تقارن نسبت به خط قائم

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به خط قائم $x = α$ ، نقطه $A^{'} (2 α - x, y)$ است.

اثبات

$x_{H} = \frac{x_{A} + x_{A^{'}}}{2} \Rightarrow α = \frac{x + x_{A^{'}}}{2} \Rightarrow x_{A^{'}} = 2 α - x$

نکته

1- برای تعیین قرینه یک منحنی نسبت به خط $x = α$ در معادله منحنی $(x)$ را به $(2 α - x)$ تبدیل می‌کنیم.

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکرد، خط $x = α$ محور تقارن منحنی است.

2- اگر خط $x = α$ محور تقارن منحنی $f (x, y) = 0$ باشد، خواهیم داشت:

$f (2 α - x, y) \equiv f (x, y)$

3- در هر تابعی که به‌صورت زیر باشد، خط $x = α$ محور تقارن منحنی زیرا می‌توان ثابت کرد که $f (2 α - x, y) \equiv f (x, y)$ :

$y = a {(x - α)}^{2 k} + b; k \in N$

4- در تابع $y = {(a x + b)}^{m}$ اگر $m$ فرد باشد، نقطه $ω (- \frac{b}{a}, 0)$ مرکز تقارن منحنی است زیرا می‌توان ثابت کرد:

$f (- \frac{2 b}{a} - x, - y) \equiv f (x, y)$

تمرین

قرینه منحنی $y = x^{2} - 2 x$ را نسبت به خط $x = 1$ بیابید.

$\begin{array}{l} x \to 2 α - x \\ x \to 2 (1) - x \\ x \to x \to 2 - x \end{array}$

$y = {(2 - x)}^{2} - 2 (2 - x) \Rightarrow y = x^{2} - 2 x$

چون معادله به‌دست آمده همان معادله اولیه می‌باشد، پس خط $x = 1$ محور تقارن معادله است.

قرینه منحنی $y = x^{3}$ را نسبت به خط $x + 2 = 0$ بیابید.

$\begin{array}{l} x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow α = - 2 \\ x \to 2 α - x \\ x \to 2 (- 2) - x \\ x \to - 4 - x \end{array}$

$y = {(- 4 - x)}^{3} \Rightarrow y = - {(x + 4)}^{3}$

تمرین

اگر $x = α$ معادله محور تقارن منحنی $y = x^{2} - 4 x + 5$ باشد، مقدار $α$ را بیابید.

$\{\begin{cases} f (x, y) = y - x^{2} + 4 x - 5 \\ f (2 α - x, y) = y - {(2 α - x)}^{2} + 4 (2 α - x - 5) \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (2 α - x, y) \equiv f (x, y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - {(2 α - x)}^{2} + 4 (2 α - x) - 5 \equiv y - x^{2} + 4 x - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - 4 α^{2} - x^{2} + 4 α x + 8 α - 4 x - 5 \equiv y - x^{2} + 4 x - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - x^{2} + (4 α - 4) x + (8 α - 4 α^{2} - 5) \equiv y - x^{2} + 4 x - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 α - 4 = 4 \\ \Rightarrow 4 α = 8 \\ \Rightarrow α = 2 \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه