تقارن نسبت به محور طول‌ ها

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

قرینه مرکزی

اگر دو نقطه A و ω در صفحه مفروض باشند، چنان‌چه نقطه A را به نقطه ω وصل کرده و به‌اندازه Aω امتداد دهیم نقطه‌ای به‌دست می‌آید به‌نام A' که در این‌صورت:    

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

  • نقطه A' را قرینه نقطه A نسبت به نقطه ω گویند.
  • نقطه A را قرینه نقطه A' نسبت به نقطه ω گویند. 
  • نقطه ω را مرکز تقارن گویند.
  • این تقارن را تقارن مرکزی گویند.

قرینه محوری

خط xy و نقطه A را در خارج آن در صفحه در نظر می‌گیریم:

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو  

  • نقاط A و A' را قرینه یکدیگر نسبت به خط xy گویند.
  • خط xy را محور تقارن گویند.
  • این تقارن را تقارن محوری گویند.     

تقارن نسبت به محورxها

قضیه

قرینه نقطه Ax,y نسبت به محور x ها، نقطه A'x,y است.

اثبات

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

برای به‌دست آوردن قرینه نقطه Ax,y نسبت به محور x ها، از این نقطه عمود AH را بر محور x ها فرود آورده و AH را به اندازه خود امتداد می‌دهیم تا نقطه A'x,y به‌دست آید.      

در این‌صورت نقطه A' را قرینه A نسبت به محور x ها، نامیده و محور x را محور تقارن می‌نامیم.    

نکته

1- محور x ها را محور تقارن یک منحنی گویند، اگر قرینه هر نقطه منحنی نسبت به محور x ها روی خود منحنی باشد، در این حالت اگر y را به -y تبدیل کنیم، منحنی تغییر نمی‌کند.

2- برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به محور x ها کافی است در معادله منحنی y را به -y تبدیل کنیم.   

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

3- محور تقارن منحنی به معادله y=±fxgx محور x ها می‌باشد. 

اگر طرفین را به‌توان دو برسانیم y2=f2xgx در آمده که در این معادله اگر  y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند پس محور تقارن منحنی، محور x ها می‌باشد.  

4- دو منحنی y=±fx نسبت به محور x ها متقارنند. 

تمرین

مختصات قرینه نقطه A2,3 را نسبت به محور x ها را بیابید.

کافی است y را به -y تبدیل کنیم یعنی A'2,3 

تمرین

اگر نقاط Am+4,n+6A'm,2n نسبت به محور x ها قرینه باشند، n و m را بیابید.

xA=xA'm+4=m2m=4m=2yA=yA'n+6=2n3n=6n=2

تمرین

محور تقارن منحنی به معادله y2=x را به‌دست آورید. 

اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور x ها است.

محور تقارن منحنی به معادله y=x2x را به‌دست آورید. 

اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور x ها است.

تمرین

در معادلات زیر اگر محور تقارن منحنی، محور x ها باشد، m را به‌دست آورید. 

y4m1y3+2=x

اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند:

y4m1y3+2=xy4+m1y3+2=x


دو معادله زیر بایستی هم ارز باشند:

y4m1y3+2=xy4+m1y3+2=xm1=m1m+1=m12m=2m=1

y=m2±xx2

if   m2=0m=2y=±xx2y=±fxgx


به ازای m=2 محور x ها، محور تقارن منحنی است.  

تمرین

نقطه‌ای روی محور x ها بیابید که مجموع فواصل آن نقطه از نقاط A1,1B2,3 مینیمم باشد. 

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

قرینه نقطه A را نسبت به محور x ها را به‌دست آورده و آن را نقطه A' می‌نامیم و نقطه A را به B وصل نموده تا محور x ها را در نقطه M قطع نماید، نقطه M جواب مساله است، زیرا اگر نقطه دیگری مانند N روی محور x ها در نظر بگیریم، نشان خواهیم داد که:

NA+NB>MA+MB


چون نقاط N و M روی عمود منصف 
AA' می‌باشند، پس MA=MA'NA=NA'.


هر نقطه روی عمود منصف
یک پاره خط، فاصله‌اش از دو سر آن پاره خط به یک اندازه می‌باشد. 


در مثلث NA'B داریم:

A'B<NA'+NBA'M+MB<NA'+NBMA+MB<NA+NB


برای به‌دست آوردن نقطه M معادله خط A'B را می‌نویسیم:

A'1,1   ,   B2,3mA'B=yByA'xBxA'mA'B=3121mA'B=4A'B:yyA'=mA'BxxA'y1=4x1y+1=4x1

if  yM=00+1=4xM14xM4=14xM=5xM=54


بنابراین نقطه مورد نظر M54,0 می‌باشد. 

تمرین

نقطه‌ای روی محور x ها بیابید که مجموع فواصل آن نقطه از نقاط A1,1B2,-1 مینیمم باشد. 

چون دو نقطه A و B در طرفین محور x ها قرار دارند، جواب مساله نقطه برخورد AB با محور x ها است یعنی نقطه C.


تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو    

A1,1    ,    B2,1mAB=yByAxBxAmAB=1121mAB=2AB:yyA=mABxxAy1=2x1y1=2x+2if   yC=001=2xC+22xC=3xC=32


بنابراین نقطه مورد نظر C32,0 می‌باشد. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید