قرینه یک نقطه نسبت به خط

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 43 مرتبه

تقارن نسبت به خطax+by+c=0

قضیه

قرینه نقطه Aα,β نسبت به خط:

d:ax+by+c=0

نقطه A'α+2aλ  ,  β+2bλ است که در آن λ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

λ=aα+bβ+ca2+b2

اثبات

قرینه نقطه نسبت به خط - پیمان گردلو

قرینه نقطه Aα,β نسبت به خط مزبور، نقطه A'xA',yA' بوده و نقطه H روی خط d وسط AA' است.

md=abmAA'=1md=baAA':yyA=mAA'xxAyβ=baxαyβb=xαa=λxHαa=λxH=α+aλyHβb=λyH=β+bλ


مختصات HxH,yHd در معادله خط d صادق است:


d:ax+by+c=0aα+aλ+bβ+bλ+c=0aα+a2λ+bβ+b2λ+c=0aα+bβ+c=a2λb2λλ=aα+bβ+ca2+b2

توجه کنید که:

xH=α+xA'2xA'=2xHα=2α+aλα=2α+2aλα=α+2aλyH=β+yA'2yA'=2yHβ=2β+bλβ=2β+2bλβ=β+2bλ

تمرین

قرینه نقطه A2,3 را نسبت به خط y=x+2 بیابید.  

xy+2=0Aα=2  ,  β=3λ=aα+bβ+ca2+b2=12+13+212+12=12xA'=α+2aλ=2+2112=1yA'=β+2bλ=3+2112=4A'1,4

قرینه نقطه A1,2 را نسبت به خط 3x+2y7=0 به‌دست آورید.  

چون A1,2 در خط مفروض صادق است، قرینه‌اش خود نقطه A است. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید