سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

قضیه مقدار میانگین (برای مشتقات)

آخرین ویرایش: 03 اسفند 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه مقدار میانگین برای مشتقات

یکی از موارد استفاده قضیه رل، اثبات قضیه مقدار میانگین است.

برای توجیه هندسی قضیه مقدار میانگین، دو شکل زیر را در نظر می‌گیریم:

قضیه مقدار میانگین - پیمان گردلو

هر یک از نمودارهای فوق، منحنی پیوسته‌ای را در فاصله $[a, b]$ نشان می‌دهد که روی هر نقطه در بازه $(a, b)$ دارای خط مماس می‌باشند.

در شکل سمت راست، یک خط مماس در نقطه $(c, f (c))$ به موازات پاره خط $A B$ وجود دارد.

در شکل سمت چپ، در دو نقطه $(c_{1}, f (c_{1}))$ و $(c_{2}, f (c_{2}))$ دو مماس به موازات پاره خط $A B$ وجود دارد.

قضیه مقدار میانگین با شرایطی وجود حداقل یک نقطه با این خاصیت را تضمین می‌نماید.

می‌دانیم برای آنکه دو خط موازی باشند باید ضریب زاویه های آنها مساوی باشند:

$m_{D}$ را ضریب زاویه خط مماس بر $(c, f (c))$ فرض می‌کنیم و $m_{A B}$ را ضریب زاویه خط $A B$ در نظر می‌گیریم:

$\{\begin{cases} m_{D} = f^{'} (c) \\ m_{A B} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} \end{cases}$

$i f D ∥ A B \Rightarrow m_{D} = m_{A B} \Rightarrow f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

تمرین

مقدار $c$ را در تابع زیر به‌دست آورید.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x; [- 1, 2]$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x - 1$

$\begin{aligned} f^{'} (c) & = \frac{f (2) - f (- 1)}{2 - (- 1)} \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 3 c^{2} + 4 c - 1 & = \frac{14 - 2}{3} \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 3 c^{2} + 4 c - 1 & = 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 c^{2} + 4 c - 5 & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow c = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (3) (- 5)}}{6} = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{6}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} c = \frac{- 4 + \sqrt{76}}{6} = 0.7863 \\ c = \frac{- 4 - \sqrt{76}}{6} = - 2.1196 \end{cases}$

جواب نهایی به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$c = 0.7863$

توجه کنید که $c = - 2.1196$ در بازه مورد نظر نیست.

قضیه

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در فاصله $[a, b]$ پیوسته و در فاصله $(a, b)$ مشتق پذیر باشد. در این صورت حداقل نقطه ای مانند $c$ وجود دارد به‌طوری‌که:

$\exists c \in (a, b); f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$

اثبات

برای اثبات این قضیه، تابع $g$ را با ضابطه زیر، تعریف می‌کنیم:

$g (x) = f (x) - [f (a) + \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a)]$

این تابع در فاصله $[a, b]$ پیوسته.

این تابع در فاصله $(a, b)$ مشتق پذیر می‌باشد، زیرا $f (x)$ و $(x - a)$ در $(a, b)$ مشتق پذیر است.

در این تابع $g (a) = g (b) = 0$

بنا به قضیه رل در مورد تابع $g$ عددی مانند $c$ بین $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که $g^{'} (c) = 0$ باشد:

$\begin{array}{l} g (x) = f (x) - [f (a) + \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a}; g^{'} (c) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = f^{'} (c) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a} \\ \Rightarrow f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} \\ \Rightarrow f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) \end{array}$

تمرین

فرض کنیم تابع $f (x)$ و در بازه $[6, 15]$ مشتق پذیر باشد.

اگر $f (6) = - 2$ و $f^{'} (x) \leq 10$ باشد، بزرگ‌ترین مقدار ممکن برای $f (15)$ چقدر است؟

$f (15) - f (6) = f^{'} (c) (15 - 6)$

$\Rightarrow f (15) = f (6) + f^{'} (c) (15 - 6)$

$\Rightarrow f (15) = - 2 + 9 f^{'} (c)$

می‌دانیم که $f^{'} (x) \leq 10$ و هم‌چنین به‌طور خاص $f^{'} (c) \leq 10$ می‌باشد:

$\begin{aligned} f (15) & = - 2 + 9 f^{'} (c) \end{aligned}$

$\Rightarrow f (15) \leq - 2 + (9) 10$

$\Rightarrow f (15) = 88$

تذکر

قضیه مقدار میانگین را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$f (b) = f^{'} (c) (b - a) + f (a)$

اگر $x$ هر نقطه دلخواهی از بازه $[a, b]$ باشد و بازه $[a, x]$ را در نظر بگیریم، می‌توان قضیه مقدار میانگین را برای نقطه $c$ در $[a, x]$ به صورت زیر نوشت:

$f (x) = f^{'} (c) (x - a) + f (a)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

باید توجه داشت که قضیه مقدار میانگین ممکن است در حالتی که مشتق در نقطه ای بین $a$ و $b$ وجود نداشته باشد، برقرار نباشد.

تمرین

قضیه مقدار میانگین را برای تابع زیر در فاصله $[- 1, 1]$ بررسی کنید:

$f (x) = 1 + \sqrt[3]{x^{2}}$

قضیه مقدار میانگین - پیمان گردلو

تابع در این فاصله پیوسته است:

$\begin{array}{l} f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) \\ \Rightarrow f (1) - f (- 1) = f^{'} (c) (1 + 1) \\ \Rightarrow 2 - 2 = f^{'} (c) (2) \\ \Rightarrow 0 = f^{'} (c) (2) \\ \Rightarrow f^{'} (c) = \frac{2}{0} \end{array}$

$f^{'} (c)$ به ازای هیچ مقدار $c$ بین $(- 1, 1)$ برقرار نیست، لذا قضیه مقدار میانگین برقرار نمی‌باشد.

قضیه مقدار میانگین کوشی

می‌توان قضیه میانگین را تعمیم داده و قضیه زیر را که به نام قضیه مقدار میانگین کوشی می‌باشد را بدست آورد.

قضیه

فرض کنیم $f$ و $g$ دو تابع باشند که در بازه $[a, b]$ پیوسته و در بازه $(a, b)$ مشتق پذیر باشند، در این صورت به ازای عددی مانند $c$ از $(a, b)$ داریم:

$f^{'} (c) [g (b) - g (a)] = g^{'} (c) [f (b) - f (a)]$

اثبات

تابع $h$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$h (x) = f (x) [g (b) - g (a)] - g (x) [f (b) - f (a)]$

چون $f$ و $g$ در بازه $[a, b]$ پیوسته است پس تابع $h$ هم در این بازه پیوسته است:

$\begin{array}{l} h (a) = f (a) [g (b) - g (a)] - g (a) [f (b) - f (a)] \end{array}$

$\begin{array}{l} h (a) = f (a) \cdot g (b) - f (a) \cdot g (a) - g (a) \cdot f (b) + g (a) \cdot f (a) \end{array}$

$h (a) = f (a) \cdot g (b) - g (a) f (b)$

$\begin{array}{l} h (b) = f (b) [g (b) - g (a)] - g (b) [f (b) - f (a)] \end{array}$

$\begin{array}{l} h (b) = f (b) g (b) - f (b) g (a) - g (b) \cdot f (b) + g (b) \cdot f (a) \end{array}$

$h (b) = f (a) \cdot g (b) - g (a) f (b)$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} h (a) = f (a) \cdot g (b) - g (a) f (b) \\ h (b) = f (a) \cdot g (b) - g (a) f (b) \end{cases}〉 h (a) = h (b) \end{array}$

$f$ و $g$ در بازه $(a, b)$ مشتق پذیرند پس تابع $h$ هم در این بازه مشتق پذیر است و بنا به قضیه رل عددی مانند $c$ از $(a, b)$ وجود دارد به قسمی که $h^{'} (c) = 0$ در نتیجه:

$\begin{array}{l} h^{'} (x) = f^{'} (x) [g (b) - g (a)] - g^{'} (x) [f (b) - f (a)]; x = c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow h^{'} (c) = f^{'} (c) [g (b) - g (a)] - g^{'} (c) [f (b) - f (a)]; h^{'} (c) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = f^{'} (c) [g (b) - g (a)] - g^{'} (c) [f (b) - f (a)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (c) [g (b) - g (a)] = g^{'} (c) [f (b) - f (a)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} \end{array}$

$\Rightarrow f^{'} (c) [g (b) - g (a)] = g^{'} (c) [f (b) - f (a)]$

یکی از موارد استفاده از این قضیه، اثبات قانون هوپیتال می‌باشد.

تمرین

توابع زیر مفروضند، مقدار $c$ مربوط به قضیه کوشی را در فاصله $[0, \frac{π}{2}]$ پیدا کنید.

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x \\ g (x) = \cos x \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f^{'} (x) = \cos x \\ g^{'} (x) = - \sin x \end{cases} \\ \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} \\ \Rightarrow \frac{f (\frac{π}{2}) - f (0)}{g (\frac{π}{2}) - g (0)} = \frac{\cos c}{- \sin c} \\ \Rightarrow \frac{1 - 0}{0 - 1} = \frac{\cos c}{- \sin c} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 1 = - \cot c \\ \Rightarrow \cot c = 1 \\ \Rightarrow c = k π + \frac{π}{4}; k = 0 \\ \Rightarrow c = \frac{π}{4} \end{array}$

کاربردهای قضیه مقدار میانگین

بررسی اکیدا یکنوایی توابع

قضیه

فرض کنیم $f$ تابعی باشد که در فاصله $[a, b]$ پیوسته و در بازه $(a, b)$ مشتق پذیر باشد، در این صورت:

الف) اگر به ازای هر $x$ در $(a, b)$ داشته باشیم $f^{'} (x) > 0$ آنگاه $f$ در $[a, b]$ اکیدا صعودی است.

ب) اگر به ازای هر $x$ در $(a, b)$ داشته باشیم $f^{'} (x) < 0$ آنگاه $f$ در $[a, b]$ اکیدا نزولی است.

ج) اگر به ازای هر $x$ در $(a, b)$ داشته باشیم $f^{'} (x) = 0$ آنگاه $f$ در $[a, b]$ ثابت است.

اثبات

الف) فرض کنیم $f^{'} (x) > 0$ باشد، ثابت می‌کنیم تابع در فاصله $[a, b]$ اکیدا صعودی است، یعنی:

$\forall x_{1}, x_{2} \in D; x_{2} > x_{1} \Rightarrow f (x_{2}) > f (x_{1})$

قضیه مقدار میانگین را در زیر بازه $[x_{1}, x_{2}]$ بکار می‌بریم:

$\begin{array}{l} f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (c) (x_{2} - x_{1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f^{'} (c) > 0 \\ x_{2} > x_{1} \Rightarrow x_{2} - x_{1} > 0 \end{cases}〉 f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0 \Rightarrow f (x_{2}) > f (x_{1}) \end{array}$

اثبات قسمت (ب) هم به همین صورت است.

ج)

$\begin{array}{l} f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (c) (x_{2} - x_{1}); i f x_{1} = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x_{2}) - f (a) = f^{'} (c) (x_{2} - a); i f f^{'} (c) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x_{2}) - f (a) = 0 \\ \Rightarrow f (x_{2}) = f (a) \end{array}$

$f$ در $[a, b]$ ثابت است.

اثبات بعضی از نامساوی‌ ها

در اثبات بعضی از نامساوی‌ها می‌توان از قضیه مقدار میانگین استفاده کرد، البته در اثبات برخی از روابط یا فرمول‌ها هم مورد استفاده قرار می‌گیرد.

تمرین

نامساوی زیر را ثابت كنيد.

$\begin{array}{l} |\sin a - \sin b| \leq |a - b| \end{array}$

تابع زیر در بازه داده شده پیوسته است:

$f (x) = \sin x; x \in [a, b]$

تابع فوق در بازه $(a, b)$ مشتق پذير است، بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} \exists c \in (a, b); f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \sin b - \sin a = \cos c (b - a) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\sin b - \sin a| = |\cos c| |b - a| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\sin a - \sin b| = |\cos c| |a - b|; |\cos c| \leq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\sin a - \sin b| \leq |a - b| \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

فرض کنیم $f$ و $g$ دو تابع باشند که در بازه $[a, b]$ پیوسته و در بازه $(a, b)$ مشتق پذیر باشند، اگر به ازای هر $a < x < b$ داشته باشیم:

$f^{'} (x) = g^{'} (x)$

آنگاه عدد حقیقی $c$ وجود دارد به‌طوری‌که:

$f (x) - g (x) = c; a \leq x \leq b$

یعنی اگر مشتق دو تابع برابر باشند، تفاضل آنها مقدار ثابتی است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تقریب های خطی

در این قسمت قصد داریم نگاهی به خط مماس بر یک تابع بیاندازیم.

البته برای به‌دست آوردن خط مماس، باید مشتقات را در نظر بگیریم، بنابراین در این روش به نوعی، از مشتقات نیز استفاده می‌شود.

با توجه به تابع $f (x)$ ، می‌توانیم شیب خط را در نقطه $x = a$ به‌دست آوریم.

معادله خط مماس، که ما آن را $L (x)$ می‌نامیم، از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

$L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

به نمودار زیر با یک تابع و خط مماس آن توجه کنید:

مشتق - پیمان گردلو

خط مماس و تابع در نقطه $x = a$ تقریبا یک عملکرد را دارند. گاهی اوقات ما از خط مماس $L (x)$ استفاده می‌کنیم به‌عنوان تقریبی از تابع $f (x)$ در نزدیکی نقطه $x = a$ .

در این موارد خط مماس را تقریب خطی از تابع مورد نظر می‌نامیم.

به‌عنوان نمونه در نقطه $x = 0$ داریم:

$\sin x \approx x$

مشتق - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \begin{aligned} f (x) & = \sin x \Rightarrow \begin{aligned} f^{'} (x) & = \cos x \end{aligned} \end{aligned} \\ \begin{aligned} f (0) & = 0 \Rightarrow \begin{aligned} f^{'} (0) & = 1 \end{aligned} \end{aligned} \end{cases}$

$\begin{aligned} L (x) & = f (0) + f^{'} (0) (x - a) = 0 + (1) (x - 0) = x \end{aligned}$

تمرین

یک تقریب خطی برای توابع زیر در نقاط داده شده به‌دست آورید.

$f (x) = 3 x e^{2 x - 10}; x = 5$

$\{\begin{cases} f (x) = 3 x e^{2 x - 10} \Rightarrow f (5) = 15 \\ f^{'} (x) = 3 e^{2 x - 10} + 6 x e^{2 x - 10} \Rightarrow f^{'} (5) = 33 \end{cases}$

$L (x) = 15 + 33 (x - 5) \Rightarrow L (x) = 33 x - 150$

مشتق - پیمان گردلو

$h (t) = t^{4} - 6 t^{3} + 3 t - 7; t = - 3$

$\{\begin{cases} h (t) = t^{4} - 6 t^{3} + 3 t - 7 \Rightarrow h (- 3) = 227 \\ h^{'} (t) = 4 t^{3} - 18 t^{2} + 3 \Rightarrow h^{'} (- 3) = - 267 \end{cases}$

$L (t) = 227 - 267 (t + 3) \Rightarrow L (t) = - 267 t - 574$

مشتق - پیمان گردلو

خرید پاسخ‌ها

قضیه مقدار میانگین (برای مشتقات)

14,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

قضیه مقدار میانگین (برای مشتقات)

قضیه مقدار میانگین برای مشتقات

قضیه مقدار میانگین کوشی

کاربردهای قضیه مقدار میانگین

بررسی اکیدا یکنوایی توابع

اثبات بعضی از نامساوی‌ ها

تقریب های خطی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع