زاویه بین دو منحنی

آخرین ویرایش: 03 اسفند 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

زاویه بین منحنی $C_{1}$ با ضریب زاویه $m_{1}$ و منحنی $C_{2}$ با ضریب زاویه $m_{2}$ در نقطه تقاطع شان، عبارت است از زاویه بین مماس های بر دو منحنی در آن نقطه.

زاویه بین دو منحنی - پیمان گردلو

برای تعیین زاویه بین دو منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

1- دو منحنی را باهم قطع می‌دهیم و مختصات نقطه تقاطع را به‌دست می‌آوریم.

2- از مشتقات معادله دو منحنی به ازای مختصات نقطه تقاطع، ضریب زاویه های مماس بر دو منحنی را در نقطه تقاطع به‌دست می‌آوریم.

3- از فرمول $\tan α = |\frac{m - m^{'}}{1 + m m^{'}}|$ زاویه بین دو منحنی را به‌دست می‌آوریم.

نکته

هرگاه زاویه بین دو منحنی یا یک خط و یک منحنی صفر شود، دو منحنی یا خط با منحنی با یک‌دیگر مماسند.

هرگاه زاویه بین دو منحنی یا یک خط و یک منحنی $\frac{π}{2}$ شود، دو منحنی یا خط و منحنی بر یک‌دیگر عمودند.

تمرین

زاويه بين دو منحنی زیر را به‌دست آوريد.

$\{\begin{cases} y = x^{3} + 1 \\ y = x^{3} + 3 x - 2 \end{cases}$

$(1$ دو منحنی را باهم قطع می‌دهیم و مختصات نقطه تقاطع را بدست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} x^{3} + 1 = x^{3} + 3 x - 2 \\ \Rightarrow 3 x - 3 = 0 \\ \Rightarrow x = 1 \\ \Rightarrow y = 2 \end{array}$

$(2$ از مشتقات معادله دو منحنی به ازای مختصات نقطه تقاطع، ضریب زاویه های مماس بر دو منحنی را در نقطه تقاطع به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} C : y = x^{3} + 1 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} \overset{x = 1}{\to} m_{1} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} C^{'} : y = x^{3} + 3 x - 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} + 3 \overset{x = 1}{\to} m_{2} = 6 \end{array}$

$(3$ از فرمول $\tan α = |\frac{m - m^{'}}{1 + m m^{'}}|$ زاویه بین دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} \tan α = |\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}| \\ \Rightarrow \tan α = |\frac{3 - 6}{1 + 18}| \\ \Rightarrow \tan α = |\frac{- 3}{19}| \\ \Rightarrow \tan α = \frac{3}{19} \\ \Rightarrow α = A r c \tan \frac{3}{19} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

زاویه بین دو منحنی

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

زاویه بین دو منحنی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟