سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

قضیه مقدار میانگین (قضیه رُل)

آخرین ویرایش: 18 فروردين 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه رُل

مقدمه

تعبیر هندسی قضیه رُل چنین است که آیا نقطه ای روی یک منحنی وجود دارد که خط مماس بر آن نقطه، افقی باشد یا دارای ضریب زاویه صفر باشد؟

اگر خط مماس در یک نقطه بر منحنی به موازات محور $x$ ها باشد، یعنی زاویه خط مماس و محور $x$ ها صفر می‌شود و بنا به تعریف ضریب زاویه داریم:

$m = \tan α \overset{α = 0}{\to} m = \tan 0 \Rightarrow m = 0$

قضیه رُل - پیمان گردلو

قضیه

اگر تابع $y = f (x)$ در سه شرط زیر صدق کند:

1- در فاصله $[a, b]$ پیوسته باشد.

2- در فاصله $(a, b)$ مشتق پذیر باشد.

3- $f (a) = f (b)$ باشد.

قضیه رُل - پیمان گردلو

آنگاه عددی مانند $c$ یافت می‌شود به‌طوری‌که:

$f^{'} (c) = 0; a < c < b$

اثبات

اگر به ازای هر $x$ در بازه $[a, b]$ تابع $y = f (x)$ پیوسته و ثابت باشد، داریم:

$i f \forall x \in [a, b]; f (a) = f (b) = f (x) \Rightarrow \forall x \in (a, b); f^{'} (x) = 0$

در نتیجه $c$ می‌تواند هر عدد دلخواه بین $a$ و $b$ باشد.

فرض کنیم $y = f (x)$ در بعضی نقاط $(a, b)$ ثابت نباشد:

چون $f$ در بازه $[a, b]$ پیوسته است، بنا به قضیه مقدار اکسترمم، باید ماکزیمم و مینیمم مطلق خود را خود را در جایی بین $a$ و $b$ بگیرید.

اگر این ماکزیمم و مینیمم مطلق بین $a$ و $b$ باشد، همان ماکزیمم و مینیمم نسبی خواهد بود و چون $f^{'}$ در فاصله $(a, b)$ وجود دارد، پس باید در این نقاط، ماکزیمم و مینیمم نسبی مشتق صفر باشد، یعنی نقطه ای وجود دارد که $f^{'} (c) = 0$ .

اگر این دو مقدار اکسترمم در نقاط انتهایی یعنی $a$ و $b$ گرفته شود، چون $f (a) = f (b)$ پس تابع $f$ بر $[a, b]$ ثابت نتیجه گرفته می‌شود که خلاف فرض است.

خاصیت اول

باید توجه کرد که عدد $c$ با خاصیت فوق، منحصر به فرد نمی‌باشد و ممکن است در چندین نقطه از $(a, b)$ مشتق برابر صفر باشد.

ضمنا باید در نظر داشته باشیم که نقطه $c$ در قضیه رُل باید یک نقطه درونی از بازه $[a, b]$ باشد.

خاصیت دوم

اگر شرایط قضیه رُل برای تابع $f$ برقرار نباشد، تضمینی وجود ندارد که مشتق $f$ جایی صفر شود.

در هر یک از شکل های زیر، شرایط قضیه رُل برقرار نیست، در بعضی از آنها $f^{'} (x) = 0$ جواب دارد ولی در برخی این طور نیست.

قضیه رُل - پیمان گردلو

در شکل سمت راست معادله $f^{'} (x) = 0$ جواب دارد.

در شکل وسط معادله $f^{'} (x) = 0$ جواب ندارد.

در شکل سمت چپ معادله $f^{'} (x) = 0$ جواب ندارد.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \cos x; x \in [- π, π]$

قضيه رُل را برای تابع فوق در فاصله بیان شده تحقیق کنید.

$(1$ تابع $f$ در فاصله $[- π, π]$ پيوسته می‌باشد.

$(2$ تابع $f$ در فاصله $(- π, π)$ مشتق پذیر می‌باشد.

$f (π) = f (- π) = - 1 (3$

قضیه رل - پیمان گردلو

پس قضيه رُل برقرار است.

درصورت وجود، مقدار $c$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} f (x) = \cos x \\ \Rightarrow f^{'} (x) = - \sin x; i f f^{'} (c) = 0 \\ \Rightarrow - \sin c = 0 \\ \Rightarrow \sin c = 0 \\ \Rightarrow c = k π; i f k = 0 \\ \Rightarrow c = 0 \end{array}$

در بازه $(- π, π)$ مشتق $f$ در یک نقطه صفر می‌شود.

تمرین

قضيه رُل را برای توابع زیر در فواصل بیان شده تحقیق کنید و درصورت وجود، مقدار $c$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 12 x; x \in [- 6, 6], [0, 6], [- 6, 0] \end{array}$

1- چون تابع چند جمله ای است و روی $R$ پيوسته است، پس روی تمام اين فواصل هم پيوسته می‌باشد.

2- هم‌چنين در بازه بازشان مشتق پذیر است.

$f (- 6) = f (6) = f (0)$

پس قضيه رُل برای همه اين فواصل برقرار است، برای يافتن $c$ داريم:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 12 x \\ \Rightarrow f^{'} (x) = x^{2} - 12; i f f^{'} (c) = 0 \\ \Rightarrow c^{2} - 12 = 0 \\ \Rightarrow c = \pm 2 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} c_{1} = - 2 \sqrt{3} \in [- 6, 0] \\ c_{2} = 2 \sqrt{3} \in [0, 6] \\ c_{1}, c_{2} \in [- 6, 6] \end{array}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8; x \in [- 2, 2]$

1- تابع $f$ چندجمله ای است و در فاصله $[- 2, 2]$ پیوسته است.

2- تابع $f$ در فاصله $(- 2, 2)$ مشتق پذير است.

$f (- 2) = f (2) = 0$

پس قضيه رُل برای همه اين فواصل برقرار است، برای يافتن $c$ داريم:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8 \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x; i f f^{'} (c) = 0 \\ \Rightarrow 4 c^{3} - 4 c = 0 \\ \Rightarrow c = 0, 1, - 1 \end{array}$

در بازه $(- 2, 2)$ مشتق $f$ در سه نقطه صفر می‌شود.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

عکس قضیه رُل برقرار نخواهد بود، یعنی ممکن است نمودار تابعی دارای مماس افقی باشد در حالی که بعضی از شرایط قضیه رُل برقرار نباشد.

تمرین

آيا شرايط قضيه رُل در مورد تابع زیر برقرار است؟

$f (x) = x^{3} + 1$

$\begin{array}{l} f (x) = x^{3} + 1 \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2}; i f f^{'} (c) = 0 \\ \Rightarrow 3 c^{2} = 0 \\ \Rightarrow c = 0 \end{array}$

نمودار تابع دارای مماسی افقی است در حالی كه بعضی از شرايط قضيه رُل در زیر برقرار نمی‌باشد:

پیمان گردلو

1- در فاصله $[a, b]$ پيوسته است.

2- در فاصله $(a, b)$ مشتق پذير است.

3- شرط سوم قضیه رل برقرار نیست زیرا هيچ بازه ای از $[a, b]$ وجود ندارد كه $f (a) = f (b)$ باشد.

توجه کنید که تابع اكيدا صعودی است.

پس قضيه رُل برقرار نیست.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید عكس قضيه رُل برقرار نخواهد بود.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

از نتایج قضیه رُل در تعیین نقاط اکسترمم و ریشه های معادلات استفاده می‌کنیم:

اگر تابع $f$ روی بازه $[a, b]$ پیوسته و $f (a) = f (b)$ آنگاه $f$ حداقل یک نقطه بحرانی در بازه $(a, b)$ دارد که ممکن است اکسترمم نسبی هم باشد.

قضیه رُل - پیمان گردلو

چون $f$ روی بازه کراندار $[a, b]$ پیوسته است، پس در این بازه ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق دارد.

چون $f (a) = f (b)$ اگر $f$ ثابت باشد هر نقطه درونی $(a, b)$ یک نقطه اکسترمم نسبی است در غیر این صورت حداقل یکی از نقاط ماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق $f$ در یک نقطه درونی بازه $(a, b)$ رخ می‌دهد که اکسترمم نسبی است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

از نتایج قضیه رُل در تعیین نقاط اکسترمم و ریشه های معادلات استفاده می‌کنیم:

اگر $α$ و $β$ دو ریشه متوالی $f (x) = 0$ در تابع $f$ باشند و تابع روی $[α, β]$ پیوسته باشد، آنگاه تابع حداقل یک اکسترمم نسبی دارد و اگر مشتق پذیر باشد، مشتق حداقل یک ریشه دارد.

قضیه رُل - پیمان گردلو

تمرین

نقاط اكسترمم نسبی تابع با ضابطه زیر را به‌‌دست آورید.

$f (x) = x (x - 1) (x - 2) (x + 1) (x - 3)$

معادله $f (x) = 0$ دارای پنج ريشه است و بنابر نتيجه بيان شده، تابع حداقل چهار اكسترمم نسبي دارد.

چون تابع مشتق پذير است، پس تمام نقاط بحرانی، ريشه های‌ مشتق هستند.

اما تابع چند جمله ای از درجه پنجم است، پس $f^{'} (x)$ چند جمله ای از درجه چهارم است و حداكثر چهار ريشه دارد، پس تابع حداكثر چهار اكسترمم نسبی دارد، لذا دقيقا چهار‌ اكسترمم نسبی دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

قضیه مقدار میانگین (قضیه رُل)

8,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

قضیه مقدار میانگین (قضیه رُل)

قضیه رُل

مقدمه

خاصیت اول

خاصیت دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع