تقارن در تابع کسری حالت اول

آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:

تقارن در تابع کسریy=ax2+bx+ca'x+b'

نکته

1- محورهای تقارن منحنی به معادله فوق، خطوط نیمسازهای مجانب‌های قائم و مایل منحنی می‌باشد و مرکز تقارن، محل تقاطع مجانب قائم و مایل منحنی است.

2- اگر در تابع کسری، درجه صورت کسر از مخرج کسر یک درجه بیشتر باشد:

برای به‌دست آوردن معادله مجانب مایل، صورت کسر را بر مخرج کسر تقسیم نموده، تابع خارج قسمت معادله مجانب مایل است.

معادله مجانب منحنی y=gx+pxhx به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

if   limxpxhx=Ly=gx+L


3- 
معادله مجانب‌های منحنی زیر:

y=mx+h+ax2+bx+c

که در آن a>0 است، به‌صورت زیر است:

Y=mx+h+ax+b2aY=mx+h+ax+b2a    ,    x+mx+hax+b2a    ,    x

مرکز تقارن منحنی نقطه O' به طول b2a و عرض mb2a+h است.


4-
 در منحنی فوق، هوپیتال تابع یعنی خط y=2ax+bb' از مرکز تقارن منحنی می‌گذرد.

5- توابعی که به‌صورت y=mx+n±bx+c باشد، خط زیر محور تقارن آنها است. 

y=mx+nbm2m2+1

تمرین

معادلات محورهای تقارن منحنی‌های زیر را به‌دست آورید.

y=x2+2x+4x+2

محاسبه مجانب قائم:

yx+2=0x=2


محاسبه مجانب مایل:

y=xx+2+4x+4y=x+4x+2limx4x+2=0y=x


معادلات نیمساز خطوطax+by+c=0a'x+b'y+c'=0به‌صورت زیر است:

ax+by+ca2+b2=±a'x+b'y+c'a'2+b'2


yx=0x+2=0yx12+12=±x+212+02yx2=±x+2y=x±2x+2y=2+1x+22y=12x22

y=x2+1x

محورهای تقارن هذلولی، نیمساز زاویه بین مجانب ها است.


مجانب های منحنی x=0 و y=x است و نیمسازها عبارتند از:

xy1+1=±x1y=1±2x

تمرین

اگر مرکز تقارن منحنی y=x+b+20x+a نقطه O'3,8 باشد، a و b را بیابید. 

محاسبه مجانب قائم:

if   yx+a=0x=a


محاسبه مجانب مایل:

limx20x+a=0y=x+bx=a3=aa=3y=x+b8=3+bb=5

مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

y=x+1±x2+4x+1

معادله مجانب‌ها:

y=x+1±1x+42×1=x+1±x+2y=x+1+x+2     ;     x+x+1x2     ;     x        y=2x+3     ;     x+1             ;     x


y=x+1±x2+4x+1yx1=±x2+4x+1yx12=x2+4x+1


چون معادله بالا از درجه دوم است، محل برخورد مجانب‌ها، مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

Y=2x+3Y=1  1=2x+3x=2O'2,1

مطلوب است مرکز تقارن منحنی به معادله زیر:

y=x2x+2x1

فرض کنیم نقطه O'α,β مرکز تقارن منحنی باشد و مبدا مختصات را به نقطه O' انتقال می‌دهیم:

x=X+αy=Y+βY+β=X+α2X+α+2X+α1Y=X2+2αX+α2Xα+2X+α1βY=X2+2αX+α2Xα+2βXβα+βX+α1Y=X2+2αβ1X+α2αβ+βα+2X+α1    ;    Ι


X را به -X و Y را به -Y تبدیل نموده، سپس طرفین معادله را در -1 ضرب می کنیم، نباید معادله تغییر کند.

Y=X22αβ1X+α2αβ+βα+2X+α1Y=X22αβ1X+α2αβ+βα+2Xα+1    ;     ΙΙ


با توجه معادلات ΙΙ,Ι جملاتی که تغییر می‌کنند، ضرایب‌شان را صفر قرار می‌دهیم:

2αβ1=0α1=0α=1β=1O'1,1

مرکز تقارن منحنی زیر را تعیین کنید:

y=x+12x2

محاسبه مجانب قائم:

x2=0x=2


محاسبه مجانب مایل:

x2+2x+1    x2                            x+4         R    ¯y=x+4x=2y=6


مرکز تقارن O'2,6 است.

مکان هندسی مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

y=x2xm

مرکز تقارن منحنی، محل تقاطع مجانب قائم x=m و مجانب مایل y=x+m است.O'x=m,y=2m


با حذف m مکان هندسی نقطه O' خط y=2x خواهد بود.   

اگر مرکز تقارن منحنی زیر، نقطه O'1,0 می‌باشد، a و b را به‌دست آورید.  

y=x2+ax+10x+b

چون مرکز تقارن تابع روی مجانب قائم قرار دارد، پس:

x+b=0x=bx=11=bb=1


از طرفی مرکز تقارن روی هوپیتال تابع هم قرار دارد پس مختصات آن در y=2x+a صدق می‌کند:

0=21+aa=2

مرکز تقارن منحنی زیر را به‌دست آورید.

y=x+x24x

y=x+x24xyx=x24xyx2=x24xfx,y=yx2x2+4x


f'x=02yx12x+4=0f'y=02yx=0x=2y=2  O'2,2

تمرین

منحنی y=1±2xx2 دارای چند محور تقارن است؟

y=1±2xx2y1=±2xx2y12=2xx2x12+y12=1


منحنی فوق یک دایره است، پس دایره فوق دارای بی‌شمار محور تقارن است.

اگر محور تقارن منحنی y=m+1±x3 خط y=-3 باشد، m را به‌دست آورید. 

y=m+1y=33=m+1m=4

برای ارسال نظر وارد سایت شوید