سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

اصل موضوع تمامیت (اصل کمال)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اصل تمامیت یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های $R$ است که دستگاه اعداد گویا، یعنی $Q$ فاقد آن است. گرچه $Q$ همه خواص جبری و ترتیبی مربوط به $R$ را داراست.

به‌دلیل نیاز به استفاده از اصل تمامیت، این اصل را بیان خواهیم کرد.

به‌طور غیر رسمی اصل کمال بیان می‌کند که محور اعداد حقیقی یک‌پارچه است، به این معنی که هیچ سوراخی در آن وجود ندارد.

به عنوان نمونه، مجموعه اعداد گویا یعنی $Q$ در عددی مانند $\sqrt{2}$ رخنه دارد.

به‌طور نادقیق به این معناست که $Q$ کامل نمی‌باشد زیرا $\sqrt{2}$ گویا نیست و متعلق به مجموعه اعداد اصم است.

تعریف اصل تمامیت (اصل کمال)

هر مجموعه ناتهی از اعداد حقیقی را در نظر بگیرید:

اگر این مجموعه از بالا کراندار باشد، دارای کوچک‌ترین کران بالاست.
اگر این مجموعه از پائین کراندار باشد، دارای بزرگ‌ترین کران پائین است.

قضیه

هر دنباله صعودی و از بالا کراندار، همگراست.

اثبات

فرض کنیم دنباله مورد نظر $\{a_{n}\}$ باشد. از آنجایی که $\{a_{n}\}$ کراندار است، دارای یک کران بالا است.

بنابر اصل کمال $\{a_{n}\}$ دارای کوچک‌ترین کران بالا است که آن را $B$ می‌نامیم.

در این‌صورت اگر $ε$ عددی مثبت دلخواه باشد، $B - ε$ نمی‌تواند یک کران بالا برای دنباله باشد، زیرا $B > B - ε$ و $B$ کوچک‌ترین کران بالای دنباله است، پس عددی طبیعی مانند $n_{0}$ وجود دارد، به‌طوری‌که:

$1) B - ε < a_{n_{0}}$

چون $B$ کوچک‌ترین کران بالای $\{a_{n}\}$ است و دنباله‌ای صعودی است، داریم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2) a_{n} \leq B \end{array} \\ 3) a_{n} \leq a_{n + 1} \end{array}$

برای هر $n \geq n_{0}$ داریم:

$4) a_{n_{0}} \leq a_{n}$

از موارد $(1), (2), (4)$ داریم:

$\begin{array}{l} B - ε < a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq B < B + ε \\ \Rightarrow B - ε < a_{n} < B + ε \\ \Rightarrow - ε < a_{n} - B < ε \\ \Rightarrow |a_{n} - B| < ε \end{array}$

با توجه به تعریف همگرایی دنباله ها، داریم:

$\forall ε > 0 \exists n_{0} \in N; n \geq n_{0} \Rightarrow |a_{n} - B| < ε$

یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = B$ می‌باشد، بنابراین دنباله $\{a_{n}\}$ همگرا است.

قضیه

هر دنباله نزولی و کراندار از پایین، همگراست.

اثبات

فرض کنیم دنباله مورد نظر $\{a_{n}\}$ باشد. از آنجایی که $\{a_{n}\}$ کراندار است، دارای یک کران پایین است.

بنابر اصل کمال $\{a_{n}\}$ دارای بزرگ‌ترین کران پایین است که آن را $B$ می‌نامیم.

در این‌صورت اگر $ε$ عددی مثبت دلخواه باشد، $B - ε$ نمی‌تواند یک کران پایین برای دنباله باشد، زیرا $B - ε < B$ و $B$ بزرگ‌ترین کران پایین دنباله است، پس عددی طبیعی مانند $n_{0}$ وجود دارد، به‌طوری‌که:

$1) a_{n_{0}} < B + ε$

چون $B$ بزرگ‌ترین کران پایین $\{a_{n}\}$ است و دنباله‌ای نزولی است، داریم:

$\begin{array}{l} 2) B \leq a_{n} \\ 3) a_{n} \geq a_{n + 1} \end{array}$

برای هر $n \geq n_{0}$ داریم:

$4) a_{n_{0}} \geq a_{n}$

از موارد $(1), (2), (4)$ داریم:

$\begin{array}{l} B - ε < B \leq a_{n} \leq a_{n_{0}} < B + ε \\ \Rightarrow B - ε < a_{n} < B + ε \\ \Rightarrow - ε < a_{n} - B < ε \\ \Rightarrow |a_{n} - B| < ε \end{array}$

با توجه به تعریف همگرایی دنباله ها، داریم:

$\forall ε > 0 \exists n_{0} \in N; n \geq n_{0} \Rightarrow |a_{n} - B| < ε$

یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = B$ می‌باشد، بنابراین دنباله $\{a_{n}\}$ همگرا است.

تذکر

یکی از کاربردهای قضایای مطرح شده آن است که می‌توانیم همگرایی دنباله ها را بدون استفاده از محاسبه حدودشان بررسی کنیم.

می‌خواهیم همگرایی این دنباله ‌ها را تضمین کنیم بدون آن‌که حد آنها را محاسبه کرده باشیم.

این قضیه در مورد دنباله‌ هایی که همگرا هستند ولی محاسبه حد آنها به سادگی امکان‌پذیر نیست به کار می‌رود. با توجه به نمودار هندسی زیر:

اصل کمال - پیمان گردلو

1- اگر $\{a_{n}\}$ دنباله‌ ای صعودی باشد و $D$ یک کران بالا برای آن باشد، آن‌گاه $\{a_{n}\}$ همگراست و داریم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} \leq D$

2- اگر $\{a_{n}\}$ دنباله‌ ای نزولی باشد و $C$ یک کران پایین برای آن باشد، آن‌گاه $\{a_{n}\}$ همگراست و داریم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} \geq C$

تمرین

بدون استفاده از محاسبه حد دنباله، ثابت كنيد دنباله زیر همگرا است.

$a_{n} = \frac{n^{2} - 1}{n^{2}}$

اولا) ثابت می‌كنيم دنباله فوق اكيدا صعودی است:

$\begin{array}{l} a_{n + 1} > a_{n} \\ \Rightarrow \frac{{(n + 1)}^{2} - 1}{{(n + 1)}^{2}} > \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} [{(n + 1)}^{2} - 1] > (n^{2} - 1) {(n + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} (n^{2} + 2 n) > (n^{2} - 1) (n^{2} + 2 n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{4} + 2 n^{3} > n^{4} + 2 n^{3} + n^{2} - n^{2} - 2 n - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 n + 1 > 0 \end{array}$

همواره برقرار است.

ثانيا) نشان می‌دهيم اين دنباله از بالا كراندار است:

چون در همه جملات دنباله، مخرج از صورت بيشتر است، نتيجه می‌گيريم عدد یک يک کران بالای دنباله است.

چون دنباله اكيدً صعودی و از بالا كراندار است، پس همگرا است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر دنباله $\{a_{n}\}$ به عدد حقیقی $L$ همگرا باشد، آن‌گاه:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \underset{n \to + \infty}{\lim a_{n + 1}} = L$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

ممکن است دنباله ‌ای همگرا نباشد (واگرا باشد) اما دنباله کراندار باشد.

به عنوان نمونه $a_{n} = \sin \frac{n π}{2}$ را در نظر بگیریم. جملات این دنباله عبارتند از:

$1, 0, - 1, 1, 0, - 1, ...$

یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n}$ به سمت عدد منحصر به فردی میل نمی‌کند در صورتی‌که دنباله کراندار است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

اصل موضوع تمامیت (اصل کمال)

2,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

اصل موضوع تمامیت (اصل کمال)

تعریف اصل تمامیت (اصل کمال)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟