سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن در تابع کسری حالت دوم

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن در تابع کسری $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}}$

قضیه

شرط آن‌که منحنی فوق دارای یک محور تقارن موازی محور $y$ ها باشد، آن است که:

$\frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} \neq \frac{c}{c^{'}}$

معادله این محور تقارن به‌صورت زیر است:

$x = α = \frac{- b}{2 a} = \frac{- b^{'}}{2 a^{'}}$

در این حالت صورت مشتق درجه اول گشته و منحنی یک $m a x$ یا $m i n$ دارد.

اثبات

محور تقارن را خط $x = α$ فرض نموده و مبدا مختصات را به نقطه $O^{'} (α, 0)$ انتقال می‌دهیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = X + α = X + α \\ y = Y + β = Y \end{cases} \\ y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Y = \frac{a {(X + α)}^{2} + b (X + α) + c}{a^{'} {(X + α)}^{2} + b^{'} (X + α) + c^{'}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Y = \frac{a X^{2} + 2 a α X + a α^{2} + b X + b α + c}{a^{'} X^{2} + 2 a^{'} α X + a^{'} α^{2} + b^{'} X + b^{'} α + c^{'}} \end{array}$

$\Rightarrow Y = \frac{a X^{2} + (2 a α + b) X + a α^{2} + b α + c}{a^{'} X^{2} + (2 a^{'} α + b^{'}) X + a^{'} α^{2} + b^{'} α + c^{'}}$

اگر $X$ را به $(- X)$ تبدیل کنیم، نباید معادله تغییر کند و این در صورتی است که:

$\{\begin{cases} 2 a α + b = 0 \Rightarrow α = - \frac{b}{2 a} \\ 2 a^{'} α + b^{'} = 0 \Rightarrow α = - \frac{b^{'}}{2 a^{'}} \end{cases}〉 \frac{- b}{2 a} = \frac{- b^{'}}{2 a^{'}} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{b^{'}}{a^{'}} \Rightarrow \frac{b}{b^{'}} = \frac{a}{a^{'}}$

$\frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} = \frac{c}{c^{'}} = k \Rightarrow \{\begin{cases} a = a^{'} k \\ b = b^{'} k \\ c = c^{'} k \end{cases}$

$y = \frac{a^{'} k x^{2} + b^{'} k x + c^{'} k}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}}$

$\Rightarrow y = \frac{k (a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'})}{(a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'})}$

$\Rightarrow y = k$

خط $y = k$ دارای بی‌شمار محور تقارن موازی محور $y$ ها دارد.

اگر خط دل‌خواه $x = α$ را در نظر بگیریم، قرینه هر نقطه از خط $y = k$ نسبت به خط $x = α$ روی خط $y = k$ قرار خواهد گرفت، لذا بایستی:

$\frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} \neq \frac{c}{c^{'}}$

نکته

1- در حالت خاص محور تقارن منحنی زیر، خط $x = - \frac{b^{'}}{2 a^{'}}$ است.

$y = \frac{c}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}}$

2- اگر در منحنی $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}}$ مخرج ریشه نداشته باشد، نقطه تقاطع منحنی با مجانب افقی یعنی خط $y = \frac{a}{a^{'}}$ مرکز تقارن منحنی است و مختصات آن به‌صورت زیر است:

$O^{'} (\frac{a^{'} c - a c^{'}}{a^{'} b - a^{'} b}, \frac{a}{a^{'}})$

تمرین

اگر محور تقارن منحنی $y = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - 2 x + 6}$ موازی محور $y$ ها باشد، معادله محور تقارن را بیابید.

محور تقارن را خط $x = α$ فرض نموده و مبدا مختصات را به نقطه $O^{'} (α, 0)$ انتقال می‌دهیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = X + α \\ y = Y + 0 = Y \end{cases} \end{array}$

$Y = \frac{X^{2} + 2 α X + α^{2} - 2 X - 2 α + 3}{X^{2} + 2 α X + α^{2} - 2 X - 2 α + 6} = \frac{X^{2} + 2 (α - 1) X + α^{2} - 2 α + 3}{X^{2} + 2 (α - 1) X + α^{2} - 2 α + 6}$

اگر $X$ را به $(- X)$ تبدیل کنیم، نباید معادله تغییر کند و این در صورتی است که:

$α - 1 = 0 \Rightarrow α = 1 \Rightarrow x = 1$

محور تقارن منحنی $y = \frac{4 x^{2} + 6 x + 1}{2 x^{2} + 3 x - 2}$ را بیابید.

$\begin{array}{l} \frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} \neq \frac{c}{c^{'}} \Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{6}{3} \neq \frac{1}{- 2} \\ x = - \frac{b^{'}}{2 a^{'}} \Rightarrow x = - \frac{3}{2 \times 2} \Rightarrow x = - \frac{3}{4} \end{array}$

محور تقارن منحنی $y = \frac{x^{2} - (α - 1) x + 2}{3 x^{2} + 2 x + 1}$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} \neq \frac{c}{c^{'}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{- α + 1}{2} \neq \frac{2}{1} \Rightarrow 2 = - 3 α + 3 \Rightarrow α = \frac{1}{3} \end{array}$

$\{\begin{cases} x = - \frac{b}{2 a} = \frac{α - 1}{2} = \frac{\frac{1}{3} - 1}{2} = - \frac{1}{3} \\ x = - \frac{b^{'}}{2 a^{'}} = - \frac{2}{6} = - \frac{1}{3} \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \end{cases}$

تمرین

مرکز تقارن منحنی $y = \frac{x^{2} - x + 7}{x^{2} + x + 3}$ را به‌دست آورید.

چون مخرج ریشه ندارد، نقطه تقاطع منحنی با مجانب افقی یعنی $y = 1$ مرکز تقارن منحنی است.

$\{\begin{cases} y = \frac{x^{2} - x + 7}{x^{2} + x + 3} \\ y = 1 \end{cases}〉 1 = \frac{x^{2} - x + 7}{x^{2} + x + 3} \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$

پس $O^{'} (2, 1)$ مرکز تقارن منحنی است.

اگر مرکز تقارن منحنی $y = \frac{a x^{2} + b x}{x^{2} + 1}$ نقطه $O^{'} (- 1, 2)$ باشد، $a + b$ را به‌دست آورید.

محل تقاطع منحنی با مجانب افقی، مرکز تقارن منحنی است:

$\{\begin{cases} y = a \\ y = \frac{a x^{2} + b x}{x^{2} + 1} \end{cases}〉 a = \frac{a x^{2} + b x}{x^{2} + 1}$

$\begin{array}{l} a = \frac{a x^{2} + b x}{x^{2} + 1} \\ \Rightarrow a x^{2} + a = a x^{2} + b x \\ \Rightarrow a = b x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \\ \Rightarrow O^{'} (\frac{a}{b}, a); O^{'} (- 1, 2) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{b} = - 1 \Rightarrow a = - b \Rightarrow a + b = 0 \\ a = 2 \end{cases} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن در تابع کسری حالت دوم

تقارن در تابع کسری $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}}$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

تقارن در تابع کسری حالت دوم

تقارن در تابع کسریy=ax2+bx+ca'x2+b'x+c'

تقارن در تابع کسری $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}}$