چند‌ جمله‌ ای ماتریسی

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض کنیم $f (x) = a_{r} x^{r} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ یک چند‌جمله‌ای باشد و ماتریس $A = {[a_{i j}]}_{n \times n}$ موجود باشد، اگر $f (A) = 0_{n \times n}$ و $a_{0} \neq 0$ باشد، آن‌گاه $A$ وارون پذیر است و می‌توانیم $A^{- 1}$ را پیدا کنیم:

$i f f (A) = 0_{n \times n} \Rightarrow a_{r} A^{r} + \dots + a_{1} A + a_{0} = 0_{n \times n}$

توجه داشته باشید، برای آن‌که مجموع ماتریس ها وجود داشته باشد، باید به جای مقدار ثابت $a_{0}$ ماتریس $a_{0} I_{n}$ را به‌کار بریم:

$\begin{array}{l} a_{r} A^{r} + ... + a_{1} A + a_{0} I = 0_{n \times n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{r} A^{r} + ... + a_{1} A = - a_{0} I \end{array}$

$\Rightarrow A (a_{r} A^{r - 1} + ... + a_{1}) = (a_{r} A^{r - 1} + ... + a_{1}) A = - a_{0} I$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A (a_{r} A^{r - 1} + ... + a_{1} I) = (a_{r} A^{r - 1} + ... + a_{1} I) A = - a_{0} I \end{array}$

$\Rightarrow A \underset{A^{- 1}}{\underset{⏟}{[- \frac{1}{a_{0}} (a_{r} A^{r - 1} + ... + a_{1} I)]}} = \underset{A^{- 1}}{\underset{⏟}{[- \frac{1}{a_{0}} (a_{r} A^{r - 1} + ... + a_{1} I)]}} A = I$

در نتیجه $A$ وارون پذیر است و داریم:

$A^{- 1} = - \frac{1}{a_{0}} (a_{r} A^{r - 1} + \dots + a_{1} I)$

تمرین

$A$ یک ماتریس مربع است، به‌طوری که تساوی زیر برقرار باشد:

$A^{- 2} + 2 A^{- 1} + 4 A = I$

$A^{- 1}$ را بیابید.

$\begin{array}{l} A^{- 2} + 2 A^{- 1} + 4 A = I \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A . (A^{- 2} + 2 A^{- 1} + 4 A) = A . I \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{- 1} + 2 I + 4 A^{2} - A I = 0 \\ \Rightarrow A^{- 1} + 2 I + 4 A^{2} - A = 0 \\ \Rightarrow A^{- 1} = A - 4 A^{2} - 2 I \end{array}$