سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

تشكیل معادله درجه دوم جدید از روی معادله مفروض

آخرین ویرایش: 10 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

می‌خواهیم معادله درجه دوم جدیدی را تشکیل دهیم که ریشه‌هایش ارتباط معینی با ریشه‌های معادله درجه دوم قدیم دارد.

از دو روش زیر می‌توان استفاده کرد:

استفاده از عبارات متقارن
برقراری رابطه بین ریشه‌های معادله مفروض و ریشه‌های معادله مطلوب

باید توجه داشت که در برخی از مسائل روش اول و در برخی دیگر روش دوم ساده تر است.

تمرین

معادله درجه دومی تشكيل دهيد كه ريشه هايش مكعب ريشه های معادله زیر باشد.

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

روش عبارت های متقارن:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{3} \\ y_{2} = x_{2}^{3} \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} + y_{2} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S = {(3)}^{3} - 3 (2) (3) = 27 - 18 = 9 \\ y_{1} y_{2} = x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} = {(x_{1} \cdot x_{2})}^{3} = P^{3} = {(2)}^{3} = 8 \end{cases} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = 9 \\ P = y_{1} y_{2} = 8 \end{cases}〉 y^{2} - S y + P = 0 \Rightarrow y^{2} - 9 y + 8 = 0 \end{matrix}$

اما می‌خواهيم به روش ديگر اين مسئله را حل كنيم:

$\begin{array}{l} x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Rightarrow (1) + (- 3) + (2) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} y_{1} = x_{1}^{3} \Rightarrow y_{1} = {(1)}^{3} = 1 \\ y_{2} = x_{2}^{3} \Rightarrow y_{2} = {(2)}^{3} = 8 \end{array}〉 \{\begin{cases} y_{1} + y_{2} = 9 \\ y_{1} y_{2} = 8 \end{cases}〉 y^{2} - S y + P = 0 \Rightarrow y^{2} - 9 y + 8 = 0 \end{array}$

تمرین

معادله درجه دوم زیر مفروض است:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

معادله درجه دومی تشكيل دهيد كه ريشه هايش:

نصف ريشه های معادله فوق باشد.

روش اول - استفاده از عبارت های متقارن

فرض كنيم $y_{1}, y_{2}$ ريشه های جديد معادله مفروض باشد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} = \frac{1}{2} x_{1} \\ y_{2} = \frac{1}{2} x_{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} + y_{2} = \frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2} = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) = \frac{1}{2} (- \frac{b}{a}) = \frac{1}{2} (2) = 1 \\ y_{1} . y_{2} = (\frac{1}{2} x_{1}) (\frac{1}{2} x_{2}) = \frac{1}{4} x_{1} x_{2} = \frac{1}{4} (\frac{c}{a}) = \frac{1}{4} (- 3) = - \frac{3}{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = 1 \\ P = y_{1} \cdot y_{2} = - \frac{3}{4} \end{cases}〉 y^{2} - S y + P = 0 \Rightarrow y^{2} - y - \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow 4 y^{2} - 4 y - 3 = 0 \end{array}$

معادله فوق ريشه هايش نصف ريشه های معادله زیر است:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

روش دوم - برقراری رابطه بين ريشه ها

فرض كنيم در حالت كلی ريشه معادله جديد $y$ و ريشه معادله قديم $x$ باشد، در این ‌صورت داریم:

$\begin{array}{l} i f y = \frac{1}{2} x \Rightarrow x = 2 y \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0; x = 2 y \\ \Rightarrow {(2 y)}^{2} - 2 (2 y) - 3 = 0 \\ \Rightarrow 4 y^{2} - 4 y - 3 = 0 \end{array}$

دو واحد بيش‌تر از ريشه های معادله فوق باشد.

روش اول - استفاده از عبارت های متقارن

فرض كنيم $y_{1}, y_{2}$ ريشه های جديد معادله مفروض باشد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} = x_{1} + 2 \\ y_{2} = x_{2} + 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} + y_{2} = (x_{1} + 2) + (x_{2} + 2) = (x_{1} + x_{2}) + 4 = 2 + 4 = 6 \\ y_{1} . y_{2} = (x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 = x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 = (- 3) + 2 (2) + 4 = 5 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = 6 \\ P = y_{1} \cdot y_{2} = 5 \end{cases}〉 y^{2} - S y + P = 0 \Rightarrow y^{2} - 6 y + 5 = 0 \end{array}$

روش دوم - برقراری رابطه بين ريشه ها

فرض كنيم در حالت كلی ريشه معادله جديد $y$ و ريشه معادله قديم $x$ باشد، در این ‌صورت داریم:

$\begin{array}{l} i f y = x + 2 \Rightarrow x = y - 2 \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0; x = y - 2 \\ \Rightarrow {(y - 2)}^{2} - 2 (y - 2) - 3 = 0 \\ \Rightarrow (y^{2} - 4 y + 4) - 2 y + 4 - 3 = 0 \\ \Rightarrow y^{2} - 6 y + 5 = 0 \end{array}$

مربع ريشه های معادله فوق باشد.

روش اول - استفاده از عبارت های متقارن

فرض كنيم $y_{1}, y_{2}$ ريشه های جديد معادله مفروض باشد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{2} \\ y_{2} = x_{2}^{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} + y_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = {(2)}^{2} - 2 (- 3) = 10 \\ y_{1} \cdot y_{2} = x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = {(x_{1} x_{2})}^{2} = {(- 3)}^{2} = 9 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = 10 \\ P = y_{1} \cdot y_{2} = 9 \end{cases}〉 y^{2} - S y + P = 0 \Rightarrow y^{2} - 10 y + 9 = 0 \end{array}$

روش دوم - برقراری رابطه بين ريشه ها

فرض كنيم در حالت كلی ريشه معادله جديد $y$ و ريشه معادله قديم $x$ باشد، در این ‌صورت داریم:

$\begin{array}{l} y = x^{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{y} \\ i f x^{2} - 2 x - 3 = 0; x = \pm \sqrt{y} \\ \Rightarrow {(\pm \sqrt{y})}^{2} - 2 (\pm \sqrt{y}) - 3 = 0 \\ \Rightarrow y - 2 (\pm \sqrt{y}) - 3 = 0 \\ \Rightarrow y - 3 = \pm 2 \sqrt{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(y - 3)}^{2} = {(\pm 2 \sqrt{y})}^{2} \\ \Rightarrow y^{2} - 6 y + 9 = 4 y \\ \Rightarrow y^{2} - 10 y + 9 = 0 \end{array}$

تمرین

اگر $x_{1}, x_{2}$ ريشه های معادله درجه دوم زیر باشند:

$a x^{2} + b x + c = 0$

معادله درجه دومی بنويسيد كه ريشه های آن به‌صورت زیر باشد:

$\frac{1}{a x_{1} + b}, \frac{1}{a x_{2} + b}$

روش برقراری رابطه بين ريشه ها

$y = \frac{1}{a x + b} \Rightarrow y (a x + b) = 1 \Rightarrow a x y + b y = 1 \Rightarrow a x y = 1 - b y \Rightarrow x = \frac{1 - b y}{a y}$

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0; x = \frac{1 - b y}{a y} \\ \Rightarrow a {(\frac{1 - b y}{a y})}^{2} + b (\frac{1 - b y}{a y}) + c = 0 \\ \Rightarrow \frac{a {(1 - b y)}^{2}}{{(a y)}^{2}} + \frac{b (1 - b y)}{(a y)} + c = 0 \end{array}$