اصل موضوع تمامیت (اصل کمال)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

اصل تمامیت یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های R است که دستگاه اعداد گویا، یعنی Q فاقد آن است. گرچه Q همه خواص جبری و ترتیبی مربوط به R را داراست. 

به‌دلیل نیاز به استفاده از اصل تمامیت، این اصل را بیان خواهیم کرد.

به‌طور غیر رسمی اصل کمال بیان می‌کند که محور اعداد حقیقی یک‌پارچه است، به این معنی که هیچ سوراخی در آن وجود ندارد.

به عنوان نمونه، مجموعه اعداد گویا یعنی Q در عددی مانند 2 رخنه دارد.

به‌طور نادقیق به این معناست که Q کامل نمی‌باشد زیرا 2 گویا نیست و متعلق به مجموعه اعداد اصم است. 

تعریف اصل تمامیت (اصل کمال)

هر مجموعه ناتهی از اعداد حقیقی را در نظر بگیرید:

  • اگر این مجموعه از بالا کراندار باشد، دارای کوچک‌ترین کران بالاست.
  • اگر این مجموعه از پائین کراندار باشد، دارای بزرگ‌ترین کران پائین است.    

قضیه

هر دنباله صعودی و از بالا کراندار، همگراست.

اثبات

فرض کنیم دنباله مورد نظر an باشد. از آنجایی که an کراندار است، دارای یک کران بالا است.

بنابر اصل کمال an دارای کوچک‌ترین کران بالا است که آن را B می‌نامیم. 

در این‌صورت اگر ε عددی مثبت دلخواه باشد، B-ε نمی‌تواند یک کران بالا برای دنباله باشد، زیرا B>B-ε و B کوچک‌ترین کران بالای دنباله است، پس عددی طبیعی مانند n0 وجود دارد، به‌طوری‌که: 

1     Bε<an0

چون B کوچک‌ترین کران بالای an است و دنباله‌ای صعودی است، داریم: 

2)     anB3)    anan+1

برای هر nn0 داریم:

4  an0an

از موارد 1,2,4 داریم:

Bε<an0anB<B+εBε<an<B+εε<anB<εanB<ε

با توجه به تعریف همگرایی دنباله ها، داریم:

ε>0       n0N     ;      nn0anB<ε

یعنی limn+an=B می‌باشد، بنابراین دنباله an همگرا است. 

قضیه

هر دنباله نزولی و کراندار از پایین، همگراست.

اثبات

فرض کنیم دنباله مورد نظر an باشد. از آنجایی که an کراندار است، دارای یک کران پایین است.

بنابر اصل کمال an دارای بزرگ‌ترین کران پایین است که آن را B می‌نامیم. 

در این‌صورت اگر ε عددی مثبت دلخواه باشد، B-ε نمی‌تواند یک کران پایین برای دنباله باشد، زیرا B-ε<B و B بزرگ‌ترین کران پایین دنباله است، پس عددی طبیعی مانند n0 وجود دارد، به‌طوری‌که:  

1     an0<B+ε

چون B بزرگ‌ترین کران پایین an است و دنباله‌ای نزولی است، داریم: 

2)   B    an3)    anan+1

برای هر nn0 داریم:

4  an0an

از موارد 1,2,4 داریم:

Bε<Banan0<B+εBε<an<B+εε<anB<εanB<ε

با توجه به تعریف همگرایی دنباله ها، داریم:

ε>0       n0N     ;      nn0anB<ε

یعنی limn+an=B می‌باشد، بنابراین دنباله an همگرا است. 

تذکر

یکی از کاربردهای قضایای مطرح شده آن است که می‌توانیم همگرایی دنباله ها را بدون استفاده از محاسبه حدودشان بررسی کنیم.

می‌خواهیم همگرایی این دنباله ‌ها را تضمین کنیم بدون آن‌که حد آنها را محاسبه کرده باشیم.

این قضیه در مورد دنباله‌ هایی که همگرا هستند ولی محاسبه حد آنها به سادگی امکان‌پذیر نیست به کار می‌رود. با توجه به نمودار هندسی زیر:

اصل کمال - پیمان گردلو

1- اگر an دنباله‌ ای صعودی باشد و D یک کران بالا برای آن باشد، آن‌گاه an همگراست و داریم:   

limn+anD

2- اگر an دنباله‌ ای نزولی باشد و C یک کران پایین برای آن باشد، آن‌گاه an همگراست و داریم:    

limn+anC

تمرین

بدون استفاده از محاسبه حد دنباله، ثابت كنيد دنباله زیر همگرا است.

an=n21n2

اولا) ثابت می‌كنيم دنباله فوق اكيدا صعودی است:

an+1>ann+121n+12>n21n2n2n+121>n21n+12n2n2+2n>n21n2+2n+1n4+2n3>n4+2n3+n2n22n12n+1>0

همواره برقرار است. 


ثانيا) نشان می‌دهيم اين دنباله از بالا كراندار است:


چون در همه جملات دنباله، مخرج از صورت بيشتر است، نتيجه می‌گيريم عدد یک يک کران بالای دنباله است.


چون دنباله اكيدً صعودی و از بالا كراندار است، پس همگرا است.

دریافت مثال

نکته

اگر دنباله an به عدد حقیقی L همگرا باشد، آن‌گاه: 

limn+an=liman+1n+=L

دریافت مثال

تذکر

ممکن است دنباله ‌ای همگرا نباشد (واگرا باشد) اما دنباله کراندار باشد.

به عنوان نمونه an=sinnπ2 را در نظر بگیریم. جملات این دنباله عبارتند از:

1,0,1,1,0,1,...

یعنی limn+an به سمت عدد منحصر به فردی میل نمی‌کند در صورتی‌که دنباله کراندار است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اصل موضوع تمامیت (اصل کمال)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید