27 q^{2} > 0$

معادله یک ریشه حقیقی ساده دارد.

$i f Δ = 4 p^{3} + 27 q^{2} = 0$

معادله یک ریشه حقیقی ساده و یک ریشه مضاعف دارد.

$i f Δ = 4 p^{3} + 27 q^{2} < 0$

معادله سه ریشه حقیقی ساده دارد.

$y = m^{(x^{2} - 1)}$

اگر $x^{2} - 1 = 0$ باشد، $y = m^{(x^{2} - 1)}$ به $m$ بستگی ندارد و حاصل آن همواره یک است:

$x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = - 1, 1$

پس منحنی های فوق از $B (- 1, 1), A (1, 1)$ می گذرند.

$x^{2} + y^{2} + (λ - 2) x - (λ + 2) y - 6 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + λ x - 2 x - λ y - 2 y - 6 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - y) λ + (x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 6) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \Rightarrow x = y \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 6 = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} - 4 x - 6 = 0 \Rightarrow x = - 1, 3 \end{array}$

منحنی های فوق از $B (3, 3), A (- 1, - 1)$ می گذرند.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

نقاط ثابت منحنی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟