سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادله مماس مشترک دو منحنی

آخرین ویرایش: 03 اسفند 1402
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض می‌کنیم خط d:y=ax+b مماس مشترک دو منحنی y=fxy=gx باشد، برای یافتن مماس مشترک دو منحنی، این خط را با دو منحنی قطع می‌دهیم و شرط مماس بودن بر دو منحنی را می‌نویسیم، a و b بدست می‌آید. 

تمرین

 دو سهمی y=x2−3x+3y=x2+x−1 مفروض است:

معادله تقاطع خط y=ax+b با سهمی y=x2−3x+3 را بنویسید.

y=x2−3x+3y=ax+b

x2−3x+3=ax+b⇒x2−3+ax+3−b=0


شرط مماس بودن خط و سهمی آن است که معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد:

Δ=0⇒3+a2−413−b=0⇒a2+6a+4b−3=0

معادله تقاطع خط y=ax+b با سهمی y=x2+x−1 را بنویسید.

y=x2+x−1y=ax+b

x2+x−1=ax+b⇒x2+1−ax−1−b=0


شرط مماس بودن خط و سهمی آن است که معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد:

Δ=0⇒1−a2−4−1−b=0⇒a2−2a+4b+5=0

معادله مماس مشترک دو سهمی را بنویسید.

a2+6a+4b−3=0a2−2a+4b+5=0a=1b=−1

y=1x+−1⇒y=x−1

نمودار دو سهمی را رسم کنید و مماس مشترک را روی نمودارها نشان دهید.

مماس مشترک - پیمان گردلو

تمرین

معادله خطوطی را بنویسید که بر هر دو تابع زیر مماس باشند.

y=−x2y=x2+2

y=−x2y=ax+b

ax+b=−x2⇒x2+ax+b=0→Δ=0a2−4b=0

y=x2+2y=ax+b

x2+2=ax+b⇒x2−ax−b+2=0→Δ=0a2+4b−8=0


معادله مماس مشترک دو سهمی را می‌نویسیم:

a2−4b=0a2+4b−8=0a=±2b=1y=2x+1y=−2x+1


نمودار دو سهمی را رسم می‌کنیم و مماس مشترک را روی نمودارها نشان می‌دهیم:

مماس مشترک - پیمان گردلو

تمرین

ضریب زاویه خطی که بر هر دو منحنی زیر مماس باشد، را بیابید.

y=x2y=−x2−2

فرض کنیم α,α2 نقطه ای روی منحنی y=x2 باشد، مماس در این نقطه به معادله زیر می‌باشد:

y−α2=2αx−α


معادله تقاطع خط مماس فوق و منحنی y=−x2−2 بایستی ریشه مضاعف داشته باشد:

y=2αx−α+α2y=−x2−2

−x2−2=2αx−α+α2⇒−x2−2=2αx−α2⇒x2+2αx+2−α2=0


Δ=0⇒2α2−412−α2=0⇒4α2−8+4α2=0⇒α=±1


ضریب زاویه خط مماس بر منحنی y=x2 در نقاط زیر را به‌دست می‌آوریم: 

α=±1⇒α,α2=1,1α,α2=-1,1


y=x2⇒y'=2x⇒m1=21⇒m1=2m2=2−1⇒m2=−2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید