سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

دنباله کراندار

آخرین ویرایش: 04 اسفند 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

کران پایین دنباله

عدد $m$ را یک کران پایین برای دنباله $a_{n}$ می‌نامیم، در صورتی‌که برای هر عدد طبیعی $n$ داشته باشیم:

$m \leq a_{n}$

تمرین

دنباله $\{\frac{n}{2 n + 1}\}$ را در نظر بگیرید:

جملات این دنباله را بنویسید.

$\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \dots, \frac{n}{2 n + 1}, \dots$

چه اعدادی یک کران پایین برای دنباله فوق محسوب می‌شوند؟

عدد $\frac{1}{3}$ یک کران پایین برای دنباله است.

در حقیقت هر عدد کوچک‌تر یا مساوی $\frac{1}{3}$ یک کران پایین برای این دنباله محسوب می‌شود.

نکته

بزرگ‌ترین کران پایین یک دنباله

اگر $m$ یک کران پایین دنباله $\{a_{n}\}$ باشد و دارای این خاصیت باشد که برای هر کران پایین $c$ از دنباله $\{a_{n}\}$ داشته باشیم $c \leq m$ ، آنگاه $m$ بزرگ‌ترین کران پایین دنباله نامیده می‌شود.

کران بالا دنباله

عدد $M$ را یک کران بالا برای دنباله $a_{n}$ می‌نامیم، در صورتی‌که برای هر عدد طبیعی $n$ داشته باشیم:

$M \geq a_{n}$

تمرین

دنباله $\{\frac{1}{n}\}$ را در نظر بگیرید:

جملات این دنباله را بنویسید.

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$

چه اعدادی یک کران بالا برای دنباله فوق محسوب می‌شوند؟

عدد $1$ یک کران بالا برای دنباله است.

در حقیقت هر عدد بزرگ‌تر یا مساوی $1$ یک کران بالا برای این دنباله محسوب می‌شود.

چه اعدادی یک کران پایین برای دنباله فوق محسوب می‌شوند؟

عدد $0$ و هر عدد کم‌تر از $0$ یک کران پایین برای این دنباله است.

نکته

کوچک‌ترین کران بالا یک دنباله

اگر $M$ یک کران بالای دنباله $\{a_{n}\}$ باشد و دارای این خاصیت باشد که برای هر کران بالای $d$ از دنباله $\{a_{n}\}$ داشته باشیم $M \leq d$ ، آنگاه $M$ کوچک‌ترین کران بالا دنباله نامیده می‌شود.

تذکر

یک کران بالا و یا یک کران پایین مجموعه ‌ای، ممکن است به آن مجموعه متعلق باشد و ممکن است متعلق نباشد.

تمرین

بزرگ‌ترین کران پایین و کوچک‌ترین کران بالا را در دنباله های زیر به‌دست آورید.

$\{\frac{n}{2 n + 1}\}$

$\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \dots, \frac{n}{2 n + 1}, \dots$

بزرگ‌ترین کران پایین دنباله:

عدد $\frac{1}{3}$ بزرگ‌ترین کران پایین دنباله است.

کوچک‌ترین کران بالای دنباله:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2}$

$\{\frac{1}{n}\}$

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$

بزرگ‌ترین کران پایین دنباله:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$

کوچک‌ترین کران بالای دنباله:

عدد $1$ کوچک‌ترین کران بالا محسوب می‌شود.

تذکر

دنباله $\{a_{n}\}$ را کراندار می‌نامیم در صورتی‌که دارای کران بالا و کران پایین باشد.

می‌توان گفت اگر عدد حقیقی مثبتی مانند $k$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

$\forall n \in N; |a_{n}| \leq k$

آن‌گاه دنباله را کراندار و در غیر این‌صورت آن را بی‌کران گویند.

توجه کنید که:

$|a_{n}| \leq k \Leftrightarrow - k \leq a_{n} \leq k \Leftrightarrow a_{n} \in [- k, k]$

یعنی دنباله $\{a_{n}\}$ را کراندار می‌نامیم در صورتی‌که عدد مثبتی مانند $k$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که کلیه جملات دنباله در همسایگی به مرکز $0$ و به شعاع $k$ واقع شوند:

دنباله کراندار - پیمان گردلو

با توجه به تعریف فوق نتیجه می‌گیریم که یک دنباله در $R$ کراندار است اگر و فقط اگر مجموعه جملات یا بُرد آن زیرمجموعه‌ ای کراندار از اعداد حقیقی باشد.

از نظر هندسی وقتی نمودار تابعی یک دنباله کراندار را رسم کنیم، دو خط $\{\begin{cases} y = k \\ y = - k \end{cases}$ وجود دارد و نمودار بین یا روی دو خط واقع است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اثبات کراندار بودن یک دنباله

برای اثبات کراندار بودن یک دنباله مانند $\{a_{n}\}$ باید عدد حقیقی $k$ را چنان پیدا کنیم که به ازای آن:

$- k \leq a_{n} \leq k \Rightarrow |a_{n}| \leq k$

در بعضی از دنباله ‌ها این امر به سادگی قابل اثبات است،‌ آن‌چه بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد خواص نامساوی ها است.

تمرین

نشان دهید دنباله‌های زیر کراندار هستند.

$\{a_{n}\} = \{\frac{n - 1}{n}\}; n \geq 1$

$\begin{array}{l} |a_{n}| = |\frac{n - 1}{n}| = |1 - \frac{1}{n}| < |1| + |\frac{1}{n}| = 1 + \frac{1}{n} \Rightarrow |a_{n}| < 1 + \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{n} \leq 1 \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} \leq 1 + 1 \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} \leq 2 \overset{|a_{n}| < 1 + \frac{1}{n}}{\to} |a_{n}| \leq 2 \end{array}$

پس $\{a_{n}\}$ کراندار است.

$\{a_{n}\} = \{\frac{3 n^{2} - 4}{2 n^{2} - n}\}$

محاسبه کران پایین:

$\{\begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow a_{1} = - 1 \\ i f n \geq 2 \Rightarrow a_{n} > 0 \end{array}〉 \forall n \in N; a_{n} \geq - 1$

محاسبه کران بالا:

$a_{n} = \frac{3 n^{2} - 4}{2 n^{2} - n} < \frac{3 n^{2}}{2 n^{2} - n^{2}} = 3 \Rightarrow a_{n} < 3$

$a_{n}$ از بالا و پایین کراندار است:

$\forall n \in N; - 1 \leq a_{n} < 3$

$\{a_{n}\} = \{\frac{3 n + \sin n^{2}}{n}\}$

$|a_{n}| = |\frac{3 n + \sin n^{2}}{n}| = |3 + \frac{\sin n^{2}}{n}| \leq 3 + |\frac{\sin n^{2}}{n}| \Rightarrow |a_{n}| \leq 3 + |\frac{\sin n^{2}}{n}|$

$\begin{array}{l} - 1 < \sin n^{2} < 1 \\ \Rightarrow \frac{- 1}{n} < \frac{\sin n^{2}}{n} < \frac{1}{n} \\ \Rightarrow |\frac{\sin n^{2}}{n}| < \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 + |\frac{\sin n^{2}}{n}| < 3 + \frac{1}{n}; 3 + \frac{1}{n} \leq 4 (Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 + |\frac{\sin n^{2}}{n}| < 4; |a_{n}| \leq 3 + |\frac{\sin n^{2}}{n}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |a_{n}| \leq 4 \end{array}$

$(Ι) : \{\begin{cases} i f n \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{n} \leq 1 \Rightarrow 3 + \frac{1}{n} \leq 3 + 1 \Rightarrow 3 + \frac{1}{n} \leq 4 \\ |a_{n}| \leq 3 + |\frac{\sin n^{2}}{n}| < 3 + \frac{1}{n} \leq 3 + 1 = 4 \Rightarrow |a_{n}| \leq 4 \end{cases}$

اثبات بی‌کران بودن یک دنباله

برای اثبات بی‌کران بودن دنباله، معمولا از برهان خلف استفاده می‌کنیم.

به این‌صورت که ابتدا فرض می‌کنیم دنباله کران‌دار است پس عددی مانند $k$ هست که $|a_{n}| \leq k$ باشد.

سپس نامعادله را بر حسب $n$ درصورت امکان حل می‌کنیم تا به یک تناقض، مثلا کرانداری اعداد طبیعی برسیم.

یا به طریقی دیگر عددی طبیعی مانند $k$ را در صورت امکان چنان پیدا می‌کنیم که $|a_{n}| > k$ باشد، در نتیجه به یک تناقض می‌رسیم.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

دنباله کراندار

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

دنباله کراندار

کران پایین دنباله

کران بالا دنباله

اثبات کراندار بودن یک دنباله

اثبات بی‌کران بودن یک دنباله

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟