کاربردهای دنباله

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

قضایای زیادی را در آنالیز ابتدا در مورد اعداد طبیعی، صحیح و گویا ثابت می‌کنیم، سپس برای گذر ازاعداد گویا به اعداد حقیقی، از دنباله ها استفاده می‌کنیم.

مهم‌ترین آنها تعریف توان های حقیقی اعداد است.

به عنوان نمونه 22 یا 2-2 یا 212 به‌سادگی تعریف می‌شوند، اما در مورد 22 وضعیت تغییر می‌کند.

از این روی که 2 حد دنباله‌ ای از اعداد گویا است:

2=limn+rn

گوییم:

22=2limn+rn=limn+2rn

به این ترتیب تمام خواص توان های گویا را به توان های حقیقی تعمیم می‌دهیم.

اساس این کار قضیه‌ای است که در زیر آن را ثابت می‌کنیم:

قضیه

هر عدد حقیقی، حد دنباله ای از اعداد گویا است.

اثبات

هر عدد حقیقی حد دنباله‌ای اکیدا صعودی از اعداد گویا و هر عدد حقیقی حد دنباله‌ ای اکیدا نزولی از اعداد گویا است.

بین هر دو عدد گویا، عددی حقیقی و هم‌چنین بین هر دو عدد حقیقی، عددی گویا وجود دارد.

فرض کنیم x عدد حقیقی دلخواه باشد، به ازای هر عدد طبیعی n، عددی گویا مانند rn وجود دارد به‌طوری‌که: 

x1nrnx1n+1

به‌سادگی مشخص که rn<rn+1 یعنی rn دنباله‌ای اکیدا صعودی است و هم‌چنین کراندار است، پس rn همگراست. 

پس بنا بر قضیه فشردگی:

x1nrnx1n+1limn+x1nlimn+rnlimn+x1n+1xlimn+rnxlimn+rn=x

به‌همین ترتیب وضعیت اکیدا نزولی هم ثابت می‌شود. از این قضیه در حد توابع استفاده خواهیم کرد.

تمرین

دنباله n+2n2+1 مفروض است، جملات این دنباله: 

1- همگی اصم‌اند.

2- تعداد متناهی اصم و تعداد نامتناهی گویا دارد.

3- تعداد متناهی گویا و نامتناهی جمله اصم است.

4- همه گویا می‌باشند.

گزینه 4 صحیح است.


صورت و مخرج هر دو عدد صحیح است.

تمرین

دنباله an=sinπn+2 مفروض است، کدام گزینه صحیح است؟

1- به‌ازای هر n طبیعی an اصم است.

2- به‌ازای هر n طبیعی an گویا است. 

3- nی هست که an گویا باشد. 

4- فقط به‌ازای n=2 دنباله an اصم است. 

گزینه 3 صحیح است.

if  n=4        sinπ4+2=sinπ6=12

تمرین

در کدام دنباله به‌ازای هر n، an گویا است؟

1- an=cosπn+1

2- an=Arctann2

3- an=n+3n+1

4- an=2n

گزینه 3 صحیح است.


تقسیم دو عدد صحیح.

تمرین

عدد a=0.1010010001    ....   1000  ...   01  ... مفروض است:

1- a گویا است.

2- a متناوب است.

3- a اصم است.

4- ممکن است اصم یا گویا باشد.

گزینه 3 صحیح است.


ارقام بی‌پایان است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید