دنباله توافقی و تفاضلات متناهی و تراجعی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

دنباله توافقی

هرگاه جملات یک دنباله حسابی را معکوس کنیم، یک دنباله به‌دست می‌آید که‌ آن‌را دنباله توافقی می‌نامیم:

1a1  ,  1a1+d  ,  1a1+2d  ,  ....  ,  1a1+n1d

نکته

1- اگر H واسطه توافقی بین a و b باشد، یعنی a  ,  H  ,  b تشکیل یک دنباله توافقی دهند، آن‌گاه 1a  ,  1H  ,  1b تشکیل دنباله حسابی می‌دهند، پس: 

21H=1a+1b2H=1a+1b    ;    H=2aba+b

2- اگر H  ,  G  ,  A به‌ترتیب واسطه‌های حسابی، هندسی و توافقی بین a و b باشند، یعنی:  

H=2aba+b   ,   G=ab   ,   A=a+b2

نتیجه می‌‌شود که A.H=G2 یعنی G واسطه هندسی بین A و H می‌باشد.  

3- برای درج m واسطه توافقی دو عدد a و b کافی است m واسطه عددی بین 1a و 1b درج کنیم.

دنباله تفاضلات متناهی

فرض کنیم an,...a2,a1 دنباله‌ای از اعداد باشد، آن‌گاه دنباله زیر را یک دنباله تفاضلات متناهی یا مجموعه تفاضلات متناهی دنباله فوق می‌نامیم.

a2a1  ,  a3a2  ,  a4a3  ,  ....  ,  anan1

دنباله حسابی همواره دارای یک دنباله تفاضلات متناهی است که مجموعه تفاضلات متناهی آن یک دنباله ثابت است:

a1  ,  a1+d  ,  a1+2d  ,  a1+3d  ,  ....

که دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله ثابت زیر است:

d  ,  d  ,  d  ,  d  ,  ...

نکته

در یک دنباله ‌ای که جمله عمومی آن نسبت به n از درجه اول باشد، an+b همواره دنباله تفاضلات متناهی آن یک دنباله ثابت است.

تمرین

اگر جمله مولد یک دنباله، چند جمله‌ای درجه اول 2n+1 ‌باشد:

دنباله تولید شده توسط این چند جمله ای را بنویسید.

3  ,  5  ,  7  ,  9  ,  ....

دنباله تفاضلات متناهی را بنویسید.

537597....222....

نکته

در یک دنباله ‌ای که جملات آن از یک چند جمله ‌ای درجه دوم که جمله عمومی آن نسبت به n از درجه دوم باشد یعنی an2+bn+c اولین مجموعه تفاضلات متناهی آن دنباله ثابتی نیست، اما دومین مجموعه تفاضلات متناهی آن دنباله ای ثابت است.

اولین دنباله تفاضلات متناهی آن تشکیل دنباله حسابی می‌دهند و دومین دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله‌ ای ثابت است.

تمرین

اگر جمله مولد یک دنباله، چند جمله‌ای درجه دوم n2+2n+2 ‌باشد:

دنباله تولید شده توسط این چند جمله ای را بنویسید.

5  ,  10,  17,  26,  37,  50,  ...

اولین مجموعه تفاضلات متناهی این دنباله را بنویسید.

5  ,  7, 9  ,  11  ,  13  ,  ..

دنباله فوق یک دنباله حسابی است.

دومین مجموعه تفاضلات متناهی این دنباله را بنویسید.

2  ,  2  ,  2  ,  

دومین مجموعه تفاضلات متناهی یک دنباله ثابت است.

نکته

اگر یک دنباله مجموعه ‌ای از تفاضلات متناهی ثابت به‌وجود آورد، می‌توان جمله مولد یا جمله عمومی این مولد را مشخص  کرد:

1- در مورد دنباله های درجه اول an+b چون خود دنباله، دنباله حسابی است و ضریب n قدر نسبت است، به‌سادگی جمله عمومی یا مولد مشخص می‌شود. 

2- اگر جمله مولد، چندجمله ‌ای درجه دوم an2+bn+c باشد این چندجمله ‌ای، دنباله زیر را تولید می‌کند: 

k  :  a+b+c  ,  4a+2b+c  ,  9a+3b+c  ,  ....

اولین دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله زیر است:

k1:3a+b  ,  5a+b  ,  ...

دومین دنباله تفاضلات متناهی آن دنباله زیر است:

k2:2a  ,  2a  ,  ...

بنابراین اولین جمله دنباله که با an2+bn+c تولید می‌شود، جمله a+b+c و اولین جمله مجموعه تفاضلات مرتبه اول یعنی k1 جمله 3a+b و اولین جمله مجموعه تفاضلات مرتبه دوم یعنی k2 جمله 2a می‌باشد لذا می‌توانیم جمله مولد را پیدا کنیم.    

تمرین

جمله عمومی یا مولد دنباله 0,6,14,24,36,... را مشخص کنید.

دنباله تفاضلات متناهی مرتبه اول:

k1:  6,8,10,12,...


دنباله تفاضلات متناهی مرتبه دوم:

k2=2,2,2,...


2a=23a+b=6a+b+c=0  a=1b=3c=4    an=n2+3n4

در دنباله 2,5,10,17,.... جمله بیستم کدام است؟

ابتدا جمله عمومی (مولد) را یافته و از روی آن a20 را محاسبه می‌کنیم.

k1:  3,5,7,...k2:  2,2,2,...a+b+c=23a+b=32a=2     a=1b=0c=1    an=n2+1      a20=202+1=401

دنباله تراجعی یا استقرایی

روش دیگری برای تعریف دنباله ‌ها وجود دارد و آن تعریف به روش استقرایی است.

به این ترتیب که ابتدا k جمله اول دنباله را تعیین و سپس قاعده‌ای را بیان می‌کنیم که جمله ak+1 را برحسب ak  ,  ...  ,  a1 یا احیانا n محاسبه می‌کند، این قاعده را رابطه تراجعی یا استقرایی می‌نامیم.

نکته

1- دنباله حسابی با قدرنسبت d و جمله اول a را با روابط تراجعی چنین تعریف می‌کنیم:

a1=a         ,    an=an1+d                      ;    n2f1=a    ,    fn=fn1+d     ;    n2

2- دنباله هندسی با قدر نسبت q و جمله اول a را با روابط تراجعی چنین تعریف می‌کنیم:

a1=a        ,    an=an1q              ;    n2f1=a  ,    n=q.fn1    ;    n2

تذکر

اگر an جمله عمومی دنباله ‌ای با رابطه‌ای بر حسب جملات قبل از an داده شده باشد، یعنی داشته باشیم:  

an=fa1,a2,,an1    ;    1

آن‌گاه an را دنباله تراجعی می‌نامند. رابطه تراجعی را به‌صورت معادله fa1,a2,,an=0 هم می‌نویسند. 

پیدا کردن جمله عمومی دنبال ه‌های تراجعی، به کمک یک دستگاه و با استفاده از استقرای ریاضی به نتیجه می‌رسد زیرا در واقع دنباله an با دستگاه زیر تعریف می‌شود: 

a=fa1=a1a2=fa2=a2ak=fk=akak+1=fk+1=ak+1an+k=fan,an+1,,an+11ak+2=fk+2=ak+2ak+n=fk+n=ak+n

یعنی an+k دنباله عددی معینی را تعیین می‌کند به شرطی که دستگاه اولیه مقادیر یعنی ak  ,    ,  a2  ,  a1 یعنی k جمله اول آن داده شده باشد.

تمرین

اگر a1=10 و به‌ازای an+1=5an  :  n1 در این‌صورت دنباله fn یا an به‌ازای هر عدد طبیعی n تعریف شده است. جمله nام (جمله عمومی) را به‌دست آورید.

an+1=5anif   n=1a2=5a1a2a1=5if   n=2a3=5a2a3a2=5                  if  n=k1=ak=5ak1akak1=5



a2a1a3a2a4a3akak1=5k1aka1=5k1ak=a1×5k1ak=10×5k1ak=105×5kak=2×5kan=2×5n

هرگاه دنباله fn با رابطه fn+1=5fn+15 به‌ازای f1=2  :  n1 تعریف شده باشد، جمله عمومی fn را پیدا کنید.    

5fn+15=fn+15fn+1=5fn+1fn+1fn=15if   n=1   f2f1=15if   n=2f3f2=15                             if  n=k1fkfk1=15


طرفین تساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

fkf1=k115fk2=k115fk=15k1+2fk=k5+95fn=n5+95

هرگاه به‌ازای هر دو عدد طبیعی m و n داشته باشیم fn+m=fn+fm و اگر f10 باشد fnf1 را پیدا کنید.   

if   m=1fn+1=fn+f1fn+1fn=f1      ;        Ι


Ι یک دنباله حسابی با قدر نسبت f1 است پس:

an=a1+n1dfn=f1+n1f1fn=f1+nf1f1fn=nf1fnf1=n

اگر f1=1 و به‌ازای هر fn+1=fn+an ; n2 باشرط a0,±1 مقدار fn را محاسبه کنید.

در دنباله‌ای که به استقرای ریاضی تعریف شده است، گاه می‌توان جمله دارای اندیس n یعنی an از دنباله را برحسب n بیان کرد که در مثال فوق می‌بینیم.

fn+1=fn+anfn+1fn=anif   n=1  f2f1=aif   n=2f3f2=a2                      if   n=k1fkfk1=ak1


طرفین تساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم: 

fkf1=a+a2++ak1fk=1+a+a2++ak1fk=ak1a1fn=an1a1

در دنباله S2  ,an=n2 مجموع n جمله اول را پیدا کنید.

S2=12+22+32+42++n2

i+13=i3+3i2+3i+1if    i=123=13+3×12+3×1+1if    i=233=23+3×22+3×2+1if   i=343=33+3×32+3×3+1                                                              if    i=nn+13=n3+3×n2+3×n+1

23+33+43++n+13=13+23+33++n3+312+22++n2+31+2++n+nn+13=1+3S2+3nn+12+n3S2=n+1332nn+1n+1S2=16nn+12n+1


مجموع اعداد طبیعی از یک تا 
n را با S1 نشان می‌دهیم:

S1=nn+12


مجموع توان دوم‌های اعداد طبیعی از یک تا n را با S2 نشان می‌دهیم: 

S2=16nn+12n+1


مجموع توان سوم‌های اعداد طبیعی از یک تا n را با S3 نشان می‌دهیم: 

S3=13+23++n3=nn+122=S12

در رشته‌ای t1=5 و به‌ازای tn+1=4tn    :  n1 جمله nام را به‌دست‌ آورید.  

tn+1=4tntn+1tn=4t2t1t3t2t4t3××tntn1=4n1tnt1=4n1tn=t14n1tn=54n1

اگر F1=F2=F3=1 و Fn+1=FnFn1+1Fn2 برای n3 آن‌گاه F6 را به‌دست آورید.

n=3F4=F3F2+1F1=2n=4F5=F4F3+1F2=3n=5F6=F5F4+1F3=7

برای ارسال نظر وارد سایت شوید