سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس ترانهاده

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف ماتریس ترانهاده (جابه‌جا شده)

هرگاه در ماتریس $A$ جای سطرها و ستون‌ها را با یکدیگر عوض کنیم، ترانهاده ماتریس $A$ حاصل می‌شود و ترانهاده ماتریس $A$ را به‌صورت $A^{'}$ یا $A^{T}$ نشان می‌دهیم.

$i f A = {[a_{i j}]}_{m n} \Rightarrow A^{'} = {[{a^{'}}_{i j}]}_{n m} \Rightarrow {a^{'}}_{i j} = a_{j i}$

ماتریس ترانهاده - پیمان گردلو

تمرین

$i f A = {[\begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 1 & 8 \end{matrix}]}_{2 \times 3} \Rightarrow A^{'} = {[\begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 1 \\ 5 & 8 \end{matrix}]}_{3 \times 2}$

ویژگی‌های ماتریس ترانهاده

$\begin{array}{l} 1) {(A^{'})}^{'} = A \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) {(k A)}^{'} = k A^{'}, k \in Z \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) {(A \pm B)}^{'} = A^{'} \pm B^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} 4) {(m A \pm n B)}^{'} = m A^{'} \pm n B^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} 5) {(A B)}^{'} = B^{'} A^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} 6) {(- A)}^{'} = - A^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} 7) {(A_{1} A_{2} ... A_{n})}^{'} = {A^{'}}_{n} ... {A^{'}}_{2} {A^{'}}_{1} \end{array}$

$8) {(A^{n})}^{'} = {(A^{'})}^{n}$

تمرین

طرف دوم تساوی های زير را بنويسيد.

$\begin{array}{l} {(A - A^{'})}^{'} \end{array}$

${(A - A^{'})}^{'} = A^{'} - {(A^{'})}^{'} = A^{'} - A$

$\begin{array}{l} {(B^{'} A B)}^{'} \end{array}$

${(B^{'} A B)}^{'} = B^{'} A^{'} {(B^{'})}^{'} = B^{'} A^{'} B$

${(A B^{'} + B A^{'})}^{'}$

$\begin{array}{l} {(A B^{'} + B A^{'})}^{'} \\ = {(A B^{'})}^{'} + {(B A^{'})}^{'} \\ = {(B^{'})}^{'} A^{'} + {(A^{'})}^{'} B^{'} \\ = B A^{'} + A B^{'} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

فرمول ماتریسی ضرب داخلی

قضیه

اگر دو بردار $u$ و $v$ به‌صورت ماتریس ستونی باشند، آن‌گاه:

$u \cdot v = v^{'} u$

اثبات

اگر نماد ماتریس ستونی را برای بردارها به کار ببریم، آن‌گاه بردارهای $u$ و $v$ را به‌صورت $u = [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ ⋮ \\ u_{n} \end{matrix}]$ و $v = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}]$ نشان می‌دهیم:

$v^{'} u = {[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & ... & v_{n} \end{matrix}]}_{1 \times n} {[\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ ⋮ \\ u_{n} \end{matrix}]}_{n \times 1}$

$\Rightarrow v^{'} u = {[v_{1} u_{1} + v_{2} u_{2} + ... + v_{n} u_{n}]}_{1 \times 1}$

$\Rightarrow v^{'} u = {[u \cdot v]}_{1 \times 1}$

$\Rightarrow v^{'} u = u \cdot v$

تذکر

اگر $A$ یک ماتریس $n \times n$ باشد، آن‌گاه از رابطه فوق و خواص ماتریس ترانهاده روابط زیر را داریم:

$\begin{array}{l} (A u) \cdot v = u \cdot (A^{'} v) \\ u \cdot (A v) = (A^{'} u) \cdot v \end{array}$

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$\begin{array}{l} (A u) \cdot v = u \cdot (A^{'} v) \end{array}$

$\begin{array}{l} (A u) \cdot v \\ = v^{'} . (A u) \\ = (v^{'} A) . u \\ = {(A^{'} v)}^{'} . u \\ = u \cdot (A^{'} v) \end{array}$

$u \cdot (A v) = (A^{'} u) \cdot v$

$\begin{array}{l} u \cdot (A v) \\ = {(A v)}^{'} . u \\ = (v^{'} A^{'}) . u \\ = v^{'} . (A^{'} u) \\ = (A^{'} u) \cdot v \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

ماتریس ترانهاده

3,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ماتریس ترانهاده

تعریف ماتریس ترانهاده (جابه‌جا شده)

ویژگی‌های ماتریس ترانهاده

فرمول ماتریسی ضرب داخلی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟