ماتریس قطری

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

هرگاه در یک ماتریس مربع، تمام عضوهای طرفین قطر اصلی برابر صفر باشند، ماتریس را قطری گویند:

$\forall i, j \in N, i \neq j \Rightarrow a_{i j} = 0$

تمرین

دو ماتریس قطری معرفی می‌کنیم:

$A = [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}]$

توجه شود که در ماتریس قطری، می‌توان تعدادی از درایه های قطر اصلی نیز صفر باشند، مانند ماتریس فوق.

تذکر

گاهی برای سادگی، یک ماتریس قطری $n \times n$ را به‌صورت $d i a g (d_{1}, d_{2}, ..., d_{n})$ نشان می‌دهیم:

$d i a g (d_{1}, d_{2}, ..., d_{n}) = [\begin{matrix} d_{1} & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & ... & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ... & 0 & d_{n} \end{matrix}]$

نکته

فرض کنیم $\{\begin{cases} d i a g (d_{1}, d_{2}, ..., d_{n}) = A \\ d i a g ({d^{'}}_{1}, {d^{'}}_{2}, ..., {d^{'}}_{n}) = B \end{cases}$ دو ماتریس قطری هم مرتبه باشند:

1- مجموع و تفاضل آن دو نیز قطری می‌باشند.

$A + B = d i a g (d_{1} + {d^{'}}_{1}, d_{2} + {d^{'}}_{2}, ..., d_{n} + {d^{'}}_{n})$

2- حاصل ضرب یک عدد حقیقی در یک ماتریس قطری، ماتریسی قطری است:

$k . A = k . d i a g (d_{1}, d_{2}, ..., d_{n}) = d i a g (k . d_{1}, k . d_{2}, ..., k . d_{n})$

3- حاصل ضرب دو ماتریس قطری، یک ماتریس قطری است:

$A B = d i a g (d_{1} {d^{'}}_{1}, d_{2} {d^{'}}_{2}, ..., d_{n} {d^{'}}_{n})$

4- توان طبیعی یک ماتریس قطری

$A^{k} = d i a g (d_{1}^{k}, d_{2}^{k}, ..., d_{n}^{k})$

5- دو ماتریس قطری هم مرتبه، تعویض پذیرند.

$A B = d i a g (d_{1} {d^{'}}_{1}, d_{2} {d^{'}}_{2}, ..., d_{n} {d^{'}}_{n}) = d i a g ({d^{'}}_{1} d_{1}, ..., {d^{'}}_{n} d_{n}) = B A$

تمرین

اگر حاصل ضرب $[\begin{matrix} - 2 a & - 2 \\ 2 & b \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}]$ یک ماتریس قطری باشد، $a + b$ را پیدا کنید.

$[\begin{matrix} - 2 a & - 2 \\ 2 & b \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} m & 0 \\ 0 & n \end{matrix}]$

درایه سطر دوم و ستون اول مساوی صفر است:

$[\begin{matrix} 2 & b \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix}] = 0 \Rightarrow 6 - 2 b = 0 \Rightarrow b = 3$

$a + b = (- 2) + (3) = 1$

تذکر

اگر $A$ ماتریس قطری باشد و $B$ یک ماتریس مربعی دل‌خواه هم مرتبه با $A$ باشد، برای محاسبه $A \times B$ کافی است درایه های قطر اصلی ماتریس $A$ را در درایه های سطرهای نظیرشان در ماتریس $B$ ضرب کنیم.

$A \times B = [\begin{matrix} d_{1} & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1} a & d_{1} b & d_{1} c \\ d_{2} d & d_{2} e & d_{2} f \\ d_{3} g & d_{3} h & d_{3} i \end{matrix}]$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ماتریس قطری

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟