سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن نسبت به خط افقی

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن نسبت به خط افقی $y = β$

قضیه

قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به خط افقی $y = β$ ، نقطه $A^{'} (x, 2 β - y)$ است.

اثبات

$y_{H} = \frac{y_{A} + y_{A^{'}}}{2} \Rightarrow β = \frac{y + y_{A^{'}}}{2} \Rightarrow y_{A^{'}} = 2 β - y$

نکته

1- برای تعیین قرینه یک منحنی نسبت به خط $y = β$ در معادله منحنی $(y)$ را به $(2 β - y)$ تبدیل می‌کنیم.

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکرد، خط $y = β$ محور تقارن منحنی است.

2- اگر خط $y = β$ محور تقارن منحنی $f (x, y) = 0$ باشد، خواهیم داشت:

$f (x, 2 β - y) \equiv f (x, y)$

3- محور تقارن منحنی به معادله $y = a \pm f (x) \sqrt{g (x)}$ خط $y = a$ می‌باشد:

مبدا مختصات را به نقطه $O^{'} (α = 0, β = a)$ انتقال داده، داریم:

$\{\begin{array}{l} x = X + 0 = X \\ y = Y + β \end{array}〉 (Y + β) = a \pm f (x) \sqrt{g (x)} \Rightarrow Y + a = a \pm f (x) \sqrt{g (x)} \Rightarrow Y = \pm f (x) \sqrt{g (x)}$

4- دو منحنی $y = β \pm f (x)$ که $β$ عددی ثابت است نسبت به خط $y = β$ متقارنند.

تمرین

اگر خط $y = 1$ معادله محور تقارن منحنی $y = m - 1 \pm x \sqrt{x}$ باشد، $m$ را به‌دست آورید.

$y = m - 1 \Rightarrow 1 = m - 1 \Rightarrow m = 2$

تمرین

قرینه خط $3 x + 5 y = 7$ را نسبت به خط $y = 3$ به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} y \to 2 β - y \\ y \to (2 \times 3) - y \\ y \to 6 - y \end{array}$

$3 x + 5 y = 7$

$\Rightarrow 3 x + 5 (6 - y) = 7$

$\Rightarrow 3 x + 30 - 5 y = 7$

$\Rightarrow 3 x - 5 y + 23 = 0$

تمرین

اگر $y = k$ معادله محور تقارن منحنی $x = a y^{2} + b y + c$ باشد، مقدار $k$ را بیابید.

$\{\begin{cases} f (x, y) = x - a y^{2} - b y - c \\ f (x, 2 k - y) = x - a {(2 k - y)}^{2} - b (2 k - y) - c \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (x, 2 k - y) \equiv f (x, y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - a {(2 k - y)}^{2} - b (2 k - y) - c \equiv x - a y^{2} - b y - c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - a (4 k^{2} - 4 k y + y^{2}) - 2 b k + b y - c \equiv x - a y^{2} - b y - c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - 4 a k^{2} + 4 a k y - a y^{2} - 2 b k + b y - c \equiv x - a y^{2} - b y - c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - a y^{2} + (4 a k + b) y - (4 a k^{2} + 2 b k + c) \equiv x - a y^{2} - b y - c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 a k + b = - b \\ \Rightarrow 4 a k = - 2 b \\ \Rightarrow k = - \frac{b}{2 a} \end{array}$

خط $y = - \frac{b}{2 a}$ محور تقارن منحنی فوق است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن نسبت به خط افقی

تقارن نسبت به خط افقی $y = β$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

تقارن نسبت به خط افقی

تقارن نسبت به خط افقیy=β

تقارن نسبت به خط افقی $y = β$