تقارن در تابع هموگرافیک

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

تقارن در تابع هموگرافیکy=ax+ba'x+b'

قضیه

مرکز تقارن تابع هموگرافیک محل تقاطع مجانب‌ها یعنی نقطه زیر می‌باشد: 

O'b'a'  ,  aa'

اثبات

y=ax+ba'x+b'a'xy+b'y=ax+bif   y=ctey'=cte'a'y=ay=aa'if   x=ctex'=ctea'x+b'=0x=b'a'O'b'a',aa'

نکته

1- اگر x به‌سمت  میل کند، y=aa' مجانب افقی است.   

2- اگر y به‌سمت  میل کند، x=b'a' مجانب قائم است.   

3- محل برخورد مجانب‌ها، مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

قضیه

با استفاده از ماتریس تعامد، معادلات محورهای تقارن تابع هموگرافیک y=ax+ba'x+b' به‌صورت زیر است: 

y=x+ab'a'y=x+a+b'a'

ضریب زاویه‌های معادلات فوق به ترتیب -1 و 1 به موازات نیمسازها است.

اثبات

y=ax+ba'x+b'a'yx+b'y=ax+ba'xy+b'yaxb=0fx,y=0


برای به‌دست آوردن محورهای تقارن منحنی به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

A=0a'2a'20    ,    0ka'2a'20k=k2a'24=0k=±a'2k=a'2y=x

0a'2a'20xy=kxya'2y=kxa'2y=a'2xy=x

به‌ازای x=1 یکی از بردارهای ویژه به‌صورت 11 می‌باشد و به ازای k=a'2 داریم y=-x.

به‌ازای x=1 یکی از بردارهای ویژه به‌صورت 11 می‌باشد و ماتریس تبدیل تعامد V به‌صورت زیر است:  

V=12121212

X=VX1xy=22222222x1y1x=22x1+22y1y=22x1+22y1


اگر چون مقادیر x و y را در معادله fx,y=0 قرار دهیم، داریم:

a'2x1  2+a'2y1  222b'x1+22b'y122ax122ay1b=0fx1.y1=x12+2a'b'+ax1y122a'b'ay1+2ba'=0


چون معادله بالا جمله x1y1 ندارد، پس محورهای تقارن از معادلات به‌دست می‌آیند:

f'x1x1,y1=02x1+2a'b'+a=0x1=22a'b'+af'y1x1,y1=02y12a'b'a=0y1=22a'b'a

x+y=2y1x+y=2×22a'b'ay=x+ab'a'xy=2x1xy=2×2b'+a2a'y=x+a+b'a'


بنابراین محورهای تقارن هذلولی بالا خطوط به معادلات زیر است: 

y=x+ab'a'y=x+a+b'a'

تمرین

معادله محورهای تقارن منحنی y=x+24x+3 را بیابید. 

y=x+a+b'a'y=x+1+34y=x+1y=x+ab'a'=x+134y=x12

معادله مکان هندسی مرکز تقارن منحنی زیر را وقتی m تغییر می‌کند را بیابید.

y=m1x+2x2m

if   xy=m11y=m1if   yx2m=0x=2m   O'x=2m   ,   y=m1


برای به‌دست آوردن معادله مکان نقطه O' بین x و y پارامتر m را حذف می‌کنیم.

x=2mm=x2y=m1y=x21y=12x1

مکان هندسی مرکز تقارن منحنی زیر را وقتی m تغییر می‌کند را بیابید. 

y=m2+1x+3xm

O'b'a'  ,  aa'=O'm1  ,  m2+11=O'm  ,  m2+1x=my=m2+1y=x2+1


برای به‌دست آوردن معادله مکان نقطه O' بین x و y پارامتر m را حذف می‌کنیم.

نشان دهید نقطه O'1,1 مرکز تقارن منحنی y=x+1x1 می‌باشد. 

مبدا مختصات را به نقطهO'α=1,β=1انتقال داده، داریم:

x=X+α=X+1y=X+β=Y+1

y=x+1x1Y+1=X+1+1X+11Y=X+2X1Y=2X


اگر در این معادله X را به -X و Y را به -Y تبدیل کنیم معادله نباید تغییر کند، داریم:

Y=1XY=1X


لذا مبدا جدید یعنی O'1,1 مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

اگر مرکز تقارن منحنی زیر روی خط 2xy=1 باشد، m را به‌دست آورید.  

y=mx+1xm+2

O'b'a'  ,  aa'O'm2,md2m2m=12m4m=1m=5

مرکز تقارن مکان هندسی نقطه زیر ، وقتی m تغییر می‌کند را بیابید. 

pm+2m1  ,  m+1m2

مکان هندسی نقطه p را تعیین می‌کنیم:

x=m+2m1mxx=m+2mxm=x+2m=x+2x1y=m+1m2y=x+2x1+1x+2x12y=2x+1x+4                          O'b'a'  ,  aa'O'4,2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید