آهنگ تغییرات تابع (آهنگ‌های وابسته)

آخرین ویرایش: 03 مرداد 1403

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

مفهوم آهنگ‌های وابسته را با حل یک تمرین آغاز می‌کنیم:

تمرین

فرض کنیم طول وعرض مستطیلی به ترتیب $x$ و $y$ باشند، لذا مساحت آن $S = x . y$ است و فرض کنیم $x$ و $y$ توابعی از $t$ هستند.

می‌خواهیم رابطه‌ای پیدا کنیم که آهنگ تغییر مساحت را بر حسب آهنگ تغییر $x$ و آهنگ تغییر $y$ بیان کند.

اگر طول ثابت باشد، اما عرض بر حسب $t$ تغییرکند، آنگاه آهنگ تغییرات مساحت نسبت به زمان برابر است با:

$\frac{d S}{d t} = x \times \frac{d y}{d t}$

اگر طول و عرض هر دو برحسب $t$ تغییر کند، آنگاه آهنگ تغییرات مساحت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

فرض کنیم در زمان معین $t_{0}$ طول و عرض $x_{0}$ و $y_{0}$ باشند و $t_{0}$ به $t_{0} + ∆ t$ تغییر یابد که $∆ t$ ناصفر باشد.

در این صورت اگر $∆ x$ و $∆ y$ تغییرات متناظر با طول و عرض باشند، آنگاه در زمان $t_{0} + ∆ t$ طول برابر $x_{0} + ∆ x$ و عرض برابر $y_{0} + ∆ y$ است.

فرض کنیم $∆ S$ تغییرات مساحت از $t = t_{0}$ به $t = t_{0} + ∆ t$ باشد، در حالتی که $∆ x$ و $∆ y$ مثبت باشند، مطابق شکل مساحت سه مستطیل به مساحت مستطیل اصلی افزوده می‌شود، یعنی:

$Δ S = x_{0} Δ y + y_{0} Δ x + Δ x Δ y$

برای یافتن آهنگ تغییر مساحت، طرفین رابطه فوق را بر $∆ t$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} Δ S = x_{0} Δ y + y_{0} Δ x + Δ x Δ y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{Δ S}{Δ t} = \frac{x_{0} Δ y}{Δ t} + \frac{y_{0} Δ x}{Δ t} + \frac{Δ x Δ y}{Δ t} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ S}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} [\frac{x_{0} Δ y}{Δ t} + \frac{y_{0} Δ x}{Δ t} + \frac{Δ x Δ y}{Δ t}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ S}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{x_{0} Δ y}{Δ t} + \lim_{Δ t \to 0} \frac{y_{0} Δ x}{Δ t} + \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x Δ y}{Δ t} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ S}{Δ t} = x_{0} \times \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ y}{Δ t} + y_{0} \times \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x}{Δ t} + \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x Δ y}{Δ t} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{d S}{d t} (t_{0}) = x_{0} \times \frac{d y}{d t} (t_{0}) + y_{0} \times \frac{d x}{d t} (t_{0}) + 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{d S}{d t} (t_{0}) = x (t_{0}) \frac{d y}{d t} (t_{0}) + y (t_{0}) \frac{d x}{d t} (t_{0}) \end{array}$

تعریف

برای حل مسائل مربوط به آهنگ‌های وابسته،‌ چون متغیرها معمولا به $t$ وابسته‌اند پس ابتدا $t$ و سپس متغیرهای دیگر را تعریف می‌کنیم.

اگر لازم شد در صورت امکان نموداری از مساله رسم کنیم و سپس مقادیر عددی معلوم و مشتقات متغیرها را نسبت به $t$ یادداشت می‌کنیم.

رابطه‌ای یا معادله‌ای را که بین متغیرها برقرار است تشکیل می‌دهیم و از طرفین آن نسبت به $t$ مشتق می‌گیریم و مقادیر معلوم را در معادله بین مقادیر و مشتقات آنها قرار داده، مقادیر مجهول مشخص می‌شوند.

تمرین

آهنگ تغییرات محیط یک مربع را نسبت به مساحت آن برای مربعی که مساحتش $4$ واحد مربع است به دست می‌آوریم:

محیط مربع را به ‌صورت تابعی از مساحت آن می‌نویسیم:

$\{\begin{array}{l} S = a^{2} \Rightarrow a = \sqrt{S} \\ P = 4 a \end{array}〉 P = 4 \sqrt{S}$

برای یافتن آهنگ تغییرات محیط یک مربع نسبت به مساحت، کافی است مشتق آن را حساب کنیم:

$\begin{array}{l} P (S) = 4 \sqrt{S} \\ \Rightarrow P^{'} (S) = 4 . \frac{{(S)}^{'}}{2 \sqrt{S}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P^{'} (S) = 4 . \frac{1}{2 \sqrt{S}} \\ \Rightarrow P (S) = \frac{2}{\sqrt{S}}; S = 4 \\ \Rightarrow P^{'} (4) = \frac{2}{\sqrt{4}} \\ \Rightarrow P^{'} (4) = 1 \end{array}$