تقارن در تابع کسری حالت دوم

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 23 مرتبه

تقارن در تابع کسریy=ax2+bx+ca'x2+b'x+c'

قضیه

شرط آن‌که منحنی فوق دارای یک محور تقارن موازی محور y ها باشد، آن است که: 

aa'=bb'cc'

معادله این محور تقارن به‌صورت زیر است:

x=α=b2a=b'2a'

در این حالت صورت مشتق درجه اول گشته و منحنی یک max یا min دارد. 

اثبات

محور تقارن را خط x=α فرض نموده و مبدا مختصات را به نقطه O'α,0 انتقال می‌دهیم:

x=X+α=X+αy=Y+β=Yy=ax2+bx+ca'x2+b'x+c'Y=aX+α2+bX+α+ca'X+α2+b'X+α+c'Y=aX2+2aαX+aα2+bX+bα+ca'X2+2a'αX+a'α2+b'X+b'α+c'Y=aX2+2aα+bX+aα2+bα+ca'X2+2a'α+b'X+a'α2+b'α+c'


اگر X را به -X تبدیل کنیم، نباید معادله تغییر کند و این در صورتی است که:

2aα+b=0α=b2a2a'α+b'=0α=b'2a'   b2a=b'2a'ba=b'a'bb'=aa'


aa'=bb'=cc'=ka=a'kb=b'kc=c'ky=a'kx2+b'kx+c'ka'x2+b'x+c'y=ka'x2+b'x+c'a'x2+b'x+c'y=k

خط y=k دارای بی‌شمار محور تقارن موازی محور y ها دارد.


اگر خط دل‌خواه x=α را در نظر بگیریم، قرینه هر نقطه از خط y=k نسبت به خط x=α روی خط y=k قرار خواهد گرفت، لذا بایستی:  

aa'=bb'cc'

نکته

1- در حالت خاص محور تقارن منحنی زیر، خط x=b'2a' است.

y=ca'x2+b'x+c'


2-
 اگر در منحنی y=ax2+bx+ca'x2+b'x+c' مخرج ریشه نداشته باشد، نقطه تقاطع منحنی با مجانب افقی یعنی خط y=aa' مرکز تقارن منحنی است و مختصات آن به‌صورت زیر است:

O'a'cac'a'ba'b  ,  aa'

تمرین

اگر محور تقارن منحنی y=x22x+3x22x+6 موازی محور y ها باشد، معادله محور تقارن را بیابید.

محور تقارن را خط x=α فرض نموده و مبدا مختصات را به نقطه O'α,0 انتقال می‌دهیم:

x=X+αy=Y+0=YY=X2+2αX+α22X2α+3X2+2αX+α22X2α+6=X2+2α1X+α22α+3X2+2α1X+α22α+6


اگر X را به -X تبدیل کنیم، نباید معادله تغییر کند و این در صورتی است که:

α1=0α=1x=1

محور تقارن منحنی y=4x2+6x+12x2+3x2 را بیابید.

aa'=bb'cc'42=6312x=b'2a'x=32×2x=34

محور تقارن منحنی y=x2α1x+23x2+2x+1 را به‌دست آورید. 

aa'=bb'cc'13=α+12212=3α+3α=13x=b2a=α12=1312=13x=b'2a'=26=13x=13

تمرین

مرکز تقارن منحنی y=x2x+7x2+x+3 را به‌دست آورید. 

چون مخرج ریشه ندارد، نقطه تقاطع منحنی با مجانب افقی یعنی y=1 مرکز تقارن منحنی است.

y=x2x+7x2+x+3y=11=x2x+7x2+x+32x=4x=2


پس O'2,1 مرکز تقارن منحنی است.

اگر مرکز تقارن منحنی y=ax2+bxx2+1 نقطه O'1,2 باشد، a+b را به‌دست آورید. 

محل تقاطع منحنی با مجانب افقی، مرکز تقارن منحنی است:


y=ay=ax2+bxx2+1   a=ax2+bxx2+1


a=ax2+bxx2+1ax2+a=ax2+bxa=bxx=abO'ab,a    ;    O'1,2ab=1a=ba+b=0a=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید