تقارن نسبت به نیمسازها

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

تقارن نسبت به نیمساز ربع اول و سوم

قضیه

قرینه نقطه Ax,y نسبت به خط y=x (نیمساز ربع اول و سوم) نقطه A'y,x است.

اثبات

تقارن نسبت به نیمسازها - پیمان گردلو

در شکل فوق خط y=-x عمود منصف AA' می‌باشد، پس داریم:

OA=OA'AO^H=A'O^HPO^H=QO^HPO^HAO^H=QO^HA'O^HPO^A=QO^A'

دو مثلث قائم الزاویه A'OQ  ,  AOP بنا به حالت تساوی وتر و یک زاویه حاده، برابر بوده و داریم:

OP¯=OQ¯PA¯=QA'¯xA=yA'yA=xA'

یعنی قرینه نقطه Ax,y نسبت به نیمساز ربع اول و سوم، نقطه A'y,x است.

نکته

برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به خط y=x در معادله منحنی x را به y و y را به x  تبدیل کنیم.

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکند، خط y=x محور تقارن منحنی می‌باشد. 

تقارن نسبت به نیمساز ربع دوم و چهارم

قضیه

قرینه نقطه Ax,y نسبت به خط y=-x (نیمساز ربع دوم و چهارم) نقطه A'-y,-x است.

اثبات

تقارن نسبت به نیمسازها - پیمان گردلو

مانند قسمت قبل ثابت می‌شود که دو مثلث قائم الزاویه A'OQ  ,  AOP بنا به حالت تساوی وتر و یک زاویه حاده، برابر بوده و داریم: 

xA'=yAyA'=xA

نکته

برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به خط y=-x در معادله منحنی x را به -y و y را به -x  تبدیل کنیم.

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکند، خط y=-x محور تقارن منحنی می‌باشد. 

تمرین

مختصات قرینه نقطه A-2,3 را نسبت به نیمسازهای ربع اول و دوم بیابید.

قرینه نقطه A را نسبت به نیمساز ربع اول، نقطه A' و نسبت به نیمساز ربع دوم، نقطه A'' می‌نامیم. 

xA'=yA=3yA'=xA=2A'3,2xA''=yA=3yA''=xA=2=2A''3,2

تمرین

اگر نقاط Aa+b,a-bA'-2,3 نسبت به نیمساز ربع دوم قرینه باشند، a و b را بیابید.

xA=yA'a+b=3yA=xA'ab=2a=12,  b=52

تمرین

محورهای تقارن منحنی به معادله x2+y2=4 را به‌دست آورید. 

اگر x را به -x تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور y ها است.


اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور x ها است.


اگر x را به y و y را به x تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط y=x محور تقارن منحنی است.


اگر x را به -y و y را به -x تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط y=-x محور تقارن منحنی است.

محورهای تقارن منحنی به معادله x+y=1 را به‌دست آورید. 

اگر x را به -x تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور y ها است.


اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور x ها است.


اگر x را به y و y را به x تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط y=x محور تقارن منحنی است.


اگر x را به -y و y را به -x تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط y=-x محور تقارن منحنی است.

تمرین

معادله قرینه منحنی y=x2-x را نسبت به نیمساز ربع دوم بیابید.

xyyxx=y2yx=y2+y

معادله قرینه منحنی y=2x+3x-1 را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم تعیین کنید.

xyyxx=2y+3y1xyx=2y+3xy2y=x+3y=x+3x2

معادله قرینه منحنی x12+y12=4 را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم تعیین کنید.

xyyxy12+x12=4

چون معادله دایره تغییر نکرده است، خط y=x محور تقارن دایره فوق است.

معادله قرینه منحنی y=x+1x-1 را نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم پیدا کنید.

xyyx

y=x+1x1x=y+1y1xy+x=y+1xy+y=1xy=1xx+1

تمرین

دو نقطهA3,5B5,3 مفروض است، معادله عمود منصف AB را به‌دست آورید. 

چون دو نقطه فوق نسبت به خط y=-x تقارن دارند، عمود منصف AB همان y=-x است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید