سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش روش آزمون و خطا

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ساده‌ترین روش برای حل معادلات درجه دوم، روش آزمون و خطا است که یک جواب تقریبی به‌دست می‌دهد و در مورد معادلات پیچیده‌تر نیز می‌توان آن را به کار برد.

یک معادله درجه دوم ممکن است دو جواب داشته باشد و با روش بالا فقط یکی از جواب‌ها به طور تقریبی محاسبه می‌شود.

برای به‌دست آوردن جواب دیگر، باید حدسی در مورد مقدار جواب آن داشته باشیم.

با تکرار روش بالا و مقدار دهی مناسب به متغیر، می‌توانیم به آن جواب برسیم.

تمرین

می‌خواهیم معادله زیر را حل کنیم:

$x^{2} - 12 x + 34 = 0$

جدول زیر را کامل کنید.

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(0)}^{2} - 12 (0) + 34 = 34 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(1)}^{2} - 12 (1) + 34 = 1 - 12 + 34 = 23 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(2)}^{2} - 12 (2) + 34 = 4 - 24 + 34 = 14 \end{array}$

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

آیا با اضافه شدن مقادیر $x$ مقادیری که برای $x^{2} - 12 x + 34$ یافته‌اید در حال نزدیک شدن به صفر است؟

$\begin{array}{l} x = 3 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(3)}^{2} - 12 (3) + 34 = 9 - 36 + 34 = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} x = 4 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(4)}^{2} - 12 (4) + 34 = 16 - 48 + 34 = 2 \end{array}$

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

همان‌طور که مشاهده می‌شود با افزایش مقادیر $x$ مقادیری که برای $x^{2} - 12 x + 34$ یافته‌ایم در حال نزدیک شدن به صفر است.

مقادیر $x$ در سطر اول را ادامه دهید تا جایی که مقادیر سطر دوم هم چنان به صفر نزدیک شوند و در جایی منفی شوند.

$x = 5 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(5)}^{2} - 12 (5) + 34 = 25 - 60 + 34 = - 1$

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

مقدار $x^{2} - 12 x + 34$ به‌ازای $x = 4$ مثبت و به‌ازای $x = 5$ منفی است.

ثابت می‌شود که در چنین حالتی یک جواب معادله بین $4$ و $5$ است. برای یافتن دقیق‌تر جواب، جدول زیر را کامل کنید.

$\begin{array}{l} x = 4 / 3 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(4 / 3)}^{2} - 12 (4 / 3) + 34 = 18 / 49 - 51 / 6 + 34 = 0 / 89 \end{array}$

$\begin{array}{l} x = 4 / 5 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(4 / 5)}^{2} - 12 (4 / 5) + 34 = 20 / 25 - 54 + 34 = 0 / 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} x = 4 / 8 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 34 = {(4 / 8)}^{2} - 12 (4 / 8) + 34 = 23 / 04 - 57 / 6 + 34 = - 0 / 56 \end{array}$

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

با استفاده از جدول، مقادیری برای $x$ بیابید که جواب معادله بین آنها باشد؟

با توجه به جدول زیر داریم:

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

جواب معادله با توجه به جدول فوق عددی بین $4 / 5$ و $4 / 8$ است.

یعنی اگر $x_{1}$ جواب جواب معادله فوق باشد، آن‌گاه:

$4 / 5 < x_{1} < 4 / 8$

زیرا در این بازه مقادیر عبارت $x^{2} - 12 x + 34$ تغییر علامت داده است.

روش بالا را تکرار کنید و در فواصل کوچک‌تر به دنبال جواب بگردید.

جواب در بازه‌ بین $4 / 5$ و $4 / 8$ است.

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

$x = 4 / 6 \Rightarrow x^{2} - 12 + 34 = {(4 / 6)}^{2} - 12 (4 / 6) + 34 = 21 / 16 - 55 / 12 + 34 ≃ 21 / 2 - 55 / 2 + 34 = 0$

یک جواب این معادله را با دقت یک رقم اعشار تعیین کنید.

معادله $x^{2} - 12 x + 34 = 0$ به‌ازای $x = 4 / 6$ عدد صفر می‌شود، بنابراین $x = 4 / 6$ یک جواب معادله است. (با دقت یک رقم اعشار)

تمرین

در یک مغازه شیرینی فروشی، با مقواهای مربعی به‌طول $50$ سانتی‌متر و بریدن گوشه‌های آن به‌صورت مربع و تا کردن کناره‌های آن، جعبه می‌سازند.

از گوشه‌های مربع بزرگ، چه مربع‌هایی را ببریم تا حجم جعبه ساخته شده، $7000$ سانتی‌متر مکعب شود.

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

طول ضلع مربع‌هایی که باید بریده شوند را $x$ بنامید و حجم جعبه ساخته شده را بر حسب $x$ بنویسید.

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

حجم جعبه ساخته ‌شده برابر است با حاصل ضرب طول، عرض و ارتفاع:

$V = (50 - 2 x) \times (50 - 2 x) \times x = {(50 - 2 x)}^{2} \times x$

معادله‌ای تشکیل دهید که با حل آن، جواب مساله به‌دست آید.

$\{\begin{array}{l} V = {(50 - 2 x)}^{2} \times x \\ V = 7000 c m^{3} \end{array}〉 {(50 - 2 x)}^{2} \times x = 7000$

این معادله، یک معادله درجه دوم نیست، ولی با روش آزمون و خطا، یک جواب تقریبی با دقت یک رقم اعشار برای آن پیدا کنید.

$V = {(50 - 2 x)}^{2} \times x$

$\begin{array}{l} i f x = 3 \Rightarrow V = {[50 - 2 (3)]}^{2} \times 3 = {(44)}^{2} \times 3 = 5808 c m^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 3 / 9 \Rightarrow V = {[50 - 2 (3 / 9)]}^{2} \times 3 / 9 = {(50 - 7 / 8)}^{2} \times 3 = {(42 / 2)}^{2} \times 3 / 9 = 6945 / 27 ≃ 6945 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 4 \Rightarrow V = {[50 - 2 (4)]}^{2} \times 4 = {(42)}^{2} \times 4 = 7056 \end{array}$

روش آزمون و خطا - پیمان گردلو

برای این‌که حجم مکعب $7000 c m^{3}$ شود باید مربع‌هایی به‌ضلع عددی بین $4$ و $3 / 9$ از مقوا جدا کنیم.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش روش آزمون و خطا

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟