سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش خوارزمی

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ مفروض است، برای حل این معادله به روش خوارزمی به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \end{cases}$

جملات دارای مجهول را در یک طرف تساوی نگه می‌داریم و عدد ثابت را به طرف دیگر می‌بریم:

$\Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$

نصف ضریب $x$ را به‌صورت زیر حساب می‌کنیم:

$(\frac{b}{a} \div 2 = \frac{b}{2 a})$

مساحت مربعی با ضلع $x + \frac{b}{2 a}$ را به‌دست می‌آوریم:

روش خوارزمی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = (x \times x) + (\frac{b}{2 a} \times x) + (\frac{b}{2 a} \times \frac{b}{2 a}) + (\frac{b}{2 a} \times x) \end{array}$

$\begin{array}{l} S = x^{2} + \frac{b}{2 a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{b}{2 a} x \end{array}$

$\begin{array}{l} S = (x^{2} + \frac{b}{a} x) + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \end{array}$

$S = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$

در تساوی زیر داریم:

$\begin{array}{l} (x^{2} + \frac{b}{a} x) + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2}} = \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{- b}{2 a} + \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

تذکر

همه معادلات درجه دوم را نمی‌توان با روش خوارزمی حل کرد و با این تعبیر هندسی، فقط یکی از جواب‌‌های معادلات درجه دوم به‌دست می‌آید.

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با روش خوارزمی حل کنید.

$x^{2} + 2 x - 4 = 0$

1- جملات دارای مجهول را در یک طرف تساوی نگه می‌داریم و عدد ثابت را به طرف دیگر می‌بریم:

$x^{2} + 2 x = 4$

2- نصف ضریب $x$ یعنی $(\frac{2}{2} = 1)$ را حساب می‌کنیم و مساحت مربعی با ضلع $x + 1$ را به‌دست می آوریم:

روش خوارزمی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = (x \times x) + (1 \times x) + (1 \times x) + (1 \times 1) = x^{2} + x + x + 1 = (x^{2} + 2 x) + 1 = (4) + 1 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 = 5 \Rightarrow {(x + 1)}^{2} = {(\sqrt{5})}^{2} \Rightarrow x + 1 = \sqrt{5} \Rightarrow x = \sqrt{5} - 1 \end{array}$

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

1- جملات دارای مجهول را در یک طرف تساوی نگه می‌داریم و عدد ثابت را به طرف دیگر می‌بریم:

$x^{2} + 4 x = 5$

2- نصف ضریب $x$ یعنی $(\frac{4}{2} = 2)$ را حساب می‌کنیم و مساحت مربعی با ضلع $x + 2$ را به‌دست می آوریم:

روش خوارزمی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = (x \times x) + (2 \times x) + (2 \times x) + (2 \times 2) = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 = (x^{2} + 4 x) + 4 = (5) + 4 = 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 4 = 9 \Rightarrow {(x + 2)}^{2} = {(3)}^{2} \Rightarrow x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$4 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

برای حل معادلات به روش خوارزمی، ضریب $x^{2}$ حتما بایستی عدد $1$ باشد.

$4 x^{2} + 4 x - 3 = 0 \Rightarrow 4 (x^{2} + x - \frac{3}{4}) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} 4 \neq 0 \\ x^{2} + x - \frac{3}{4} = 0 \end{cases}$

در معادله فوق داریم:

1- جملات دارای مجهول را در یک طرف تساوی نگه می‌داریم و عدد ثابت را به طرف دیگر می‌بریم:

$x^{2} + x = \frac{3}{4}$

2- نصف ضریب $x$ یعنی $(\frac{1}{2})$ را حساب می‌کنیم و مساحت مربعی با ضلع $x + \frac{1}{2}$ را به‌دست می‌آوریم:

روش خوارزمی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = (x \times x) + (\frac{1}{2} \times x) + (\frac{1}{2} \times x) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} = (x^{2} + x) + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + x + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} = {(1)}^{2} \Rightarrow x + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش خوارزمی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟