دنباله کراندار

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

کران پایین دنباله

عدد m را یک کران پایین برای دنباله an می‌نامیم، در صورتی‌که برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم:

man

تمرین

دنباله n2n+1 را در نظر بگیرید:

جملات این دنباله را بنویسید.

13  ,  25  ,  37  ,    ,  n2n+1  ,  

چه اعدادی یک کران پایین برای دنباله فوق محسوب می‌شوند؟

عدد 13 یک کران پایین برای دنباله است.


در حقیقت هر عدد کوچک‌تر یا مساوی 13 یک کران پایین برای این دنباله محسوب می‌شود. 

نکته

بزرگ‌ترین کران پایین یک دنباله

اگر m یک کران پایین دنباله an باشد و دارای این خاصیت باشد که برای هر کران پایین c از دنباله an داشته باشیم cm، آنگاه m بزرگ‌ترین کران پایین دنباله نامیده می‌شود.   

کران بالا دنباله

عدد M را یک کران بالا برای دنباله an می‌نامیم، در صورتی‌که برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم:

Man

تمرین

دنباله 1n را در نظر بگیرید:

جملات این دنباله را بنویسید.

1  ,  12  ,  13   ,    ,  1n   ,  

چه اعدادی یک کران بالا برای دنباله فوق محسوب می‌شوند؟

عدد 1 یک کران بالا برای دنباله است.


در حقیقت هر عدد بزرگ‌تر یا مساوی 1 یک کران بالا برای این دنباله محسوب می‌شود. 

چه اعدادی یک کران پایین برای دنباله فوق محسوب می‌شوند؟

عدد 0 و هر عدد کم‌تر از 0 یک کران پایین برای این دنباله است.

نکته

کوچک‌ترین کران بالا یک دنباله

اگر M یک کران بالای دنباله an باشد و دارای این خاصیت باشد که برای هر کران بالای d از دنباله an داشته باشیم Md، آنگاه M کوچک‌ترین کران بالا دنباله نامیده می‌شود.   

تذکر

یک کران بالا و یا یک کران پایین مجموعه ‌ای، ممکن است به آن مجموعه متعلق باشد و ممکن است متعلق نباشد.

تمرین

بزرگ‌ترین کران پایین و کوچک‌ترین کران بالا را در دنباله های زیر به‌دست آورید.

n2n+1

13  ,  25  ,  37  ,    ,  n2n+1  ,  


بزرگ‌ترین کران پایین دنباله:


عدد 13 بزرگ‌ترین کران پایین دنباله است.


کوچک‌ترین کران بالای دنباله:

limn+n2n+1=12

1n

1  ,  12  ,  13   ,    ,  1n   ,  


بزرگ‌ترین کران پایین دنباله:

limn+1n=0


کوچک‌ترین کران بالای دنباله:


عدد 1 کوچک‌ترین کران بالا محسوب می‌شود.

تذکر

دنباله an را کراندار می‌نامیم در صورتی‌که دارای کران بالا و کران پایین باشد. 

می‌توان گفت اگر عدد حقیقی مثبتی مانند k وجود داشته باشد به‌طوری‌که: 

nN    ;    ank

آن‌گاه دنباله را کراندار و در غیر این‌صورت آن را بی‌کران گویند.

توجه کنید که:

ankkankank,k

یعنی دنباله an را کراندار می‌نامیم در صورتی‌که عدد مثبتی مانند k وجود داشته باشد به‌طوری‌که کلیه جملات دنباله در همسایگی به مرکز 0 و به شعاع k واقع شوند:  

دنباله کراندار - پیمان گردلو

با توجه به تعریف فوق نتیجه می‌گیریم که یک دنباله در R کراندار است اگر و فقط اگر مجموعه جملات یا بُرد آن زیرمجموعه‌ ای کراندار از اعداد حقیقی باشد.

از نظر هندسی وقتی نمودار تابعی یک دنباله کراندار را رسم کنیم، دو خط y=ky=k وجود دارد و نمودار بین یا روی دو خط واقع است.

دریافت مثال

اثبات کراندار بودن یک دنباله

برای اثبات کراندار بودن یک دنباله مانند an باید عدد حقیقی k را چنان پیدا کنیم که به ازای آن:

kankank

در بعضی از دنباله ‌ها این امر به سادگی قابل اثبات است،‌ آن‌چه بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد خواص نامساوی ها است.

تمرین

نشان دهید دنباله‌های زیر کراندار هستند.

an=n1n    ;    n1

an=n1n=11n<1+1n=1+1nan<1+1nif   n1          1n11+1n1+11+1n2an<1+1nan2


پس an کراندار است. 

an=3n242n2n

محاسبه کران پایین:

if  n=1     a1=1if  n2an>0nN    ;    an1


محاسبه کران بالا:

an=3n242n2n<3n22n2n2=3an<3


an از بالا و پایین کراندار است:

nN    ;    1an<3

an=3n+sinn2n

an=3n+sinn2n=3+sinn2n3+sinn2nan3+sinn2n


1<sin  n2<11n<sinn2n<1nsinn2n<1n3+sinn2n<3+1n    ;    3+1n4    Ι3+sinn2n<4    ;    an3+sinn2nan4


Ι  :    if   n11n13+1n3+13+1n4an3+sinn2n<3+1n3+1=4an4

اثبات بی‌کران بودن یک دنباله

برای اثبات بی‌کران بودن دنباله، معمولا از برهان خلف استفاده می‌کنیم.

به این‌صورت که ابتدا فرض می‌کنیم دنباله کران‌دار است پس عددی مانند k هست که ank باشد.

سپس نامعادله را بر حسب n درصورت امکان حل می‌کنیم تا به یک تناقض، مثلا کرانداری اعداد طبیعی برسیم.

یا به طریقی دیگر عددی طبیعی مانند k را در صورت امکان چنان پیدا می‌کنیم که an>k باشد، در نتیجه به یک تناقض می‌رسیم. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله کراندار

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید