سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش دستور b پریم

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر در معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ ضریب $x$ یعنی $b$ زوج باشد، آن‌گاه:

فرض می‌کنیم $b = 2 b^{'}$ پس معادله درجه دوم را می‌توان با فرمول ساده‌تری حل کرد:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}; b = 2 b^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{- 2 b^{'} \pm 2 \sqrt{{b^{'}}^{2} - a c}}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{2 (- b^{'} \pm \sqrt{{b^{'}}^{2} - a c})}{2 a} \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{{b^{'}}^{2} - a c}}{a}$

تذکر

در معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ اگر $b$ زوج باشد و $b = 2 b^{'}$ باشد، آن‌گاه:

$\{\begin{cases} Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c \\ x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{a} \end{cases}$

$Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c$ مبین معادله درجه دوم گوئیم.

برای بحث در وجود یا عدم وجود ریشه‌های حقیقی معادله درجه دوم، $Δ^{'}$ را تشکیل داده و حالات زیر را بررسی می‌کنیم:

حالت اول

اگر $Δ^{'} > 0$ باشد، معادله درجه دوم دو ریشه حقیقی دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}$

$x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}$

حالت دوم

اگر $Δ^{'} = 0$ باشد، معادله درجه دوم دو ریشه مساوی یا یک ریشه مضاعف دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{matrix} x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}; b = 2 b^{'} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{- (2 b^{'})}{2 a} \end{matrix}$

$\Rightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a}$

حالت سوم

اگر $Δ^{'} < 0$ باشد، معادله درجه دوم ریشه حقیقی ندارد.

نکته

بین $Δ^{'}, Δ$ رابطه $Δ = 4 Δ^{'}$ برقرار است.

$\{\begin{cases} Δ = b^{2} - 4 a c \\ Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c, b = 2 b^{'} \end{cases}$

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(2 b^{'})}^{2} - 4 a c = 4 {b^{'}}^{2} - 4 a c = 4 ({b^{'}}^{2} - a c) = 4 Δ^{'}$

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را به روش دستور $b^{'}$ حل کنید.

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 3 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} b = 2 b^{'} \Rightarrow b^{'} = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} \Rightarrow b^{'} = 2 \\ Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c = {(2)}^{2} - (1) (3) = 4 - 3 = 1 \Rightarrow Δ^{'} = 1 > 0 \end{array}$

$Δ^{'} > 0$ است و معادله دو ريشه حقيقی دارد:

$x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{- 2 \pm \sqrt{1}}{1} = \frac{- 2 \pm 1}{1} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 2 - 1 = - 3 \Rightarrow x_{1} = - 3 \\ x_{2} = - 2 + 1 = - 1 \Rightarrow x_{2} = - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} b = 2 b^{'} \Rightarrow b^{'} = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} \Rightarrow b^{'} = 1 \\ Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c = {(1)}^{2} - (1) (1) = 1 - 1 = 0 \Rightarrow Δ^{'} = 0 \end{array}$

$Δ^{'} = 0$ است و معادله یک ریشه مضاعف دارد:

$x_{1} = x_{2} = - \frac{b^{'}}{a} = - \frac{1}{1} = - 1 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = - 1$

$x^{2} + 6 x + 37 = 0$

$Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c = {(3)}^{2} - (1) (37) = 9 - 37 = - 28$

$Δ^{'} < 0$ است و معادله ریشه حقیقی ندارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (دستور b پریم)

3,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش دستور b پریم

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع