سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

دنباله توافقی و تفاضلات متناهی و تراجعی

آخرین ویرایش: 04 اسفند 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

دنباله توافقی

هرگاه جملات یک دنباله حسابی را معکوس کنیم، یک دنباله به‌دست می‌آید که‌ آن‌را دنباله توافقی می‌نامیم:

$\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{1} + d}, \frac{1}{a_{1} + 2 d}, ...., \frac{1}{a_{1} + (n - 1) d}$

نکته

1- اگر $H$ واسطه توافقی بین $a$ و $b$ باشد، یعنی $a, H, b$ تشکیل یک دنباله توافقی دهند، آن‌گاه $\frac{1}{a}, \frac{1}{H}, \frac{1}{b}$ تشکیل دنباله حسابی می‌دهند، پس:

$2 (\frac{1}{H}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{2}{H} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}; H = \frac{2 a b}{a + b}$

2- اگر $H, G, A$ به‌ترتیب واسطه‌های حسابی، هندسی و توافقی بین $a$ و $b$ باشند، یعنی:

$H = \frac{2 a b}{a + b}, G = \sqrt{a b}, A = \frac{a + b}{2}$

نتیجه می‌‌شود که $A . H = G^{2}$ یعنی $G$ واسطه هندسی بین $A$ و $H$ می‌باشد.

3- برای درج $m$ واسطه توافقی دو عدد $a$ و $b$ کافی است $m$ واسطه عددی بین $\frac{1}{a}$ و $\frac{1}{b}$ درج کنیم.

دنباله تفاضلات متناهی

فرض کنیم $a_{n}, ... a_{2}, a_{1}$ دنباله‌ای از اعداد باشد، آن‌گاه دنباله زیر را یک دنباله تفاضلات متناهی یا مجموعه تفاضلات متناهی دنباله فوق می‌نامیم.

$a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{3}, ...., a_{n} - a_{n - 1}$

دنباله حسابی همواره دارای یک دنباله تفاضلات متناهی است که مجموعه تفاضلات متناهی آن یک دنباله ثابت است:

$a_{1}, a_{1} + d, a_{1} + 2 d, a_{1} + 3 d, ....$

که دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله ثابت زیر است:

$d, d, d, d, ...$

نکته

در یک دنباله ‌ای که جمله عمومی آن نسبت به $n$ از درجه اول باشد، $(a n + b)$ همواره دنباله تفاضلات متناهی آن یک دنباله ثابت است.

تمرین

اگر جمله مولد یک دنباله، چند جمله‌ای درجه اول $(2 n + 1)$ ‌باشد:

دنباله تولید شده توسط این چند جمله ای را بنویسید.

$3, 5, 7, 9, ....$

دنباله تفاضلات متناهی را بنویسید.

$\begin{matrix} (5 - 3) & (7 - 5) & (9 - 7) & .... \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 2 & 2 & 2 & .... \end{matrix}$

نکته

در یک دنباله ‌ای که جملات آن از یک چند جمله ‌ای درجه دوم که جمله عمومی آن نسبت به $n$ از درجه دوم باشد یعنی $(a n^{2} + b n + c)$ اولین مجموعه تفاضلات متناهی آن دنباله ثابتی نیست، اما دومین مجموعه تفاضلات متناهی آن دنباله ای ثابت است.

اولین دنباله تفاضلات متناهی آن تشکیل دنباله حسابی می‌دهند و دومین دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله‌ ای ثابت است.

تمرین

اگر جمله مولد یک دنباله، چند جمله‌ای درجه دوم $(n^{2} + 2 n + 2)$ ‌باشد:

دنباله تولید شده توسط این چند جمله ای را بنویسید.

$5, 10, 17, 26, 37, 50, ...$

اولین مجموعه تفاضلات متناهی این دنباله را بنویسید.

$5, 7, 9, 11, 13, ..$

دنباله فوق یک دنباله حسابی است.

دومین مجموعه تفاضلات متناهی این دنباله را بنویسید.

$2, 2, 2, \cdot \cdot$

دومین مجموعه تفاضلات متناهی یک دنباله ثابت است.

نکته

اگر یک دنباله مجموعه ‌ای از تفاضلات متناهی ثابت به‌وجود آورد، می‌توان جمله مولد یا جمله عمومی این مولد را مشخص کرد:

1- در مورد دنباله های درجه اول $(a n + b)$ چون خود دنباله، دنباله حسابی است و ضریب $n$ قدر نسبت است، به‌سادگی جمله عمومی یا مولد مشخص می‌شود.

2- اگر جمله مولد، چندجمله ‌ای درجه دوم $(a n^{2} + b n + c)$ باشد این چندجمله ‌ای، دنباله زیر را تولید می‌کند:

$k : a + b + c, 4 a + 2 b + c, 9 a + 3 b + c, ....$

اولین دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله زیر است:

$k_{1} : 3 a + b, 5 a + b, ...$

دومین دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله زیر است:

$k_{2} : 2 a, 2 a, ...$

بنابراین اولین جمله دنباله که با $(a n^{2} + b n + c)$ تولید می‌شود، جمله $a + b + c$ و اولین جمله مجموعه تفاضلات مرتبه اول یعنی $k_{1}$ جمله $3 a + b$ و اولین جمله مجموعه تفاضلات مرتبه دوم یعنی $k_{2}$ جمله $2 a$ می‌باشد لذا می‌توانیم جمله مولد را پیدا کنیم.

تمرین

جمله عمومی یا مولد دنباله $0, 6, 14, 24, 36, ...$ را مشخص کنید.

دنباله تفاضلات متناهی مرتبه اول:

$k_{1} : 6, 8, 10, 12, ...$

دنباله تفاضلات متناهی مرتبه دوم:

$k_{2} = 2, 2, 2, ...$

$\{\begin{cases} 2 a = 2 \\ 3 a + b = 6 \\ a + b + c = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \\ c = - 4 \end{cases}〉 a_{n} = n^{2} + 3 n - 4$

در دنباله $2, 5, 10, 17, ....$ جمله بیستم کدام است؟

ابتدا جمله عمومی (مولد) را یافته و از روی آن $a_{20}$ را محاسبه می‌کنیم.

$\begin{array}{l} k_{1} : 3, 5, 7, ... \\ k_{2} : 2, 2, 2, ... \\ \{\begin{array}{l} a + b + c = 2 \\ 3 a + b = 3 \\ 2 a = 2 \end{array}〉 \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} a_{n} = n^{2} + 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow a_{20} = {(20)}^{2} + 1 = 401 \end{matrix}$

دنباله تراجعی یا استقرایی

روش دیگری برای تعریف دنباله ‌ها وجود دارد و آن تعریف به روش استقرایی است.

به این ترتیب که ابتدا $k$ جمله اول دنباله را تعیین و سپس قاعده‌ای را بیان می‌کنیم که جمله $a_{k + 1}$ را برحسب $a_{k}, ..., a_{1}$ یا احیانا $n$ محاسبه می‌کند، این قاعده را رابطه تراجعی یا استقرایی می‌نامیم.

نکته

1- دنباله حسابی با قدرنسبت $d$ و جمله اول $a$ را با روابط تراجعی چنین تعریف می‌کنیم:

$\{\begin{cases} a_{1} = a, a_{n} = a_{n - 1} + d; n \geq 2 \\ f (1) = a, f (n) = f (n - 1) + d; n \geq 2 \end{cases}$

2- دنباله هندسی با قدر نسبت $q$ و جمله اول $a$ را با روابط تراجعی چنین تعریف می‌کنیم:

$\{\begin{cases} a_{1} = a, a_{n} = a_{n - 1} \cdot q; n \geq 2 \\ f (1) = a, (n) = q . f (n - 1); n \geq 2 \end{cases}$

تذکر

اگر $a_{n}$ جمله عمومی دنباله ‌ای با رابطه‌ای بر حسب جملات قبل از $a_{n}$ داده شده باشد، یعنی داشته باشیم:

$a_{n} = f (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}); (1)$

آن‌گاه $a_{n}$ را دنباله تراجعی می‌نامند. رابطه تراجعی را به‌صورت معادله $f (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = 0$ هم می‌نویسند.

پیدا کردن جمله عمومی دنباله‌های تراجعی، به کمک یک دستگاه و با استفاده از استقرای ریاضی به نتیجه می‌رسد زیرا در واقع دنباله $a_{n}$ با دستگاه زیر تعریف می‌شود:

$\begin{array}{l} a = f (a_{1}) = a_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{2} = f (a_{2}) = a_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{k} = f (k) = a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{k + 1} = f (k + 1) = a_{k + 1} \equiv a_{n + k} = f (a_{n}, a_{n + 1}, \dots, a_{n + 1 - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{k + 2} = f (k + 2) = a_{k + 2} \end{array}$

$a_{k + n} = f (k + n) = a_{k + n}$

یعنی $a_{n + k}$ دنباله عددی معینی را تعیین می‌کند به شرطی که دستگاه اولیه مقادیر یعنی $a_{k}, \dots, a_{2}, a_{1}$ یعنی $k$ جمله اول آن داده شده باشد.

تمرین

اگر $a_{1} = 10$ و به‌ازای $a_{n + 1} = 5 a_{n} : n \geq 1$ در این‌صورت دنباله $f (n)$ یا $\{a_{n}\}$ به‌ازای هر عدد طبیعی $n$ تعریف شده است. جمله $n$ ام (جمله عمومی) را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} a_{n + 1} = 5 a_{n} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow a_{2} = 5 a_{1} \Rightarrow \frac{a_{2}}{a_{1}} = 5 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f n = 2 \Rightarrow a_{3} = 5 a_{2} \Rightarrow \frac{a_{3}}{a_{2}} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$i f n = k - 1 = a_{k} = 5 a_{k - 1} \Rightarrow \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = 5$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{a_{2}}{a_{1}} \cdot \frac{a_{3}}{a_{2}} \cdot \frac{a_{4}}{a_{3}} \cdot \dots \cdot \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = 5^{k - 1} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a_{k}}{a_{1}} = 5^{k - 1} \\ \Rightarrow a_{k} = a_{1} \times 5^{k - 1} \\ \Rightarrow a_{k} = 10 \times 5^{k - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{k} = \frac{10}{5} \times 5^{k} \\ \Rightarrow a_{k} = 2 \times 5^{k} \\ \Rightarrow a_{n} = 2 \times 5^{n} \end{array}$

هرگاه دنباله $f (n)$ با رابطه $f (n + 1) = \frac{5 f (n) + 1}{5}$ به‌ازای $f (1) = 2 : n \geq 1$ تعریف شده باشد، جمله عمومی $f (n)$ را پیدا کنید.

$\begin{array}{l} \frac{5 f (n) + 1}{5} = f (n + 1) \\ \Rightarrow 5 f (n + 1) = 5 f (n) + 1 \\ \Rightarrow f (n + 1) - f (n) = \frac{1}{5} \\ i f n = 1 \Rightarrow f (2) - f (1) = \frac{1}{5} \\ i f n = 2 \Rightarrow f (3) - f (2) = \frac{1}{5} \\ ⋮ \end{array}$

$i f n = k - 1 \Rightarrow f (k) - f (k - 1) = \frac{1}{5}$

طرفین تساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f (k) - f (1) = (k - 1) \cdot \frac{1}{5} \\ \Rightarrow f (k) - 2 = (k - 1) \frac{1}{5} \\ \Rightarrow f (k) = \frac{1}{5} (k - 1) + 2 \\ \Rightarrow f (k) = \frac{k}{5} + \frac{9}{5} \\ \Rightarrow f (n) = \frac{n}{5} + \frac{9}{5} \end{array}$

هرگاه به‌ازای هر دو عدد طبیعی $m$ و $n$ داشته باشیم $f (n + m) = f (n) + f (m)$ و اگر $f (1) \neq 0$ باشد $\frac{f (n)}{f (1)}$ را پیدا کنید.

$i f m = 1 \Rightarrow f (n + 1) = f (n) + f (1) \Rightarrow f (n + 1) - f (n) = f (1); (Ι)$

$(Ι)$ یک دنباله حسابی با قدر نسبت $f (1)$ است پس:

$\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ \Rightarrow f (n) = f (1) + (n - 1) f (1) \\ \Rightarrow f (n) = f (1) + n f (1) - f (1) \\ \Rightarrow f (n) = n f (1) \\ \Rightarrow \frac{f (n)}{f (1)} = n \end{array}$

اگر $f (1) = 1$ و به‌ازای هر $f (n + 1) = f (n) + a^{n}; n \geq 2$ باشرط $(a \neq 0, \pm 1)$ مقدار $f (n)$ را محاسبه کنید.

در دنباله‌ای که به استقرای ریاضی تعریف شده است، گاه می‌توان جمله دارای اندیس $n$ یعنی $a_{n}$ از دنباله را برحسب $n$ بیان کرد که در مثال فوق می‌بینیم.

$\begin{array}{l} f (n + 1) = f (n) + a^{n} \\ \Rightarrow f (n + 1) - f (n) = a^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} i f n = 1 \Rightarrow f (2) - f (1) = a \\ i f n = 2 \Rightarrow f (3) - f (2) = a^{2} \\ ⋮ \\ i f n = k - 1 \Rightarrow f (k) - f (k - 1) = a^{k - 1} \end{cases} \end{array}$

طرفین تساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f (k) - f (1) = a + a^{2} + \dots + a^{k - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (k) = 1 + a + a^{2} + \dots + a^{k - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (k) = \frac{a^{k} - 1}{a - 1} \\ \Rightarrow f (n) = \frac{a^{n} - 1}{a - 1} \end{array}$

در دنباله $S_{2}, a_{n} = n^{2}$ مجموع $n$ جمله اول را پیدا کنید.

$S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2}$

${(i + 1)}^{3} = i^{3} + 3 i^{2} + 3 i + 1$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} i f i = 1 \Rightarrow 2^{3} = 1^{3} + 3 \times 1^{2} + 3 \times 1 + 1 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f i = 2 \Rightarrow 3^{3} = 2^{3} + 3 \times 2^{2} + 3 \times 2 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f i = 3 \Rightarrow 4^{3} = 3^{3} + 3 \times 3^{2} + 3 \times 3 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$\begin{array}{l} i f i = n \Rightarrow {(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3 \times n^{2} + 3 \times n + 1 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + \dots + {(n + 1)}^{3} = (1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}) + 3 (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}) + 3 (1 + 2 + \dots + n) + n \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow {(n + 1)}^{3} = 1 + 3 \cdot S_{2} + 3 \frac{n (n + 1)}{2} + n \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 S_{2} = {(n + 1)}^{3} - \frac{3}{2} n (n + 1) - (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$

مجموع اعداد طبیعی از یک تا $n$ را با $S_{1}$ نشان می‌دهیم:

$S_{1} = \frac{n (n + 1)}{2}$

مجموع توان دوم‌های اعداد طبیعی از یک تا $n$ را با $S_{2}$ نشان می‌دهیم:

$S_{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

مجموع توان سوم‌های اعداد طبیعی از یک تا $n$ را با $S_{3}$ نشان می‌دهیم:

$S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = S_{1}^{2}$

در رشته‌ای $t_{1} = 5$ و به‌ازای $t_{n + 1} = 4 t_{n} : n \geq 1$ جمله $n$ ام را به‌دست‌ آورید.

$\begin{array}{l} t_{n + 1} = 4 t_{n} \\ \Rightarrow \frac{t_{n + 1}}{t_{n}} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{t_{2}}{t_{1}} \cdot \frac{t_{3}}{t_{2}} \cdot \frac{t_{4}}{t_{3}} \times \dots \times \frac{t_{n}}{t_{n - 1}} = 4^{n - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{t_{n}}{t_{1}} = 4^{n - 1} \\ \Rightarrow t_{n} = t_{1} \cdot 4^{n - 1} \\ \Rightarrow t_{n} = 5 \cdot 4^{n - 1} \end{array}$

اگر $F (1) = F (2) = F (3) = 1$ و $F (n + 1) = \frac{F (n) F (n - 1) + 1}{F (n - 2)}$ برای $n \geq 3$ آن‌گاه $F (6)$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} n = 3 \Rightarrow F (4) = \frac{F (3) F (2) + 1}{F (1)} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 \Rightarrow F (5) = \frac{F (4) F (3) + 1}{F (2)} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 5 \Rightarrow F (6) = \frac{F (5) F (4) + 1}{F (3)} = 7 \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

دنباله توافقی و تفاضلات متناهی و تراجعی

دنباله توافقی

دنباله تفاضلات متناهی

دنباله تراجعی یا استقرایی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟