حل معادله درجه دوم به روش هندسی

آخرین ویرایش: 20 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ریشه‌های حقیقی معادله $f (x) = g (x)$ ، نقاط تلاقی نمودار توابع زیر می‌باشند:

$y = f (x)$

$y = g (x)$

برای حل معادله $f (x) = g (x)$ :

ابتدا نمودار توابع فوق را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم.
نقطه‌ تقاطع این دو نمودار، جواب‌های معادله‌ فوق می‌باشند.

معادله درجه دوم - روش هندسی - پیمان گردلو

مجموعه جواب معادله $f (x) = g (x)$ از نظر هندسی:

یعنی $x$ هایی که به‌ازای آنها، نمودار $y = f (x)$ نمودار $y = g (x)$ را قطع می‌کند.

این روش از حل معادله را که از طریق آن تعداد جواب‌ها و مقدار تقریبی و گاهی دقیق جواب‌ها، قابل تشخیص است را روش هندسی حل معادلات می‌نامیم.

تمرین

معادله زیر را به دو روش جبری و هندسی حل کنید:

${(x - 1)}^{2} = \frac{1}{2} x + 1$

حل معادله به روش جبری:

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = \frac{1}{2} x + 1 \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{5}{2} x = 0 \\ \Rightarrow x (x - \frac{5}{2}) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x - \frac{5}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2 / 5 \end{cases} \end{array}$

حل معادله به روش هندسی:

نمودار دو تابع زیر را رسم می‌کنیم.

$\{\begin{cases} y = {(x - 1)}^{2} \\ y = \frac{1}{2} x + 1 \end{cases}$

معادله درجه دوم - روش هندسی - پیمان گردلو

طول نقاط تلاقی دو نمودار یعنی $\{\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 / 5 \end{cases}$ همان ریشه‌ معادله است.

تمرین

معادلات زیر را به‌روش رسم نمودار (روش هندسی) حل کنید و جواب های آنها را به طور تقریب به‌دست آورید.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} + 2 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 2 \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = x^{2} \\ y_{2} = - 2 \end{cases}$

نمودار هندسی - پیمان گردلو

چون دو نمودار، هم‌دیگر را قطع نکرده‌اند، پس معادله جواب ندارد.

$4 x^{2} - 8 x = 0$

$\begin{matrix} 4 x^{2} - 8 x = 0 \\ \Rightarrow 4 x^{2} = 8 x \\ \Rightarrow x^{2} = 2 x \\ \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = x^{2} \\ y_{2} = 2 x \end{cases} \end{matrix}$

نمودار هندسی - پیمان گردلو

چون دو نمودار، هم‌دیگر را در دو نقطه قطع کرده‌اند، پس معادله دو جواب حقیقی به‌صورت زیر دارد.

$\{\begin{cases} x = 2 \\ x = 0 \end{cases}$

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 1 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} = 2 x - 1 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = x^{2} \\ y_{2} = 2 x - 1 \end{cases} \end{array}$