سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادله مماس مشترک دو منحنی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

تعریف: فرض می‌کنیم خط d:y=ax+b مماس مشترک دو منحنی y=fxy=gx باشد، برای یافتن مماس مشترک دو منحنی، این خط را با دو منحنی قطع می‌دهیم و شرط مماس بودن بر دو منحنی را می‌نویسیم، a و b بدست می‌آید. 

تمرین

 دو سهمی y=x23x+3y=x2+x1 مفروض است:

معادله تقاطع خط y=ax+b با سهمی y=x23x+3 را بنویسید.

y=x23x+3y=ax+bx23x+3=ax+bx23+ax+3b=0


شرط مماس بودن خط و سهمی آن است که معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد:

Δ=03+a2413b=0a2+6a+4b3=0

معادله تقاطع خط y=ax+b با سهمی y=x2+x1 را بنویسید.

y=x2+x1y=ax+bx2+x1=ax+bx2+1ax1b=0


شرط مماس بودن خط و سهمی آن است که معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد:

Δ=01a241b=0a22a+4b+5=0

معادله مماس مشترک دو سهمی را بنویسید.

a2+6a+4b3=0a22a+4b+5=0a=1b=1y=1x+1y=x1

نمودار دو سهمی را رسم کنید و مماس مشترک را روی نمودارها نشان دهید.

مماس مشترک - پیمان گردلو

تمرین

معادله خطوطی را بنویسید که بر هر دو تابع زیر مماس باشند.

y=x2y=x2+2

y=x2y=ax+bax+b=x2x2+ax+b=0Δ=0a24b=0y=x2+2y=ax+bx2+2=ax+bx2axb+2=0Δ=0a2+4b8=0


معادله مماس مشترک دو سهمی را می‌نویسیم:

a24b=0a2+4b8=0a=±2b=1y=2x+1y=2x+1


نمودار دو سهمی را رسم می‌کنیم و مماس مشترک را روی نمودارها نشان می‌دهیم:

مماس مشترک - پیمان گردلو

تمرین

ضریب زاویه خطی که بر هر دو منحنی زیر مماس باشد، را بیابید.

y=x2y=x22

فرض کنیم α,α2 نقطه ای روی منحنی y=x2 باشد، مماس در این نقطه به معادله زیر می‌باشد:

yα2=2αxα


معادله تقاطع خط مماس فوق و منحنی y=x22 بایستی ریشه مضاعف داشته باشد:

y=2αxα+α2y=x22x22=2αxα+α2x22=2αxα2x2+2αx+2α2=0


Δ=02α2412α2=04α28+4α2=0α=±1


ضریب زاویه خط مماس بر منحنی y=x2 در نقاط زیر را به‌دست می‌آوریم: 

α=±1α,α2=1,1α,α2=-1,1


y=x2y'=2xm1=21m1=2m2=21m2=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید