سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

کاربردهای دنباله

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضایای زیادی را در آنالیز ابتدا در مورد اعداد طبیعی، صحیح و گویا ثابت می‌کنیم، سپس برای گذر ازاعداد گویا به اعداد حقیقی، از دنباله ها استفاده می‌کنیم.

مهم‌ترین آنها تعریف توان های حقیقی اعداد است.

به عنوان نمونه $2^{2}$ یا $2^{- 2}$ یا $2^{\frac{1}{2}}$ به‌سادگی تعریف می‌شوند، اما در مورد $2^{\sqrt{2}}$ وضعیت تغییر می‌کند.

از این روی که $\sqrt{2}$ حد دنباله‌ ای از اعداد گویا است:

$\sqrt{2} = \lim_{n \to + \infty} r_{n}$

گوییم:

$2^{\sqrt{2}} = 2^{\lim_{n \to + \infty} r_{n}} = \lim_{n \to + \infty} 2^{r_{n}}$

به این ترتیب تمام خواص توان های گویا را به توان های حقیقی تعمیم می‌دهیم.

اساس این کار قضیه‌ای است که در زیر آن را ثابت می‌کنیم:

قضیه

هر عدد حقیقی، حد دنباله ای از اعداد گویا است.

اثبات

هر عدد حقیقی حد دنباله‌ای اکیدا صعودی از اعداد گویا و هر عدد حقیقی حد دنباله‌ ای اکیدا نزولی از اعداد گویا است.

بین هر دو عدد گویا، عددی حقیقی و هم‌چنین بین هر دو عدد حقیقی، عددی گویا وجود دارد.

فرض کنیم $x$ عدد حقیقی دلخواه باشد، به ازای هر عدد طبیعی $n$ ، عددی گویا مانند $r_{n}$ وجود دارد به‌طوری‌که:

$x - \frac{1}{n} \leq r_{n} \leq x - \frac{1}{n + 1}$

به‌سادگی مشخص که $r_{n} < r_{n} + 1$ یعنی $\{r_{n}\}$ دنباله‌ای اکیدا صعودی است و هم‌چنین کراندار است، پس $\{r_{n}\}$ همگراست.

پس بنا بر قضیه فشردگی:

$\begin{array}{l} x - \frac{1}{n} \leq r_{n} \leq x - \frac{1}{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} (x - \frac{1}{n}) \leq \lim_{n \to + \infty} r_{n} \leq \lim_{n \to + \infty} (x - \frac{1}{n + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x \leq \lim_{n \to + \infty} r_{n} \leq x \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} r_{n} = x \end{array}$

به‌همین ترتیب وضعیت اکیدا نزولی هم ثابت می‌شود. از این قضیه در حد توابع استفاده خواهیم کرد.

تمرین

دنباله $\{\frac{n + 2}{n^{2} + 1}\}$ مفروض است، جملات این دنباله:

1- همگی اصم‌اند.

2- تعداد متناهی اصم و تعداد نامتناهی گویا دارد.

3- تعداد متناهی گویا و نامتناهی جمله اصم است.

4- همه گویا می‌باشند.

گزینه $(4)$ صحیح است.

صورت و مخرج هر دو عدد صحیح است.

تمرین

دنباله $\{a_{n}\} = \{\sin \frac{π}{n + 2}\}$ مفروض است، کدام گزینه صحیح است؟

1- به‌ازای هر $n$ طبیعی $a_{n}$ اصم است.

2- به‌ازای هر $n$ طبیعی $a_{n}$ گویا است.

3- $n$ ی هست که $a_{n}$ گویا باشد.

4- فقط به‌ازای $n = 2$ دنباله $a_{n}$ اصم است.

گزینه $(3)$ صحیح است.

$i f n = 4 \Rightarrow \sin \frac{π}{4 + 2} = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$

تمرین

در کدام دنباله به‌ازای هر $n$ ، $a_{n}$ گویا است؟

1- $a_{n} = \cos \frac{π}{n + 1}$

2- $a_{n} = A r c \tan (n - 2)$

3- $a_{n} = \frac{n + 3}{n + 1}$

4- $a_{n} = \frac{\sqrt{2}}{n}$

گزینه $(3)$ صحیح است.

تقسیم دو عدد صحیح.

تمرین

عدد $a = 0.1010010001 .... 1 \underset{}{\underset{⏟}{000 ... 0}} 1 ...$ مفروض است:

1- $a$ گویا است.

2- $a$ متناوب است.

3- $a$ اصم است.

4- ممکن است اصم یا گویا باشد.

گزینه $(3)$ صحیح است.

ارقام بی‌پایان است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

کاربردهای دنباله

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟