برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لیست

سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن نسبت به محور طول‌ ها
تقارن نسبت به محور عرض‌ ها
تقارن نسبت به مبدا مختصات
تقارن نسبت به نیمسازها
تقارن نسبت به خط قائم
تقارن نسبت به خط افقی
تقارن نسبت به یک نقطه
قرینه یک نقطه نسبت به خط
تقارن در تابع هموگرافیک
تقارن در تابع درجه سوم
تقارن در تابع کسری حالت اول
تقارن در تابع ضمنی
تقارن در تابع کسری حالت دوم
تقارن در تابع مثلثاتی

تقارن نسبت به محور طول‌ ها

آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قرینه مرکزی

اگر دو نقطه $A$ و $ω$ در صفحه مفروض باشند، چنان‌چه نقطه $A$ را به نقطه $ω$ وصل کرده و به‌اندازه $A ω$ امتداد دهیم نقطه‌ای به‌دست می‌آید به‌نام $A^{'}$ که در این‌صورت:

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

نقطه $A^{'}$ را قرینه نقطه $A$ نسبت به نقطه $ω$ گویند.
نقطه $A$ را قرینه نقطه $A^{'}$ نسبت به نقطه $ω$ گویند.
نقطه $ω$ را مرکز تقارن گویند.
این تقارن را تقارن مرکزی گویند.

قرینه محوری

خط $x y$ و نقطه $A$ را در خارج آن در صفحه در نظر می‌گیریم:

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

نقاط $A$ و $A^{'}$ را قرینه یکدیگر نسبت به خط $x y$ گویند.
خط $x y$ را محور تقارن گویند.
این تقارن را تقارن محوری گویند.

تقارن نسبت به محور $x$ ها

قضیه

قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به محور $x$ ها، نقطه $A^{'} (x, - y)$ است.

اثبات

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

برای به‌دست آوردن قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به محور $x$ ها، از این نقطه عمود $A H$ را بر محور $x$ ها فرود آورده و $A H$ را به اندازه خود امتداد می‌دهیم تا نقطه $A^{'} (x, - y)$ به‌دست آید.

در این‌صورت نقطه $A^{'}$ را قرینه $A$ نسبت به محور $x$ ها، نامیده و محور $x$ را محور تقارن می‌نامیم.

نکته

1- محور $x$ ها را محور تقارن یک منحنی گویند، اگر قرینه هر نقطه منحنی نسبت به محور $x$ ها روی خود منحنی باشد، در این حالت اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، منحنی تغییر نمی‌کند.

2- برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به محور $x$ ها کافی است در معادله منحنی $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم.

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

3- محور تقارن منحنی به معادله $y = \pm f (x) \sqrt{g (x)}$ محور $x$ ها می‌باشد.

اگر طرفین را به‌توان دو برسانیم $y^{2} = f^{2} (x) g (x)$ در آمده که در این معادله اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند پس محور تقارن منحنی، محور $x$ ها می‌باشد.

4- دو منحنی $y = \pm f (x)$ نسبت به محور $x$ ها متقارنند.

تمرین

مختصات قرینه نقطه $A (2, 3)$ را نسبت به محور $x$ ها را بیابید.

کافی است $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم یعنی $A^{'} (2, - 3)$

تمرین

اگر نقاط $\{\begin{cases} A (m + 4, n + 6) \\ A^{'} (- m, 2 n) \end{cases}$ نسبت به محور $x$ ها قرینه باشند، $n$ و $m$ را بیابید.

$\{\begin{cases} x_{A} = x_{A^{'}} \Rightarrow m + 4 = - m \Rightarrow 2 m = - 4 \Rightarrow m = - 2 \\ y_{A} = - y_{A^{'}} \Rightarrow n + 6 = - 2 n \Rightarrow 3 n = - 6 \Rightarrow n = - 2 \end{cases}$

تمرین

محور تقارن منحنی به معادله $y^{2} = x$ را به‌دست آورید.

اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور $x$ ها است.

محور تقارن منحنی به معادله $|y| = x^{2} - x$ را به‌دست آورید.

اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور $x$ ها است.

تمرین

در معادلات زیر اگر محور تقارن منحنی، محور $x$ ها باشد، $m$ را به‌دست آورید.

$y^{4} - (m - 1) y^{3} + 2 = x$

اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند:

${(- y)}^{4} - (m - 1) {(- y)}^{3} + 2 = x \Rightarrow y^{4} + (m - 1) y^{3} + 2 = x$

دو معادله زیر بایستی هم ارز باشند:

$\{\begin{cases} y^{4} - (m - 1) y^{3} + 2 = x \\ y^{4} + (m - 1) y^{3} + 2 = x \end{cases}〉 - (m - 1) = (m - 1) \Rightarrow - m + 1 = m - 1 \Rightarrow 2 m = 2 \Rightarrow m = 1$

$y = m - 2 \pm x \sqrt{x - 2}$

$\begin{array}{l} i f m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2 \\ y = \pm x \sqrt{x - 2} \Rightarrow y = \pm f (x) \sqrt{g (x)} \end{array}$

به ازای $m = 2$ محور $x$ ها، محور تقارن منحنی است.

تمرین

نقطه‌ای روی محور $x$ ها بیابید که مجموع فواصل آن نقطه از نقاط $\{\begin{cases} A (1, 1) \\ B (2, 3) \end{cases}$ مینیمم باشد.

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

قرینه نقطه $A$ را نسبت به محور $x$ ها را به‌دست آورده و آن را نقطه $A^{'}$ می‌نامیم و نقطه $A$ را به $B$ وصل نموده تا محور $x$ ها را در نقطه $M$ قطع نماید، نقطه $M$ جواب مساله است، زیرا اگر نقطه دیگری مانند $N$ روی محور $x$ ها در نظر بگیریم، نشان خواهیم داد که:

$N A + N B > M A + M B$

چون نقاط $N$ و $M$ روی عمود منصف $A A^{'}$ می‌باشند، پس $\{\begin{cases} M A = M A^{'} \\ N A = N A^{'} \end{cases}$ .

هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط، فاصله‌اش از دو سر آن پاره خط به یک اندازه می‌باشد.

در مثلث $N A^{'} B$ داریم:

$A^{'} B < N A^{'} + N B \Rightarrow A^{'} M + M B < N A^{'} + N B \Rightarrow M A + M B < N A + N B$

برای به‌دست آوردن نقطه $M$ معادله خط $A^{'} B$ را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} A^{'} (1, - 1), B (2, 3) \\ m_{A^{'} B} = \frac{y_{B} - y_{A^{'}}}{x_{B} - x_{A^{'}}} \Rightarrow m_{A^{'} B} = \frac{3 - (- 1)}{2 - 1} \Rightarrow m_{A^{'} B} = 4 \\ A^{'} B : y - y_{A^{'}} = m_{A^{'} B} (x - x_{A^{'}}) \Rightarrow y - (- 1) = 4 (x - 1) \Rightarrow y + 1 = 4 (x - 1) \end{array}$

$i f y_{M} = 0 \Rightarrow 0 + 1 = 4 (x_{M} - 1) \Rightarrow 4 x_{M} - 4 = 1 \Rightarrow 4 x_{M} = 5 \Rightarrow x_{M} = \frac{5}{4}$

بنابراین نقطه مورد نظر $M (\frac{5}{4}, 0)$ می‌باشد.

تمرین

نقطه‌ای روی محور $x$ ها بیابید که مجموع فواصل آن نقطه از نقاط $\{\begin{cases} A (1, 1) \\ B (2, - 1) \end{cases}$ مینیمم باشد.

چون دو نقطه $A$ و $B$ در طرفین محور $x$ ها قرار دارند، جواب مساله نقطه برخورد $A B$ با محور $x$ ها است یعنی نقطه $C$ .

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} A (1, 1), B (2, - 1) \\ m_{A B} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} \Rightarrow m_{A B} = \frac{- 1 - 1}{2 - 1} \Rightarrow m_{A B} = - 2 \\ A B : y - y_{A} = m_{A B} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 1 = (- 2) (x - 1) \Rightarrow y - 1 = - 2 x + 2 \\ i f y_{C} = 0 \Rightarrow 0 - 1 = - 2 x_{C} + 2 \Rightarrow - 2 x_{C} = - 3 \Rightarrow x_{C} = \frac{3}{2} \end{array}$

بنابراین نقطه مورد نظر $C (\frac{3}{2}, 0)$ می‌باشد.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

تقارن در صفحه

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.