سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

قضیه مقدار میانگین (برای مشتقات)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

قضیه مقدار میانگین برای مشتقات

مقدمه: یکی از موارد استفاده قضیه رل، اثبات قضیه مقدار میانگین است. 

برای توجیه هندسی قضیه مقدار میانگین، دو شکل زیر را در نظر می‌گیریم:

قضیه مقدار میانگین - پیمان گردلو

هر یک از نمودارهای فوق، منحنی پیوسته‌ای را در فاصله a,b نشان می‌دهد که روی هر نقطه در بازه a,b دارای خط مماس می‌باشند.

در شکل سمت راست، یک خط مماس در نقطه c,fc به موازات پاره خط AB وجود دارد.

در شکل سمت چپ، در دو نقطه c1,fc1 و c2,fc2 دو مماس به موازات پاره خط AB وجود دارد. 

قضیه مقدار میانگین با شرایطی وجود حداقل یک نقطه با این خاصیت را تضمین می‌نماید.

می‌دانیم برای آنکه دو خط موازی باشند باید ضریب زاویه های آنها مساوی باشند:

mD را ضریب زاویه خط مماس بر c,fc فرض می‌کنیم و mAB را ضریب زاویه خط AB در نظر می‌گیریم:

mD=f'c     mAB=fbfabaif   DABmD=mABf'c=fbfaba

قضیه

فرض کنیم تابع y=fx در فاصله a,b پیوسته و در فاصله a,b مشتق پذیر باشد. در این صورت حداقل نقطه ای مانند c وجود دارد به‌طوری‌که:

ca,b     ;     fbfa=f'cba

اثبات

برای اثبات این قضیه، تابع g را با ضابطه زیر، تعریف می‌کنیم: 

gx=fxfa+fbfabaxa

این تابع در فاصله a,b پیوسته. 

این تابع در فاصله a,b مشتق پذیر می‌باشد، زیرا fx و x-a در a,b مشتق پذیر است. 

در این تابع ga=gb=0

بنا به قضیه رل در مورد تابع g عددی مانند c بین a و b وجود دارد به‌طوری‌که g'c=0 باشد: 


gx=fxfa+fbfabaxag'x=f'xfbfaba   ;   g'c=00=f'cfbfabaf'c=fbfabafbfa=f'cba

تذکر

قضیه مقدار میانگین را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

fb=f'cba+fa

اگر x هر نقطه دلخواهی از بازه a,b باشد و بازه a,x را در نظر بگیریم، می‌توان قضیه مقدار میانگین را برای نقطه c در a,x به صورت زیر نوشت:  

fx=f'cxa+fa

دریافت مثال

نکته

باید توجه داشت که قضیه مقدار میانگین ممکن است در حالتی که مشتق در نقطه ای بین a و b وجود نداشته باشد، برقرار نباشد.

تمرین

قضیه مقدار میانگین را برای تابع زیر در فاصله -1,1 بررسی کنید:

fx=1+x23

قضیه مقدار میانگین - پیمان گردلو


تابع در این فاصله پیوسته است:

fbfa=f'cbaf1f1=f'c1+122=f'c20=f'c2f'c=20


f'c به ازای هیچ مقدار c بین -1,1 برقرار نیست، لذا قضیه مقدار میانگین برقرار نمی‌باشد.   

 قضیه مقدار میانگین کوشی

می‌توان قضیه میانگین را تعمیم داده و قضیه زیر را که به نام قضیه مقدار میانگین کوشی می‌باشد را بدست آورد.

قضیه

فرض کنیم f و g دو تابع باشند که در بازه a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر باشند، در این صورت به ازای عددی مانند c از a,b داریم: 

f'cgbga=g'cfbfa

اثبات

تابع h را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

hx=fxgbgagxfbfa

چون f و g در بازه a,b پیوسته است پس تابع h هم در این بازه پیوسته است:

ha=fagbgagafbfaha=fagbfagagafb+gafaha=fagbgafbhb=fbgbgagbfbfahb=fbgbfbgagbfb+gbfahb=fagbgafbha=fagbgafbhb=fagbgafbha=hb


f و g در بازه a,b مشتق پذیرند پس تابع h هم در این بازه مشتق پذیر است و بنا به قضیه رل عددی مانند c از a,b وجود دارد به قسمی که h'c=0 در نتیجه:

h'x=f'xgbgag'xfbfa    ;    x=ch'c=f'cgbgag'cfbfa     ;    h'c=00=f'cgbgag'cfbfaf'cgbga=g'cfbfafbfagbga=f'cg'cf'cgbga=g'cfbfa


یکی از موارد استفاده از این قضیه، اثبات قانون هوپیتال می‌باشد.

تمرین

توابع زیر مفروضند، مقدار c مربوط به قضیه کوشی را در فاصله 0,π2 پیدا کنید. 

fx=sinxgx=cosx

f'x=cosxg'x=sinxfbfagbga=f'cg'cfπ2f0gπ2g0=coscsinc1001=coscsinc1=cotccotc=1c=kπ+π4    ;    k=0c=π4

کاربردهای قضیه مقدار میانگین

1- بررسی اکیدا یکنوایی توابع

قضیه

فرض کنیم f تابعی باشد که در فاصله a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر باشد، در این صورت: 

الف) اگر به ازای هر x در a,b داشته باشیم f'x>0 آنگاه f در a,b اکیدا صعودی است.

ب) اگر به ازای هر x در a,b داشته باشیم f'x<0 آنگاه f در a,b اکیدا نزولی است.

ج) اگر به ازای هر x در a,b داشته باشیم f'x=0 آنگاه f در a,b ثابت است.

اثبات

الف) فرض کنیم f'x>0 باشد، ثابت می‌کنیم تابع در فاصله a,b اکیدا صعودی است، یعنی:  

x1,x2D    ;    x2>x1fx2>fx1


قضیه مقدار میانگین را در زیر بازه x1,x2 بکار می‌بریم:

fx2fx1=f'cx2x1f'c>0x2>x1x2x1>0fx2fx1>0fx2>fx1

اثبات قسمت (ب) هم به همین صورت است.

ج) 

fx2fx1=f'cx2x1    ;    if  x1=afx2fa=f'cx2a    ;    iff'c=0fx2fa=0fx2=fa


f در a,b ثابت است.

2- اثبات بعضی از نامساوی‌ها

در اثبات بعضی از نامساوی‌ها می‌توان از قضیه مقدار میانگین استفاده کرد، البته در اثبات برخی از روابط  یا فرمول‌ها هم مورد استفاده قرار می‌گیرد.

دریافت مثال

تذکر

فرض کنیم f و g دو تابع باشند که در بازه a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر باشند، اگر به ازای هر a<x<b داشته باشیم:  

f'x=g'x

آنگاه عدد حقیقی c وجود دارد به‌طوری‌که:

fxgx=c ; axb

یعنی اگر مشتق دو تابع برابر باشند، تفاضل آنها مقدار ثابتی است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضیه مقدار میانگین (برای مشتقات)

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید