سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن در تابع ضمنی

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن در تابع ضمنی $A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$

قضیه

منحنی زیر را در نظر بگیرید:

$f (x, y) A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$

مرکز تقارن منحنی به معادله فوق از حل دستگاه زیر به‌دست می‌آید.

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \end{cases}$

${f^{'}}_{x} (x, y)$ مشتق $f (x, y)$ نسبت به $x$ وقتی $y$ ثابت است.

${f^{'}}_{y} (x, y)$ مشتق $f (x, y)$ نسبت به $y$ وقتی $x$ ثابت است.

اثبات

مرکز تقارن منحنی را $O^{'} (α, β)$ فرض نموده و محورها را به نقطه $O^{'}$ به موازات خود انتقال می‌دهیم:

$\{\begin{cases} x = X + α \\ y = Y + β \end{cases}$

$\begin{array}{l} A {(X + α)}^{2} + 2 B (X + α) (Y + β) + C {(Y + β)}^{2} + 2 D (X + α) + 2 E (Y + β) + F = 0 \end{array}$

$A X^{2} + 2 B X Y + C Y^{2} + X (2 A α + 2 B β + 2 D) + Y (2 B α + 2 C β + 2 E) + K = 0$

اگر $\{\begin{cases} X \to - X \\ Y \to - Y \end{cases}$ تبدیل شوند، معادله بالا نباید تغییر کند و این در صورتی است که ضرایب $X$ و $Y$ صفر باشند، یعنی:

$\{\begin{cases} 2 A α + 2 B β + 2 D = 0; (Ι) \\ 2 B α + 2 C β + 2 E = 0; (Ι Ι) \end{cases}$

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \end{cases}$ را تشکیل داده، داریم:

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 2 A x + 2 B y + 2 D = 0 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 2 B x + 2 C y + 2 E = 0 \end{cases}$

این معادلات همان معادلات $(Ι Ι), (Ι)$ بوده که در آن $x$ و $y$ همان $α$ و $β$ است.

نکته

1- معادلات $\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \end{cases}$ محورهای تقارن دایره، بیضی، هذلولی، سهمی را به‌شرط آن‌که $B = 0$ باشد، مشخص می‌نمایند.

2- اگر معادله منحنی از درجه دوم یعنی شامل $x^{2}$ و $y^{2}$ یا $x y$ باشد و دارای دو مجانب باشد نقطه محل برخورد مجانب‌ها، مرکز تقارن منحنی است مانند تابع هموگرافیک.

3- محور تقارن منحنی به معادله $y = a x^{2} + b x + c$ خط $x = - \frac{b}{2 a}$ است و این خط از $m a x$ یا $m i n$ و راس سهمی منحنی می‌گذرد.

محور تقارن منحنی به معادله $x = a y^{2} + b y + c$ خط $y = - \frac{b}{2 a}$

4- منحنی زیرا در نظر بگیرید:

$(a x + b y + c) (a^{'} x + b^{'} y + c^{'}) = k$

مرکز تقارن منحنی فوق جواب دستگاه زیر است:

$\{\begin{cases} a x + b y + c = 0 \\ a^{'} x + b^{'} y + c^{'} = 0 \end{cases}$

تمرین

مرکز تقارن منحنی به معادله $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ را بیابید.

$\begin{array}{l} y = \frac{x + 1}{x - 1} \Rightarrow y x - y = x + 1 \Rightarrow f (x, y) = y x - y - x - 1 \end{array}$

$\{\begin{array}{l} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}〉 O^{'} (1, 1)$

اگر مرکز تقارن منحنی به معادله زیر در نقطه $O^{'} (1, 1)$ باشد، $a$ و $b$ را بیابید.

$y = \frac{x^{2} - b x + 2}{x - a}$

$\Rightarrow x^{2} - b x + 2 = y x - y a$

$\Rightarrow f (x, y) = x^{2} - b x + 2 - y x + y a$

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow 2 x - b - y = 0 \to_{y = 1}^{x = 1} 2 (1) - b - (1) = 0 \Rightarrow b = 1 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow - x + a = 0 \Rightarrow x = - a \overset{x = 1}{\to} a = - 1 \end{cases}$

مرکز تقارن منحنی به معادله زیر را بیابید.

$y = x - 1 \pm \sqrt{4 - x^{2}}$

$\begin{array}{l} y = x - 1 \pm \sqrt{4 - x^{2}} \\ \Rightarrow y - x + 1 = \pm \sqrt{4 - x^{2}} \\ \Rightarrow {(y - x + 1)}^{2} = 4 - x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} + x^{2} + 1 - 2 y x + 2 y - 2 x = 4 - x^{2} \\ \Rightarrow 2 x^{2} - 2 y x + y^{2} + 2 y - 2 x - 3 = 0 \end{array}$

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow 4 x - 2 y - 2 = 0 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow - 2 x + 2 y + 2 = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 1 \end{cases}〉 O^{'} (0, - 1)$

مرکز تقارن منحنی زیر را بیابید.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x - 3}$

روش اول:

$\begin{array}{l} y = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x - 3} \end{array}$

$\Rightarrow y x - 3 y = x^{2} + 2 x + 5$

$\Rightarrow f (x, y) = y x - 3 y - x^{2} - 2 x - 5$

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow y - 2 x - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 x + 2 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 8 \end{cases}〉 O^{'} (3, 8)$

روش دوم:

چون معادله منحنی پس از طرفین وسطین از درجه دوم است و دارای دو مجانب می‌باشد، محل برخورد مجانب ها مرکز تقارن منحنی است.

$i f y \to \infty \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 5 x - 3 \\ - x^{2} + 3 x x + 5 \\ \bar{5 x + 5} \\ - 5 x + 15 \\ \bar{20} \end{array}$

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = x + 5 \Rightarrow y = 8 \end{cases}〉 O^{'} (3, 8)$

مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

$7 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 6 x - 1 = 0$

$\begin{array}{l} 7 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 6 x - 1 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow f (x, y) = 7 x^{2} -^{2} - 6 x - 1$

$\{\begin{array}{l} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow 14 x - 4 y - 6 = 0 \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow - 4 x + 2 y = 0 \end{array}〉 \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}〉 ω (1, 2)$

تمرین

معادلات محورهای تقارن منحنی‌های زیر را به‌دست آورید.

$2 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x - 8 y = 0$

$\begin{array}{l} f (x, y) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x - 8 y \\ \{\begin{cases} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow 4 x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \\ {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow 6 y - 8 = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{3} \end{cases} \end{array}$

$y = a x^{2} + b x + c$

$\begin{array}{l} f (x, y) = y - a x^{2} - b x - c \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} {f^{'}}_{x} (x, y) = 0 \Rightarrow - 2 a x - b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{2 a} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow 1 \neq 0 \end{matrix}$

تمرین

اگر محور تقارن منحنی $x = y^{2} - a y + 2$ خط $y = 1$ باشد، $a$ را بیابید.

$\begin{array}{l} x = y^{2} - a y + 2 \Rightarrow f (x, y) = x - y^{2} + a y - 2 \end{array}$

$\begin{matrix} {f^{'}}_{y} (x, y) = 0 \Rightarrow - 2 y + a = 0 \Rightarrow 2 y = a \overset{y = 1}{\to} a = 2 \end{matrix}$

نشان دهید محور تقارن منحنی زیر، خط $y = 1$ است.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

مبدا مختصات را به نقطه $O^{'} (α = 0, β = 1)$ انتقال داده و معادله منحنی را در دستگاه جدید می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = X + α \Rightarrow x = X \\ y = Y + β \Rightarrow y = Y + 1 \end{cases} \\ y^{2} - 2 y - x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(Y + 1)}^{2} - 2 (Y + 1) - (X) = 0 \\ \Rightarrow Y^{2} + 2 Y + 1 - 2 Y - 2 - X = 0 \\ \Rightarrow Y^{2} - X - 1 = 0 \end{array}$

اگر در این معادله $Y$ را به $(- Y)$ تبدیل نماییم، معادله تغییر نمی‌کند پس محور تقارن محور $x$ های جدید یعنی خط $y = 1$ است.

اگر محور تقارن منحنی $y^{2} - 2 y - x = 0$ خطی به موازات محور $x$ ها باشد، معادله محور تقارن را بیابید.

فرض کنیم $y = β$ محور تقارن منحنی بوده، مبدا مختصات را به نقطه $O^{'} (0, β)$ انتقال داده، داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = X + α = X + 0 \\ y = Y + β \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(Y + β)}^{2} - 2 (Y + β) - X = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Y^{2} + 2 β Y + β^{2} - 2 Y - 2 β - X = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Y^{2} + 2 Y (β - 1) - X + β^{2} - 2 β = 0 \end{array}$

اگر در این معادله $Y$ را به $(- Y)$ تبدیل نماییم، معادله نباید تغییر ‌کند، در این‌صورت لازم است که:

$β - 1 = 0 \Rightarrow β = 1$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن در تابع ضمنی

تقارن در تابع ضمنی $A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

تقارن در تابع ضمنی

تقارن در تابع ضمنیAx2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

تقارن در تابع ضمنی $A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$