سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل و بحث معادله درجه دوم

آخرین ویرایش: 10 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ دارای دو ریشه حقیقی $x_{2}, x_{1}$ باشد:

فرض کنیم $(x_{2} > x_{1})$ باشد، آن‌گاه برای $\frac{c}{a}$ سه حالت زیر را در نظر می‌گیریم و بر اساس حالات مختلف مطرح شده، به حل و بحث معادله درجه دوم می‌پردازیم:

حالت اول

اگر $\frac{c}{a} < 0$ باشد، آن‌گاه معادله درجه دوم دارای دو ریشه حقیقی مختلف‌العلامه است. $(x_{1} < 0 < x_{2})$

$1) - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow |x_{2}| > |x_{1}|$

$2) - \frac{b}{a} = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow a x^{2} + c = 0 \Rightarrow a x^{2} = - c \Rightarrow x^{2} = - \frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$

$3) - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow |x_{1}| > |x_{2}|$

در حالت $(1)$ قدرمطلق ریشه بزرگتر، بزرگتر از قدرمطلق ریشه کوچکتر است.
در حالت $(2)$ معادله دو ریشه قرینه دارد.
در حالت $(3)$ قدرمطلق ریشه کوچکتر، بزرگتر از قدرمطلق ریشه بزرگتر است.

حالت دوم

اگر $\frac{c}{a} = 0$ باشد، آنگاه معادله درجه دوم همواره یک ریشه مساوی صفر دارد.

$\begin{array}{l} i f \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow c = 0 \end{array}$

$a x^{2} + b x + c = 0 \Rightarrow a x^{2} + b x + (0) = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = - \frac{b}{a} \end{cases}$

حالت سوم

اگر $\frac{c}{a} > 0$ باشد، آنگاه $∆$ معادله درجه دوم را حتما تشکیل می‌دهیم:

$1) i f Δ > 0 : \{\begin{cases} - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow x_{2} > x_{1} > 0 \\ - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow x_{1} < x_{2} < 0 \end{cases}$

$2) i f Δ = 0 : \{\begin{cases} - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} > 0 \\ - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} < 0 \end{cases}$

$3) i f Δ < 0$

در حالت $(1)$ اگر $- \frac{b}{a} > 0$ باشد، معادله دو ریشه مثبت دارد و اگر $- \frac{b}{a} < 0$ باشد، معادله دو ریشه منفی دارد.
در حالت $(2)$ اگر $- \frac{b}{a} > 0$ باشد، معادله یک ریشه مضاعف مثبت دارد و اگر $- \frac{b}{a} < 0$ باشد، معادله یک ریشه مضاعف منفی دارد.
در حالت $(3)$ معادله ریشه حقیقی ندارد.

تمرین

معادله زیر به‌ازای مقادير مختلف $m$ چند ریشه دارد؟

${(1 - 2 x)}^{2} = 2 x + m^{2}$

$\begin{array}{l} {(1 - 2 x)}^{2} = 2 x + m^{2} \\ \Rightarrow 1 - 4 x + 4 x^{2} - 2 x - m^{2} = 0 \\ \Rightarrow 4 x^{2} - 6 x + (1 - m^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ = b^{2} - 4 a c \\ \Rightarrow Δ = {(- 6)}^{2} - 4 (4) (1 - m^{2}) \\ \Rightarrow Δ = 36 - 16 (1 - m^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ = 36 - 16 + 16 m^{2} \\ \Rightarrow Δ = 16 m^{2} + 20 \\ \Rightarrow Δ > 0 \end{array}$

$△$ به ازای همه مقادیر $m \in R$ همواره مثبت است و معادله دو ريشه دارد.

تمرین

معادله زیر به‌ازای چه مقادير $m$ دو ريشه مختلف العلامه دارد.

$3 x^{2} - 5 m x + m^{2} - 4 = 0$

$\begin{array}{l} \frac{c}{a} < 0 \\ \Rightarrow \frac{m^{2} - 4}{3} < 0 \\ \Rightarrow m^{2} - 4 < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} < 4 \\ \Rightarrow |m| < 2 \\ \Rightarrow - 2 < m < 2 \end{array}$

تمرین

معادله زیر به‌ازای چه مقدار $m$ ریشه مضاعف دارد.

$\frac{x (x - 1) - (m - 1)}{(x - 1) (m - 1)} = \frac{x}{m}$

$\begin{array}{l} \frac{x (x - 1) - (m - 1)}{(x - 1) (m - 1)} = \frac{x}{m} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m [x (x - 1) - (m - 1)] = x (x - 1) (m - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m (x^{2} - x - m + 1) = (x^{2} - x) (m - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} - m x - m^{2} + m = m x^{2} - x^{2} - x m + x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} - m x - m^{2} + m - m x^{2} + x^{2} + x m - x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - m^{2} + m + x^{2} - x = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - x - m (m - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow b^{2} - 4 a c = 0 \\ \Rightarrow {(- 1)}^{2} - 4 (1) [- m (m - 1)] = 0 \\ \Rightarrow 1 + 4 m (m - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(2 m - 1)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow m = \frac{1}{2} \end{array}$

تمرین

معادله زیر به‌ازای چه مقدار $m$ دو ريشه قرینه دارد.

$\frac{x^{2} - b x}{a x - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} - b x}{a x - c} = \frac{m - 1}{m + 1} \\ \Rightarrow (m + 1) (x^{2} - b x) = (m - 1) (a x - c) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} - m b x + x^{2} - b x = m a x - m c - a x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m x^{2} - m b x + x^{2} - b x - m a x + m c + a x - c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} (m + 1) + x (- m b - b - m a + a) + m c - c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (m + 1) x^{2} - [b (m + 1) + a (m - 1)] x + c (m - 1) = 0 \end{array}$

شرط آن‌که معادله دو ریشه قرینه داشته باشد،آن‌است که:

$b = 0 \Rightarrow b m + b + m a - a = 0 \Rightarrow m = \frac{a - b}{a + b}$

نکته

شرط آن‌که ریشه‌های یک معادله عکس یک‌دیگر باشند، آن است که $\frac{c}{a} = 1$ باشد.

$i f \frac{c}{a} = 1 \Rightarrow x_{1} x_{2} = 1 \Rightarrow x_{1} = \frac{1}{x_{2}}$

شرط آن‌که ریشه‌های یک معادله عکس و قرینه یک‌دیگر باشند آن است که $\frac{c}{a} = - 1$ باشد.

$i f \frac{c}{a} = - 1 \Rightarrow x_{1} x_{2} = - 1 \Rightarrow x_{1} = - \frac{1}{x_{2}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

حل و بحث معادله درجه دوم

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه دوم

حل و بحث معادله درجه دوم

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟