تقارن در تابع ضمنی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

تقارن در تابع ضمنیAx2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

قضیه

منحنی زیر را در نظر بگیرید:

fx,yAx2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

مرکز تقارن منحنی به معادله فوق  از حل دستگاه زیر  به‌دست می‌آید.

f'xx,y=0f'yx,y=0

f'xx,y مشتق fx,y نسبت به x وقتی y ثابت است.

f'yx,y مشتق fx,y نسبت به y وقتی x ثابت است.

اثبات

مرکز تقارن منحنی را O'α,β فرض نموده و محورها را به نقطه O' به موازات خود انتقال می‌دهیم:

x=X+αy=Y+β

AX+α2+2BX+αY+β+CY+β2+2DX+α+2EY+β+F=0AX2+2BXY+CY2+X2Aα+2Bβ+2D+Y2Bα+2Cβ+2E+K=0


اگر XXYY تبدیل شوند، معادله بالا نباید تغییر کند و این در صورتی است که ضرایب X و Y صفر باشند، یعنی:

2Aα+2Bβ+2D=0    ;    Ι2Bα+2Cβ+2E=0    ;    ΙΙ


f'xx,y=0f'yx,y=0 را تشکیل داده، داریم:

f'xx,y=2Ax+2By+2D=0f'yx,y=2Bx+2Cy+2E=0

این معادلات همان معادلات ΙΙ,Ι بوده که در آن x و y همان α و β است.

نکته

1- معادلات f'xx,y=0f'yx,y=0  محورهای تقارن دایره، بیضی، هذلولی، سهمی را به‌شرط آن‌که B=0 باشد، مشخص می‌نمایند.

2- اگر معادله منحنی از درجه دوم یعنی شامل x2 و y2 یا xy باشد و دارای دو مجانب باشد نقطه محل برخورد مجانب‌ها، مرکز تقارن منحنی است مانند تابع هموگرافیک.

3- محور تقارن منحنی به معادله y=ax2+bx+c خط x=b2a است و این خط از max یا min و راس سهمی منحنی می‌گذرد.

محور تقارن منحنی به معادله x=ay2+by+c خط y=b2a 


4-
  منحنی زیرا در نظر بگیرید:

ax+by+ca'x+b'y+c'=k

مرکز تقارن منحنی فوق جواب دستگاه زیر است:

ax+by+c=0a'x+b'y+c'=0

تمرین

مرکز تقارن منحنی به معادله y=x+1x1 را بیابید.

y=x+1x1yxy=x+1fx,y=yxyx1f'xx,y=0y1=0y=1f'yx,y=0x1=0x=1O'1,1

اگر مرکز تقارن منحنی به معادله زیر در نقطه O'1,1 باشد، a و b را بیابید. 

y=x2bx+2xa

y=x2bx+2xax2bx+2=yxyafx,y=x2bx+2yx+ya


f'xx,y=02xby=0y=1x=121b1=0b=1f'yx,y=0x+a=0x=ax=1a=1

مرکز تقارن منحنی به معادله زیر را بیابید. 

y=x1±4x2

y=x1±4x2yx+1=±4x2yx+12=4x2y2+x2+12yx+2y2x=4x22x22yx+y2+2y2x3=0f'xx,y=04x2y2=0f'yx,y=02x+2y+2=0x=0y=1O'0,1

مرکز تقارن منحنی زیر را بیابید.

y=x2+2x+5x3

روش اول:

y=x2+2x+5x3yx3y=x2+2x+5fx,y=yx3yx22x5f'xx,y=0y2x2=0y=2x+2f'yx,y=0x3=0x=3y=8O'3,8


روش دوم:

چون معادله منحنی پس از طرفین وسطین از درجه دوم است و دارای دو مجانب می‌باشد، محل برخورد مجانب ها مرکز تقارن منحنی است.

if   yx3=0x=3


x2+2x+5   x3x2+3x        x+5       5x+5   ¯  5x+15          20      ¯


x=3y=x+5y=8   O'3,8

مرکز تقارن منحنی زیر  را به‌دست آورید.

7x24xy+y26x1=0

7x24xy+y26x1=0fx,y=7x24xy+y26x1f'xx,y=014x4y6=0f'yx,y=04x+2y=0x=1y=2ω1,2

تمرین

معادلات محورهای تقارن منحنی‌های زیر را به‌دست آورید.

2x2+3y26x8y=0

fx,y=2x2+3y26x8yf'xx,y=04x6=0x=32f'yx,y=06y8=0y=43

y=ax2+bx+c

fx,y=yax2bxcf'xx,y=02axb=0x=b2af'yx,y=010

تمرین

اگر محور تقارن منحنی x=y2ay+2 خط y=1 باشد، a را بیابید.

x=y2ay+2fx,y=xy2+ay2f'yx,y=02y+a=02y=ay=1a=2

نشان دهید محور تقارن منحنی زیر، خط y=1 است.

y22yx=0

مبدا مختصات را به نقطه O'α=0  ,  β=1 انتقال داده و معادله منحنی را در دستگاه جدید می‌نویسیم:

x=X+αx=Xy=Y+βy=Y+1y22yx=0Y+122Y+1X=0Y2+2Y+12Y2X=0Y2X1=0


اگر در این معادله Y را به -Y تبدیل نماییم، معادله تغییر نمی‌کند پس محور تقارن محور x های جدید یعنی خط y=1 است.

اگر محور تقارن منحنی y22yx=0 خطی به موازات محور x ها باشد، معادله محور تقارن را بیابید.

فرض کنیم y=β محور تقارن منحنی بوده، مبدا مختصات را به نقطه O'0,β انتقال داده، داریم:

x=X+α=X+0y=Y+βY+β22Y+βX=0Y2+2βY+β22Y2βX=0Y2+2Yβ1X+β22β=0


اگر در این معادله Y را به -Y تبدیل نماییم، معادله نباید تغییر ‌کند، در این‌صورت لازم است که:

β1=0β=1

برای ارسال نظر وارد سایت شوید