قرینه یک نقطه نسبت به خط

آخرین ویرایش: 23 ارديبهشت 1404
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:

تقارن نسبت به خطax+by+c=0

قضیه

قرینه نقطه Aα,β نسبت به خط:

d:ax+by+c=0

نقطه A'α+2aλ  ,  β+2bλ است که در آن λ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

λ=aα+bβ+ca2+b2

اثبات

قرینه نقطه Aα,β نسبت به خط مزبور، نقطه A'xA',yA' بوده و نقطه H روی خط d وسط AA' است.

md=abmAA'=1md=baAA':yyA=mAA'xxAyβ=baxα

yβb=xαa=λxHαa=λxH=α+aλyHβb=λyH=β+bλ


مختصات HxH,yHd در معادله خط d صادق است:


d:ax+by+c=0aα+aλ+bβ+bλ+c=0

aα+a2λ+bβ+b2λ+c=0aα+bβ+c=a2λb2λλ=aα+bβ+ca2+b2

توجه کنید که:

xH=α+xA'2xA'=2xHα=2α+aλα=2α+2aλα=α+2aλ

yH=β+yA'2yA'=2yHβ=2β+bλβ=2β+2bλβ=β+2bλ

تمرین

قرینه نقطه A2,3 را نسبت به خط y=x+2 بیابید.  

xy+2=0Aα=2,β=3

λ=aα+bβ+ca2+b2=12+13+212+12=12


xA'=α+2aλ=2+2112=1yA'=β+2bλ=3+2112=4A'1,4

قرینه نقطه A1,2 را نسبت به خط 3x+2y7=0 به‌دست آورید.  

چون A1,2 در خط مفروض صادق است، قرینه‌اش خود نقطه A است. 

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1404

نقطه A'  تصویر نقطه A در بازتاب نسبت به خط d و نقطه O روی خط d قرار دارد.

اگر OA'=10 و فاصله نقطه A' از  خط OA برابر 9.6 باشد، مجموع مقادیر ممکن برای AA' کدام است؟

  1. 28
  2. 22
  3. 20
  4. 14
مشاهده پاسخ تست بستن

برای ارسال نظر وارد سایت شوید