دنباله متناوب

آخرین ویرایش: 04 اسفند 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

دنباله $\{a_{n}\}$ را متناوب گوئیم هرگاه عدد طبیعی $T$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که به ازای هر $n$ طبیعی، داشته باشیم:

$\forall n \in N; a_{n + T} = a_{n}$

کوچک‌ترین مقدار طبیعی $T$ را که در این رابطه صدق می‌کند، دوره تناوب اصلی دنباله می‌نامند.

تمرین

در دنباله های متناوب زیر، دوره تناوب آنها را به‌دست آورید.

$\{a_{n}\} = \{{(- 1)}^{n}\}$

$\begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow a_{1} = {(- 1)}^{1} = - 1 \\ i f n = 2 \Rightarrow a_{2} = {(- 1)}^{2} = 1 \\ i f n = 3 \Rightarrow a_{3} = {(- 1)}^{3} = - 1 \\ i f n = 4 \Rightarrow a_{4} = {(- 1)}^{4} = 1 \end{array}$

دنباله فوق یک دنباله متناوب با دوره تناوب $T = 2$ است زیرا بعد از هر دو عدد، اعداد تکرار می‌شوند.

$\{a_{n}\} = \{\cos \frac{n π}{2}\}$

$\begin{array}{l} a_{n} = \cos \frac{n π}{2} \\ \Rightarrow a_{n + 4} = \cos \frac{(n + 4) π}{2} \\ \Rightarrow a_{n + 4} = \cos (\frac{n π}{2} + 2 π) \\ \Rightarrow a_{n + 4} = \cos \frac{n π}{2} \\ \Rightarrow a_{n + 4} = a_{n} \\ T = 4 \end{array}$

دنباله فوق یک دنباله متناوب با دوره تناوب $T = 4$ است.

تمرین

اگر $(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) = n b_{n}$ و $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ باشد، مقدار $b_{20}$ را پیدا کنید.

$i f n = 20 \Rightarrow a_{1} + a_{2} + ... + a_{20} = 20 b_{20}; (Ι)$

$\begin{array}{l} a_{n} = {(- 1)}^{n} \Rightarrow \{\begin{cases} a_{1} = - 1 \\ a_{2} = 1 \\ ⋮ \\ a_{19} = - 1 \\ a_{20} = 1 \end{cases} \\ a_{1} + a_{2} + ... + a_{20} = 20 b_{20} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\underset{0}{\underset{⏟}{(- 1) + (1) + \cdot \cdot \cdot \cdot + (- 1) + (1)}}] = 20 b_{20} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = 20 b_{20} \\ \Rightarrow b_{20} = 0 \end{array}$

نکته

دنباله متناوب به دو صورت زیر می‌تواند باشد:

1- دنباله ‌هایی که جملاتش یک در میان مثبت و منفی است.

مانند دنباله $\frac{1}{2}, - 2, 8, - 32, ...$ که جملاتش یک در میان مثبت و منفی است. به این دنباله‌ ها، دنباله متناوب صعودی گویند.

2- دنباله‌ هایی که جملات آن در فواصل معین $T$ تکرار می‌شوند.

مانند دنباله زیر:

$1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, 0, ...$

که جملاتش در فواصل معین، تکرار می‌شوند:

$\{\sin \frac{n π}{2}\}, n \in Z; \underset{T = 4}{\underset{⏟}{1, 0, - 1, 0}}, \underset{T = 4}{\underset{⏟}{1, 0, - 1, 0}}, ......$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

دنباله متناوب

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟