اثر ماتریس

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ماتریس مربع $A = {[a_{i j}]}_{n \times n}$ مفروض است، مجموع درایه های روی قطر اصلی $A$ را اثر ماتریس $A$ می‌نامیم و به $t r (A)$ نشان می‌دهیم:

$t r (A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$

قضیه

اگر $A$ ماتریس مربع و $λ$ یک عدد حقیقی باشد، آن‌گاه:

$t r (λ A) = λ t r (A), λ \in R$

اثبات

$\begin{array}{l} t r (λ A) = λ a_{11} + λ a_{22} + \dots + λ a_{n n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (λ A) = λ (a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (λ A) = λ \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} \\ \Rightarrow t r (λ A) = λ t r (A) \end{array}$

قضیه

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس مربع هم مرتبه باشند، آن‌گاه:

$t r (A \pm B) = t r (A) \pm t r (B)$

اثبات

$\begin{array}{l} t r (A \pm B) = (a_{11} \pm b_{11}) + (a_{22} \pm b_{22}) + \dots + (a_{n n} \pm b_{n n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (A \pm B) = (a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}) \pm (b_{11} + b_{22} + \dots + b_{n n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (A \pm B) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} \pm \sum_{i = 1}^{n} b_{i i} \\ \Rightarrow t r (A \pm B) = t r (A) \pm t r (B) \end{array}$

قضیه

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس مربع هم مرتبه باشند، آن‌گاه:

$t r (A B) = t r (B A)$

اثبات

$\begin{array}{l} t r (A B) = \sum_{k = 1}^{n} a_{1 k} b_{k 1} + \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} b_{k 2} + \dots + \sum_{k = 1}^{n} a_{n k} b_{k n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (A B) = \sum_{k = 1}^{n} (a_{1 k} b_{k 1} + a_{2 k} b_{k 2} + \dots + a_{n k} b_{k n}) \end{array}$

$\Rightarrow t r (A B) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k i} a_{i k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (A B) = \sum_{i = 1}^{n} (b_{1 i} a_{i 1} + b_{2 i} a_{i 2} + \dots + b_{n i} a_{i n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t r (A B) = \sum_{i = 1}^{n} b_{1 i} a_{i 1} + \sum_{i = 1}^{n} b_{2 i} a_{i 2} + \dots + \sum_{i = 1}^{n} b_{n i} a_{i n} \end{array}$

$\Rightarrow t r (A B) = t r (B A)$

نکته

اگر $A$ ماتریس مربع باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} 1) t r (A^{'}) = t r (A) \\ 2) t r (A^{'} A) \geq 0 \\ 3) t r (A A^{'}) = 0 \Rightarrow A = 0 \\ 4) t r (I_{n}) = n \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

اثر ماتریس

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟