تشكیل معادله درجه دوم با دو ریشه معلوم

آخرین ویرایش: 20 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

معادله درجه دومی که $x_{1}$ و $x_{2}$ ریشه های آن باشد با توجه به $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1} x_{2} \end{cases}$ از فرمول زیر به‌دست می‌آید.

$x^{2} - S x + P = 0$

اثبات

طرفین معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \\ \Rightarrow \frac{a x^{2}}{a} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a} \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - (- \frac{b}{a}) x + \frac{c}{a} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - S x + P = 0 \end{array}$

تمرین

معادله درجه دومی تشكيل دهيد كه ريشه هايش به‌صورت زير تعريف شده باشند.

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{1}{5}, x_{2} = \frac{4}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} S = x^{'} + x^{''} = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} P = x^{'} . x^{''} = \frac{4}{5} . \frac{1}{5} = \frac{4}{25} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - S x + P = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - (1) x + (\frac{4}{25}) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - x + \frac{4}{25} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{'} = 1 + \sqrt{3}, x^{''} = 1 - \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} S = x^{'} + x^{''} = (1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} P = x^{'} . x^{''} = (1 + \sqrt{3}) . (1 - \sqrt{3}) = {(1)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 - 3 = - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - S x + P = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - (2) x + (- 2) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 2 x - 2 = 0 \end{array}$

$x_{1} = m - \sqrt{m^{2} + 3}, x_{2} = m + \sqrt{m^{2} + 3}$

$\begin{array}{l} S = x_{1} + x_{2} = (m - \sqrt{m^{2} + 3}) + (m + \sqrt{m^{2} + 3}) = 2 m \end{array}$

$\begin{array}{l} P = x_{1} . x_{2} = (m - \sqrt{m^{2} + 3}) (m + \sqrt{m^{2} + 3}) = (m^{2} - (m^{2} + 3)) = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - S x + P = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - (2 m) x + (- 3) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 2 m x - 3 = 0 \end{array}$

تمرین

معادله درجه دومی تشكيل دهيد كه بين ريشه های آن روابط زیر برقرار باشد.

$\{\begin{cases} (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 4 \\ \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 4 \Rightarrow 1 + (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2} = 4 \Rightarrow S + P = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 2 \Rightarrow \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} x_{2}} = 2 \Rightarrow \frac{S}{P} = 2 \Rightarrow S = 2 P \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S + P = 3 \\ S = 2 P \end{cases}〉 (2 P) + P = 3 \Rightarrow 3 P = 3 \Rightarrow P = 1 \Rightarrow S = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - S x + P = 0 \overset{P = 1, S = 2}{\to} x^{2} - 2 x + 1 = 0 \end{array}$

تمرین

محیط یک مستطیل $33$ سانتی‌متر و مساحت آن $65$ سانتی‌متر مربع است. ابعاد مستطیل را به‌دست می‌آوریم:

فرض می‌کنیم طول وعرض مستطیل به‌ترتیب $x_{1}$ و $x_{2}$ باشند، داریم:

محیط مستطیل:

$2 (x_{1} + x_{2}) = 33 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{33}{2}$

$\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{33}{2} \\ P = x_{1} x_{2} = 65 \end{cases}$

معادله درجه دومی تشکیل می‌دهیم که در آن داشته باشیم:

$\{\begin{cases} S = \frac{33}{2} \\ P = 65 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - S x + P = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{33}{2} x + 65 = 0 \\ \Rightarrow 2 x^{2} - 33 x + 130 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 10 \\ x_{2} = \frac{13}{2} \end{cases} \end{array}$