سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن در تابع هموگرافیک

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن در تابع هموگرافیک $y = \frac{a x + b}{a^{'} x + b^{'}}$

قضیه

مرکز تقارن تابع هموگرافیک محل تقاطع مجانب‌ها یعنی نقطه زیر می‌باشد:

$O^{'} (- \frac{b^{'}}{a^{'}}, \frac{a}{a^{'}})$

اثبات

$\begin{array}{l} y = \frac{a x + b}{a^{'} x + b^{'}} \Rightarrow a^{'} x y + b^{'} y = a x + b \end{array}$

$\begin{array}{l} i f y = c t e \Rightarrow {(y)}^{'} = {(c t e)}^{'} \Rightarrow a^{'} y = a \Rightarrow y = \frac{a}{a^{'}} \end{array}$

$i f x = c t e \Rightarrow {(x)}^{'} = c t e \Rightarrow a^{'} x + b^{'} = 0 \Rightarrow x = - \frac{b^{'}}{a^{'}}$

بنابراین داریم:

$O^{'} (- \frac{b^{'}}{a^{'}}, \frac{a}{a^{'}})$

نکته

1- اگر $x$ به‌سمت $\infty$ میل کند، $y = \frac{a}{a^{'}}$ مجانب افقی است.

2- اگر $y$ به‌سمت $\infty$ میل کند، $x = - \frac{b^{'}}{a^{'}}$ مجانب قائم است.

3- محل برخورد مجانب‌ها، مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

قضیه

با استفاده از ماتریس تعامد، معادلات محورهای تقارن تابع هموگرافیک $y = \frac{a x + b}{a^{'} x + b^{'}}$ به‌صورت زیر است:

$\{\begin{cases} y = - x + \frac{a - b^{'}}{a^{'}} \\ y = x + \frac{a + b^{'}}{a^{'}} \end{cases}$

ضریب زاویه‌های معادلات فوق به ترتیب $(- 1)$ و $(1)$ به موازات نیمسازها است.

اثبات

$y = \frac{a x + b}{a^{'} x + b^{'}}$

$\Rightarrow a^{'} y x + b^{'} y = a x + b$

$\Rightarrow a^{'} x y + b^{'} y - a x - b = 0$

$\Rightarrow f (x, y) = 0$

برای به‌دست آوردن محورهای تقارن منحنی به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

$A = [\begin{matrix} 0 & \frac{a^{'}}{2} \\ \frac{a^{'}}{2} & 0 \end{matrix}]$

$|\begin{matrix} 0 - k & \frac{a^{'}}{2} \\ \frac{a^{'}}{2} & 0 - k \end{matrix}| = k^{2} - \frac{{a^{'}}^{2}}{4} = 0 \Rightarrow k = \pm \frac{a^{'}}{2} \Rightarrow k = \frac{a^{'}}{2} \Rightarrow y = x$

$[\begin{matrix} 0 & \frac{a^{'}}{2} \\ \frac{a^{'}}{2} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = k [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] \Rightarrow \frac{a^{'}}{2} y = k x \Rightarrow \frac{a^{'}}{2} y = \frac{a^{'}}{2} x \Rightarrow y = x$

به‌ازای $x = 1$ یکی از بردارهای ویژه به‌صورت $[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}]$ می‌باشد و به ازای $k = - \frac{a^{'}}{2}$ داریم $y = - x$ .

به‌ازای $x = 1$ یکی از بردارهای ویژه به‌صورت $[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}]$ می‌باشد و ماتریس تبدیل تعامد $V$ به‌صورت زیر است:

$V = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}]$

$X = V X_{1} \Rightarrow [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \end{array}] \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2} x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{1} \\ y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{1} \end{cases}$

اگر چون مقادیر $x$ و $y$ را در معادله $f (x, y) = 0$ قرار دهیم، داریم:

$\begin{array}{l} - \frac{a^{'}}{2} x_{1}^{2} + \frac{a^{'}}{2} y_{1}^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} b^{'} x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} b^{'} y_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} a x_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} a y_{1} - b = 0 \end{array}$

$f (x_{1} . y_{1}) = x_{1}^{2} + \frac{\sqrt{2}}{a^{'}} (b^{'} + a) x_{1} - y_{1}^{2} - \frac{\sqrt{2}}{a^{'}} (b^{'} - a) y_{1} + \frac{2 b}{a^{'}} = 0$

چون معادله بالا جمله $x_{1} y_{1}$ ندارد، پس محورهای تقارن از معادلات به‌دست می‌آیند:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{x_{1}} (x_{1}, y_{1}) = 0 \Rightarrow 2 x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{a^{'}} (b^{'} + a) = 0 \Rightarrow x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2 a^{'}} (b^{'} + a) \end{array}$

${f^{'}}_{y_{1}} (x_{1}, y_{1}) = 0 \Rightarrow - 2 y_{1} - \frac{\sqrt{2}}{a^{'}} (b^{'} - a) = 0 \Rightarrow y_{1} = \frac{- \sqrt{2}}{2 a^{'}} (b^{'} - a)$

$\begin{array}{l} x + y = \sqrt{2} y_{1} \Rightarrow x + y = \sqrt{2} \times [\frac{- \sqrt{2}}{2 a^{'}} (b^{'} - a)] \Rightarrow y = - x + \frac{a - b^{'}}{a^{'}} \end{array}$

$x - y = \sqrt{2} x_{1} \Rightarrow x - y = \sqrt{2} \times [- \frac{\sqrt{2} (b^{'} + a)}{2 a^{'}}] \Rightarrow y = x + \frac{a + b^{'}}{a^{'}}$

بنابراین محورهای تقارن هذلولی بالا خطوط به معادلات زیر است:

$\{\begin{cases} y = - x + \frac{a - b^{'}}{a^{'}} \\ y = x + \frac{a + b^{'}}{a^{'}} \end{cases}$

تمرین

معادله محورهای تقارن منحنی $y = \frac{x + 2}{4 x + 3}$ را بیابید.

$\begin{array}{l} y = x + \frac{a + b^{'}}{a^{'}} \Rightarrow y = x + \frac{1 + 3}{4} \Rightarrow y = x + 1 \end{array}$

$y = - x + \frac{a - b^{'}}{a^{'}} = - x + \frac{1 - 3}{4} \Rightarrow y = - x - \frac{1}{2}$

معادله مکان هندسی مرکز تقارن منحنی زیر را وقتی $m$ تغییر می‌کند را بیابید.

$y = \frac{(m - 1) x + 2}{x - 2 m}$

$\{\begin{array}{l} i f x \to \infty \Rightarrow y = \frac{m - 1}{1} \Rightarrow y = m - 1 \\ i f y \to \infty \Rightarrow x - 2 m = 0 \Rightarrow x = 2 m \end{array}〉 O^{'} (x = 2 m, y = m - 1)$

برای به‌دست آوردن معادله مکان نقطه $O^{'}$ بین $x$ و $y$ پارامتر $m$ را حذف می‌کنیم.

$\{\begin{cases} x = 2 m \Rightarrow m = \frac{x}{2} \\ y = m - 1 \end{cases}〉 y = \frac{x}{2} - 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} x - 1$

مکان هندسی مرکز تقارن منحنی زیر را وقتی $m$ تغییر می‌کند را بیابید.

$y = \frac{(m^{2} + 1) x + 3}{x - m}$

$\begin{array}{l} O^{'} (- \frac{b^{'}}{a^{'}}, \frac{a}{a^{'}}) = O^{'} (- \frac{(- m)}{1}, \frac{m^{2} + 1}{1}) = O^{'} (m, m^{2} + 1) \end{array}$

$\{\begin{array}{l} x = m \\ y = m^{2} + 1 \end{array}〉 y = x^{2} + 1$

برای به‌دست آوردن معادله مکان نقطه $O^{'}$ بین $x$ و $y$ پارامتر $m$ را حذف می‌کنیم.

نشان دهید نقطه $O^{'} (1, 1)$ مرکز تقارن منحنی $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ می‌باشد.

مبدا مختصات را به نقطه $O^{'} (α = 1, β = 1)$ انتقال داده، داریم:

$\{\begin{cases} x = X + α = X + 1 \\ y = X + β = Y + 1 \end{cases}$

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

$\Rightarrow (Y + 1) = \frac{(X + 1) + 1}{(X + 1) - 1}$

$\Rightarrow Y = \frac{X + 2}{X} - 1$

$\Rightarrow Y = \frac{2}{X}$

اگر در این معادله $X$ را به $(- X)$ و $Y$ را به $(- Y)$ تبدیل کنیم معادله نباید تغییر کند، داریم:

$- Y = - \frac{1}{X} \Rightarrow Y = \frac{1}{X}$

لذا مبدا جدید یعنی $O^{'} (1, 1)$ مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

اگر مرکز تقارن منحنی زیر روی خط $2 x - y = 1$ باشد، $m$ را به‌دست آورید.

$y = \frac{m x + 1}{x - m + 2}$

$\begin{array}{l} O^{'} (- \frac{b^{'}}{a^{'}}, \frac{a}{a^{'}}) \end{array}$

$O^{'} (m - 2, m) \in d \Rightarrow 2 (m - 2) - (m) = 1 \Rightarrow 2 m - 4 - m = 1 \Rightarrow m = 5$

مرکز تقارن مکان هندسی نقطه زیر ، وقتی $m$ تغییر می‌کند را بیابید.

$p (\frac{m + 2}{m - 1}, \frac{m + 1}{m - 2})$

مکان هندسی نقطه $p$ را تعیین می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x = \frac{m + 2}{m - 1} \end{array}$

$\Rightarrow m x - x = m + 2$

$\Rightarrow m x - m = x + 2$

$\Rightarrow m = \frac{x + 2}{x - 1}$

$\begin{array}{l} y = \frac{m + 1}{m - 2} \Rightarrow y = \frac{\frac{x + 2}{x - 1} + 1}{\frac{x + 2}{x - 1} - 2} \Rightarrow y = \frac{2 x + 1}{- x + 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} O^{'} (- \frac{b^{'}}{a^{'}}, \frac{a}{a^{'}}) \Rightarrow O^{'} (4, - 2) \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن در تابع هموگرافیک

تقارن در تابع هموگرافیک $y = \frac{a x + b}{a^{'} x + b^{'}}$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

تقارن در تابع هموگرافیک

تقارن در تابع هموگرافیکy=ax+ba'x+b'

تقارن در تابع هموگرافیک $y = \frac{a x + b}{a^{'} x + b^{'}}$