تقارن در تابع درجه سوم

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

تقارن در تابع هموگرافیکy=ax3+bx2+cx+d

قضیه

مرکز تقارن منحنی درجه سوم، نقطه عطف منحنی به طول x=b3a است که عرض آن را از روی معادله منحنی تعیین می‌شود.

اثبات

نقطه O'α,β را مرکز تقارن منحنی فرض نموده، داریم:

x=X+αy=Y+β

Y+β=aX+α3+bX+α2+cX+α+dY+β=aX3+3X2α+3α2X+α3+bX2+2αX+α2+cX+α+dY=aX3+3aα+bX2+3aα2+2bα+cX+aα3+bα2+cα+dβ    ;    Ι


if   XXif   YY

Y=aX3+X23aα+b3aα2+2bα+cX+aα3+bα2+cα+dβY=aX3X23aα+b+3aα2+2bα+cXaα3bα2cαd+β    ;    ΙΙ


با مقایسه معادلات ΙΙ,Ι جملاتی را که تغییر می‌کنند، ضریب آنها را صفر قرار می‌دهیم، داریم: 

3aα+b=0α=b3aaα3+bα2+cα+dβ=0β=aα3+bα2+cα+dO'α,β=O'b3a  ,  aα3+bα2+cα+d


طول نقطه عطف را به‌دست می‌آوریم:

y'=3ax2+2bx+cy''=6ax+2bify''=06ax+2b=0x=2b6ax=b3a


یعنی نقطه عطف منحنی تابع درجه سوم همان مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

تمرین

مرکز تقارن منحنی y=x33x2+2 را بیابید. 

چون تابع درجه سوم می‌باشد، مرکز تقارن منحنی همان نقطه عطف منحنی می‌باشد.

y'=3x26xy''=6x6ify''=06x6=0x=1y=0O'1,0

در منحنی y=x33x2+bx+2 مقدار b را چنان بیابید که مرکز تقارن منحنی روی محور x ها باشد.

y'=3x26x+by''=6x6if  y''=06x6=0x=1


چون مرکز تقارن منحنی روی محور x ها است پس عرض آن صفر است، یعنی O'1,0.


چون مرکز تقارن نقطه عطف است لذا مختصات آن در معادله منحنی صدق می‌کند، یعنی:

0=13312+b1+2b=0

مرکز تقارن منحنی y=x34x+5 را تعیین کنید. 

x=b3a=03+1=0x=0y=5Ι0,5


می‌توانیم با استفاده از مشتق دوم، طول نقطه عطف را یافته و از روی منحنی عرض آن را به‌دست آوریم.

معادله مکان هندسی مرکز تقارن منحنی y=x33mx21 وقتی m تغییر می‌کند را بیابید.

x=b3a=3m3×1y=m33m31x=my=2m31y=2x31

معادله خطی را که مرکز تقارن منحنی y=x3+b را به مرکز تقارن منحنی y=1xa وصل می کند، به‌دست آورید. 

مرکز تقارن منحنی y=x3+b نقطه I0,b و و مرکز تقارن منحنی y=1xa نقطه ωa,0 است.


معادله خطی که این دو نقطه را به‌هم وصل می‌کنند:

mIω=ywyIxwxI=0ba0=baIω:yyI=mIωxxIyb=bax0xa+yb=1

برای ارسال نظر وارد سایت شوید