تقارن نسبت به یک نقطه

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

تقارن نسبت به نقطهO'α,β

قضیه

قرینه نقطه Ax,y نسبت به نقطه O'α,β، نقطه A'2α-x,2β-y است.

اثبات

تقارن نسبت به یک نقطه - پیمان گردلو

xO'=xA+xA'2α=xA+xA'2xA'=2αxAxA'=2αxyO'=yA+yA'2α=yA+yA'2yA'=2βyAyA'=2βy

نکته

1- برای تعیین قرینه یک منحنی نسبت به نقطه O'α,β در معادله منحنی x را به 2α-x و y را به 2β-y تبدیل می‌کنیم.  

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکرد، نقطه O'α,β مرکز تقارن منحنی می‌باشد.


2-
 اگر نقطه O'α,β مرکز تقارن منحنی fx,y=0 باشد، خواهیم داشت:  

f2αx  ,  2βyfx,y

3- هر تابعی که به‌صورت زیر باشد:

y=axα2k+1+bxα2k1++nxα+β

نقطه ωα,β مرکز تقارن منحنی آن است، زیرا می‌توان ثابت کرد:

f2αx  ,  2βyfx,y

تمرین

تحقیق کنید نقطه O'1,1 مرکز تقارن منحنی تابع y=x33x2+1 است.

fx,y=yx3+3x21f2αx  ,  2βy=f2x  ,  2yf2αx  ,  2βy=2y2x3+32x21f2αx  ,  2βy=y+x33x2+1f2αx  ,  2βy=yx3+3x21f2αx  ,  2βy=fx,y


نقطه O'1,1 مرکز تقارن منحنی تابع y=x33x2+1 نیست.

تمرین

مرکز تقارن منحنی y=x2+x1x1 را بیابید.

y=x2+x1x1xyy=x2+x1fx,y=xyyx2x+1


فرض کنیم ωα,β مرکز تقارن منحنی fx,y باشد، آن‌گاه بایستی:

f2αx  ,  2βyfx,y2αx2βy2βy2αx22αx+1xyyx2x+1


4αβ2αy2βx+xy2β+y4α2x2+4αx2α+x+1xyyx2x+1xyx2+12αy+1+4α2βx+4αβ2β4α22α+1xyyx2x+112α=11+4α2β=1α=1b=3

تمرین

قرینه منحنی y=x2x را نسبت به نقطه O'1,1 به‌دست آورید. 

x را به 2αx=21x تبدیل می‌کنیم.


y را به 2βy=21y تبدیل می‌کنیم.

y=x2x2y=2x22xy=x2+3x

قرینه منحنی y=x+2x-2 را نسبت به نقطه O'2,1 به‌دست آورید. 

x2αx=22x=4xy2βy=21y=2yx4xy2y


y=x+2x12y=4x+24x2y=x+2x2

قرینه نقطه A3,5 را نسبت به نقطه O'-1,2 به‌دست آورید.  

xA'=2αxA=2×13=5yA'=2βyA=2×25=9A'5,9

قرینه خط 3x+y=5 را نسبت به نقطه O'2,-2 به‌دست آورید.   

x2αx=4xy2βy=4yx4xy4y


3x+y=534x+4y=5123x4y=53x+y=3

برای ارسال نظر وارد سایت شوید