سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن در تابع کسری حالت اول

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن در تابع کسری $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x + b^{'}}$

نکته

1- محورهای تقارن منحنی به معادله فوق، خطوط نیمسازهای مجانب‌های قائم و مایل منحنی می‌باشد و مرکز تقارن، محل تقاطع مجانب قائم و مایل منحنی است.

2- اگر در تابع کسری، درجه صورت کسر از مخرج کسر یک درجه بیشتر باشد:

برای به‌دست آوردن معادله مجانب مایل، صورت کسر را بر مخرج کسر تقسیم نموده، تابع خارج قسمت معادله مجانب مایل است.

معادله مجانب منحنی $y = g (x) + \frac{p (x)}{h (x)}$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$i f \lim_{x \to \infty} \frac{p (x)}{h (x)} = L \Rightarrow y = g (x) + L$

3- معادله مجانب‌های منحنی زیر:

$y = m x + h + \sqrt{a x^{2} + b x + c}$

که در آن $a > 0$ است، به‌صورت زیر است:

$Y = m x + h + \sqrt{a} |x + \frac{b}{2 a}|$

$\Rightarrow Y = \{\begin{cases} m x + h + \sqrt{a} (x + \frac{b}{2 a}), x \to + \infty \\ m x + h - \sqrt{a} (x + \frac{b}{2 a}), x \to - \infty \end{cases}$

مرکز تقارن منحنی نقطه $O^{'}$ به طول $- \frac{b}{2 a}$ و عرض $m (- \frac{b}{2 a}) + h$ است.

4- در منحنی فوق، هوپیتال تابع یعنی خط $y = \frac{2 a x + b}{b^{'}}$ از مرکز تقارن منحنی می‌گذرد.

5- توابعی که به‌صورت $y = m x + n \pm \sqrt{b x + c}$ باشد، خط زیر محور تقارن آنها است.

$y = m x + n - \frac{b m}{2 (m^{2} + 1)}$

تمرین

معادلات محورهای تقارن منحنی‌های زیر را به‌دست آورید.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$

محاسبه مجانب قائم:

$y \to \infty \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$

محاسبه مجانب مایل:

$\begin{array}{l} y = \frac{x (x + 2) + 4}{x + 4} \Rightarrow y = x + \frac{4}{x + 2} \\ \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x + 2} = 0 \Rightarrow y = x \end{array}$

معادلات نیمساز خطوط $\{\begin{cases} a x + b y + c = 0 \\ a^{'} x + b^{'} y + c^{'} = 0 \end{cases}$ به‌صورت زیر است:

$\frac{a x + b y + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \pm \frac{a^{'} x + b^{'} y + c^{'}}{\sqrt{{a^{'}}^{2} + {b^{'}}^{2}}}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y - x = 0 \\ x + 2 = 0 \end{cases} \\ \frac{y - x}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1)}^{2}}} = \pm \frac{x + 2}{\sqrt{{(1)}^{2} + {(0)}^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{y - x}{\sqrt{2}} = \pm (x + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = x \pm \sqrt{2} (x + 2) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} y = (\sqrt{2} + 1) x + 2 \sqrt{2} \\ y = (1 - \sqrt{2}) x - 2 \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

$y = \frac{x^{2} + 1}{x}$

محورهای تقارن هذلولی، نیمساز زاویه بین مجانب ها است.

مجانب های منحنی $x = 0$ و $y = x$ است و نیمسازها عبارتند از:

$\frac{x - y}{\sqrt{1 + 1}} = \pm \frac{x}{\sqrt{1}} \Rightarrow y = (1 \pm \sqrt{2}) x$

تمرین

اگر مرکز تقارن منحنی $y = x + b + \frac{20}{x + a}$ نقطه $O^{'} (3, 8)$ باشد، $a$ و $b$ را بیابید.

محاسبه مجانب قائم:

$i f y \to \infty \Rightarrow x + a = 0 \Rightarrow x = - a$

محاسبه مجانب مایل:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{20}{x + a} = 0 \Rightarrow y = x + b \\ \{\begin{cases} x = - a \Rightarrow 3 = - a \Rightarrow a = - 3 \\ y = x + b \Rightarrow 8 = 3 + b \Rightarrow b = 5 \end{cases} \end{array}$

مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

$y = x + 1 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 1}$

معادله مجانب‌ها:

$\begin{array}{l} y = x + 1 \pm \sqrt{1} |x + \frac{4}{2 \times 1}| = x + 1 \pm |x + 2| \end{array}$

$y = \{\begin{cases} x + 1 + x + 2; x \to + \infty \\ x + 1 - x - 2; x \to - \infty \end{cases}〉 y = \{\begin{cases} 2 x + 3; x \to + \infty \\ - 1; x \to - \infty \end{cases}$

$y = x + 1 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 1}$

$\Rightarrow y - x - 1 = \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 1}$

$\Rightarrow {(y - x - 1)}^{2} = x^{2} + 4 x + 1$

چون معادله بالا از درجه دوم است، محل برخورد مجانب‌ها، مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

$\{\begin{cases} Y = 2 x + 3 \\ Y = - 1 \end{cases}〉 - 1 = 2 x + 3 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow O^{'} (- 2, - 1)$

مطلوب است مرکز تقارن منحنی به معادله زیر.

$y = \frac{x^{2} - x + 2}{x - 1}$

فرض کنیم نقطه $O^{'} (α, β)$ مرکز تقارن منحنی باشد و مبدا مختصات را به نقطه $O^{'}$ انتقال می‌دهیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = X + α \\ y = Y + β \end{cases} \\ Y + β = \frac{{(X + α)}^{2} - (X + α) + 2}{(X + α) - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Y = \frac{X^{2} + 2 α X + α^{2} - X - α + 2}{X + α - 1} - β \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Y = \frac{X^{2} + 2 α X + α^{2} - X - α + 2 - β X - β α + β}{X + α - 1} \end{array}$

$\Rightarrow Y = \frac{X^{2} + (2 α - β - 1) X + α^{2} - α β + β - α + 2}{X + α - 1}; (Ι)$

$X$ را به $(- X)$ و $Y$ را به $(- Y)$ تبدیل نموده، سپس طرفین معادله را در $(- 1)$ ضرب می کنیم، نباید معادله تغییر کند.

$\begin{array}{l} \Rightarrow - Y = \frac{X^{2} - (2 α - β - 1) X + α^{2} - α β + β - α + 2}{- X + α - 1} \end{array}$

$\Rightarrow Y = \frac{X^{2} - (2 α - β - 1) X + α^{2} - α β + β - α + 2}{X - α + 1}; (Ι Ι)$

با توجه معادلات $(Ι Ι), (Ι)$ جملاتی که تغییر می‌کنند، ضرایب‌شان را صفر قرار می‌دهیم:

$\{\begin{cases} 2 α - β - 1 = 0 \\ α - 1 = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} α = 1 \\ β = 1 \end{cases}〉 O^{'} (1, 1)$

مرکز تقارن منحنی زیر را تعیین کنید:

$y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 2}$

محاسبه مجانب قائم:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

محاسبه مجانب مایل:

$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 x - 2 \\ ⋮ x + 4 \\ \bar{R} \\ y = x + 4 \overset{x = 2}{\to} y = 6 \end{array}$

مرکز تقارن $O^{'} (2, 6)$ است.

مکان هندسی مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

$y = \frac{x^{2}}{x - m}$

مرکز تقارن منحنی، محل تقاطع مجانب قائم $x = m$ و مجانب مایل $y = x + m$ است.

$O^{'} (x = m, y = 2 m)$

با حذف $m$ مکان هندسی نقطه $O^{'}$ خط $y = 2 x$ خواهد بود.

اگر مرکز تقارن منحنی زیر، نقطه $O^{'} (1, 0)$ می‌باشد، $a$ و $b$ را به‌دست آورید.

$y = \frac{x^{2} + a x + 10}{x + b}$

چون مرکز تقارن تابع روی مجانب قائم قرار دارد، پس:

$x + b = 0 \Rightarrow x = - b \overset{x = 1}{\to} 1 = - b \Rightarrow b = - 1$

از طرفی مرکز تقارن روی هوپیتال تابع هم قرار دارد پس مختصات آن در $y = 2 x + a$ صدق می‌کند:

$0 = 2 (1) + a \Rightarrow a = - 2$

مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

$y = x + \sqrt{x^{2} - 4 x}$

$\begin{array}{l} y = x + \sqrt{x^{2} - 4 x} \\ \Rightarrow y - x = \sqrt{x^{2} - 4 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(y - x)}^{2} = x^{2} - 4 x \\ \Rightarrow f (x, y) = {(y - x)}^{2} - x^{2} + 4 x \end{array}$

$\{\begin{cases} {f^{'}}_{x} = 0 \Rightarrow 2 (y - x) (- 1) - 2 x + 4 = 0 \\ {f^{'}}_{y} = 0 \Rightarrow 2 (y - x) = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}〉 O^{'} (2, 2)$

تمرین

منحنی $y = 1 \pm \sqrt{2 x - x^{2}}$ دارای چند محور تقارن است؟

$\begin{array}{l} y = 1 \pm \sqrt{2 x - x^{2}} \\ \Rightarrow y - 1 = \pm \sqrt{2 x - x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(y - 1)}^{2} = 2 x - x^{2} \\ \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 \end{array}$

منحنی فوق یک دایره است، پس دایره فوق دارای بی‌شمار محور تقارن است.

اگر محور تقارن منحنی $y = m + 1 \pm \sqrt[3]{x}$ خط $y = - 3$ باشد، $m$ را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} y = m + 1 \\ y = - 3 \end{cases}〉 - 3 = m + 1 \Rightarrow m = - 4$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن در تابع کسری حالت اول

تقارن در تابع کسری $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x + b^{'}}$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

تقارن در تابع کسری حالت اول

تقارن در تابع کسریy=ax2+bx+ca'x+b'

تقارن در تابع کسری $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a^{'} x + b^{'}}$