ماتریس صفر

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ماتریس صفر ماتریسی است که همه درایه های آن صفر باشد.

ماتریس صفر از مرتبه $m \times n$ را با نماد $0_{m \times n}$ نشان می‌دهند.

$\begin{array}{l} 0_{2 \times 2} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$0_{2 \times 3} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

اگر مرتبه ماتریس، صفر باشد در این‌صورت برای سهولت ماتریس صفر را با $\bar{0}$ یا حتی $0$ نشان می‌دهند.

تمرین

اگر $A = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ و $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ باشد، $f (A)$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - 2 x + 1 \\ \Rightarrow f (A) = A^{2} - 2 A + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (A) = {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}^{2} - 2 [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (A) = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] - 2 [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (A) = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}] - 2 [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (A) = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

تمرین

اگر $A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}]$ و $B = [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 3 & 2 \end{matrix}]$ باشد، آن‌گاه چندجمله‌ای ماتریسی زیر را به‌دست آورید.

$A^{2} - 3 A^{'} + B$

$\begin{array}{l} A^{2} - 3 A^{'} + B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] - 3 [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 3 & 2 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} - 3 A^{'} + B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 3 & 3 \\ 0 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 3 & 2 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} - 3 A^{'} + B = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ \Rightarrow A^{2} - 3 A^{'} + B = 0_{2 \times 2} \end{array}$

تمرین

اگر $A^{2} = \bar{O}$ باشد، در این‌صورت مقدار زیر را به‌دست آورید:

$A {(2 A - 3 I)}^{10}$

$\begin{array}{l} i f A^{2} = \bar{O} \Rightarrow \forall n, n \geq 2, A^{n} = \bar{O} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A {(2 A - 3 I)}^{10} = A [{(2 A)}^{10} + \dots + 10 (2 A) {(- 3 I)}^{9} + {(- 3 I)}^{10}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A {(2 A - 3 I)}^{10} = \underset{\bar{O}}{\underset{⏟}{A {(2 A)}^{10} + ... + 20 A^{2} {(- 3 I)}^{9}}} + {(- 3)}^{10} I^{10} A \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A {(2 A - 3 I)}^{10} = {(- 3)}^{10} I^{10} A \\ \Rightarrow A {(2 A - 3 I)}^{10} = {(- 3)}^{10} A \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ماتریس صفر

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟