تقارن نسبت به یک نقطه

آخرین ویرایش: 30 دی 1402
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن نسبت به نقطهO'α,β

قضیه

قرینه نقطه Ax,y نسبت به نقطه O'α,β، نقطه A'2α-x,2β-y است.

اثبات

xO'=xA+xA'2⇒α=xA+xA'2⇒xA'=2α−xA⇒xA'=2α−x

yO'=yA+yA'2⇒α=yA+yA'2⇒yA'=2β−yA⇒yA'=2β−y

نکته

1- برای تعیین قرینه یک منحنی نسبت به نقطه O'α,β در معادله منحنی x را به 2α-x و y را به 2β-y تبدیل می‌کنیم.  

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکرد، نقطه O'α,β مرکز تقارن منحنی می‌باشد.


2- اگر نقطه O'α,β مرکز تقارن منحنی fx,y=0 باشد، خواهیم داشت:  

f2α−x  ,  2β−y≡fx,y

3- هر تابعی که به‌صورت زیر باشد:

y=ax−α2k+1+bx−α2k−1+⋅⋅⋅+nx−α+β

نقطه ωα,β مرکز تقارن منحنی آن است، زیرا می‌توان ثابت کرد:

f2α−x  ,  2β−y≡fx,y

تمرین

تحقیق کنید نقطه O'1,−1 مرکز تقارن منحنی تابع y=x3−3x2+1 است.

fx,y=y−x3+3x2−1⇒f2α−x,2β−y=f2−x,−2−y


⇒f2α−x,2β−y=−2−y−2−x3+32−x2−1

⇒f2α−x,2β−y=−y+x3−3x2+1

⇒f2α−x,2β−y=−y−x3+3x2−1

⇒f2α−x,2β−y=−fx,y


نقطه O'1,−1 مرکز تقارن منحنی تابع y=x3−3x2+1 نیست.

تمرین

مرکز تقارن منحنی y=x2+x−1x−1 را بیابید.

y=x2+x−1x−1


⇒xy−y=x2+x−1


⇒fx,y=xy−y−x2−x+1


فرض کنیم ωα,β مرکز تقارن منحنی fx,y باشد، آن‌گاه بایستی:


f2α−x  ,  2β−y≡fx,y


⇒2α−x2β−y−2β−y−2α−x2−2α−x+1≡xy−y−x2−x+1


⇒4αβ−2αy−2βx+xy−2β+y−4α2−x2+4αx−2α+x+1≡xy−y−x2−x+1


⇒xy−x2+1−2αy+1+4α−2βx+4αβ−2β−4α2−2α+1≡xy−y−x2−x+1


⇒1−2α=−11+4α−2β=−1α=1b=3

تمرین

قرینه منحنی y=x2−x را نسبت به نقطه O'1,1 به‌دست آورید. 

x را به 2α−x=21−x تبدیل می‌کنیم.


y را به 2β−y=21−y تبدیل می‌کنیم.


y=x2−x


⇒2−y=2−x2−2−x


⇒y=−x2+3x

قرینه منحنی y=x+2x-2 را نسبت به نقطه O'2,1 به‌دست آورید. 

x→2α−x=22−x=4−xy→2β−y=21−y=2−yx→4−xy→2−y


y=x+2x−1


⇒2−y=4−x+24−x−2


⇒y=x+2x−2

قرینه نقطه A3,−5 را نسبت به نقطه O'-1,2 به‌دست آورید.  

xA'=2α−xA=2×−1−3=−5yA'=2β−yA=2×2−−5=9A'−5,9

قرینه خط 3x+y=5 را نسبت به نقطه O'2,-2 به‌دست آورید.   

x→2α−x=4−xy→2β−y=−4−yx→4−xy→−4−y


3x+y=5


⇒34−x+−4−y=5


⇒12−3x−4−y=5


⇒3x+y=3

برای ارسال نظر وارد سایت شوید