سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

آهنگ تغییرات تابع (آهنگ‌های وابسته)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

مفهوم آهنگ‌های وابسته را با حل یک تمرین آغاز می‌کنیم:

تمرین

فرض کنیم طول وعرض مستطیلی به ترتیب x و y باشند، لذا مساحت آن S=x.y است و فرض کنیم  x و y توابعی از t هستند.

 

می‌خواهیم رابطه‌ای پیدا کنیم که آهنگ تغییر مساحت را بر حسب آهنگ تغییر x و آهنگ تغییر y بیان کند. 

اگر طول ثابت باشد، اما عرض بر حسب t تغییرکند، آنگاه آهنگ تغییرات مساحت نسبت به زمان برابر است با:

dSdt=x×dydt

اگر طول و عرض هر دو برحسب t تغییر کند، آنگاه آهنگ تغییرات مساحت به صورت زیر محاسبه می‌شود:



فرض کنیم در زمان معین t0 طول و عرض x0 و y0 باشند و t0 به t0+t تغییر یابد که t ناصفر باشد،‌ در این صورت اگر x و y تغییرات متناظر با طول و عرض باشند، آنگاه در زمان t0+t طول برابرx0+x و عرض برابر y0+y است.


فرض کنیم S تغییرات مساحت از t=t0 به t=t0+t باشد، در حالتی که  x و y مثبت باشند، مطابق شکل مساحت سه مستطیل به مساحت مستطیل اصلی افزوده می‌شود، یعنی:

ΔS=x0Δy+y0Δx+ΔxΔy


برای یافتن آهنگ تغییر مساحت، طرفین رابطه فوق را بر t تقسیم می‌کنیم:

ΔS=x0Δy+y0Δx+ΔxΔyΔSΔt=x0ΔyΔt+y0ΔxΔt+ΔxΔyΔtlimΔt0ΔSΔt=limΔt0x0ΔyΔt+y0ΔxΔt+ΔxΔyΔtlimΔt0ΔSΔt=limΔt0x0ΔyΔt+limΔt0y0ΔxΔt+limΔt0ΔxΔyΔtlimΔt0ΔSΔt=x0×limΔt0ΔyΔt+y0×limΔt0ΔxΔt+limΔt0ΔxΔyΔtdSdtt0=x0×dydtt0+y0×dxdtt0+0dSdtt0=xt0dydtt0+yt0dxdtt0

 

تعریف: برای حل مسائل مربوط به آهنگ‌های وابسته،‌ چون متغیرها معمولا به t وابسته‌اند پس ابتدا t و سپس متغیرهای دیگر را تعریف می‌کنیم.

اگر لازم شد در صورت امکان نموداری از مساله رسم کنیم و سپس مقادیر عددی معلوم و مشتقات متغیرها را نسبت به t یادداشت می‌کنیم.

رابطه‌ای یا معادله‌ای را که بین متغیرها برقرار است تشکیل می‌دهیم و از طرفین آن نسبت به t مشتق می‌گیریم و مقادیر معلوم را در معادله بین مقادیر و مشتقات آنها قرار داده، مقادیر مجهول مشخص می‌شوند. 

تمرین

آهنگ تغییرات محیط یک مربع را نسبت به مساحت آن برای مربعی که مساحتش 4 واحد مربع است به دست می‌آوریم:

محیط مربع را به ‌صورت تابعی از مساحت آن می‌نویسیم:

S=a2a=SP=4aP=4S


برای یافتن آهنگ تغییرات محیط یک مربع نسبت به مساحت، کافی است مشتق آن را حساب کنیم:

PS=4SP'S=4.S'2SP'S=4.12SPS=2S    ;    S=4P'4=24P'4=1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

آهنگ تغییرات تابع (آهنگ‌های وابسته)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید